【正文】 輔助角公式）；整體變角思想（角的拆分與拼湊）二、二倍角的正弦、余弦、正切公式 三、簡(jiǎn)單的三角變換將次擴(kuò)角公式：半角公式：和差化積公式：必 修 五第一章 解三角形一、正弦定理1．正弦定理：(為外接圓的半徑)2．解三角形：已知三角形的幾個(gè)元素（邊或角）求其它元素的過(guò)程。2. 弧度數(shù)公式：3. 弧度與角度之間的互化： 4. 之間特殊角的弧度數(shù)與角度數(shù)：5. 扇形的面積公式：,與結(jié)合后有三種形式6. 基本題型：角度數(shù)與弧度數(shù)的互化弧度數(shù)公式及扇形面積公式的應(yīng)用二、任意角的三角函數(shù)：(一) 任意角的三角函數(shù)：1. 任意角的三角函數(shù)的定義：坐標(biāo)定義法： 2. 三個(gè)三角函數(shù)的符號(hào)（從定義出發(fā)）：一全（正），二正弦（正），三正切（正），四余弦（正） 3. 公式一： 4．三個(gè)三角函數(shù)線(xiàn)：正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)5. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：（變形）6．基本題型： 利用定義求一些特殊角的三個(gè)三角函數(shù)值：如：求的正弦、余弦與正切值 給出角終邊上的點(diǎn)或其他信息求三個(gè)三角函數(shù)值： 三角函數(shù)符號(hào)的應(yīng)用： 作出已知角的三角函數(shù)線(xiàn)： 利用三角函數(shù)線(xiàn)比較三角函數(shù)值的大小與解簡(jiǎn)單的三角不等式： 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算、化簡(jiǎn)與證明：（二）三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：1. 基本公式：公式一：與的三個(gè)三角函數(shù)值的關(guān)系：公式二：與的三個(gè)三角函數(shù)值的關(guān)系：公式三：與的三個(gè)三角函數(shù)值的關(guān)系：公式四：與的三個(gè)三角函數(shù)值的關(guān)系：以上公式特點(diǎn)：函數(shù)名不變，符號(hào)看象限公式五：與的正余弦的關(guān)系：公式六：與的正余弦的關(guān)系：以上公式特點(diǎn)：函數(shù)名改變，符號(hào)看象限對(duì)上述公式要求理解證明方法，牢記公式2. 基本題型：利用基本公式進(jìn)行計(jì)算與化簡(jiǎn)三、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 、余弦曲線(xiàn)，五點(diǎn)作圖法及換元五點(diǎn)法 、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)性質(zhì) 圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，．當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，．既無(wú)最大值也無(wú)最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)．對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)中心無(wú)對(duì)稱(chēng)軸3. 函數(shù)的圖象與性質(zhì)：（1）圖象：可用換元五點(diǎn)法或圖像變換作圖；（2）性質(zhì)：用整體代換思想結(jié)合相應(yīng)基本三角函數(shù)求解，主要包括以下幾個(gè)方面：周期，最值（相應(yīng)自變量的值），單調(diào)區(qū)間，對(duì)稱(chēng)軸方程及對(duì)稱(chēng)軸點(diǎn)坐標(biāo)等。在給定范圍內(nèi)找與已知角終邊相同的角: 如在內(nèi)找出終邊與角相同的所有角。四、古典概型及隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生（1）古典概率模型：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等；（2）古典概型的使用條件：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地作為這個(gè)事件的概率。：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這種擺動(dòng)幅度越來(lái)越小。(4)應(yīng)用直線(xiàn)回歸的注意事項(xiàng) ①做回歸分析要有實(shí)際意義；②回歸分析前,最好先作出散點(diǎn)圖；③回歸直線(xiàn)不要外延。 ③利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制規(guī)定Y值的變化，通過(guò)控制x的范圍來(lái)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)控制的目標(biāo)。平均數(shù)：可用公式計(jì)算，在頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以相應(yīng)小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和：（1）本均值：（2）樣本標(biāo)準(zhǔn)差：說(shuō)明：（1）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)共同的常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差不變（2）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)乘以一個(gè)共同的常數(shù)k，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉?lái)的k倍（3）一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的影響較大，區(qū)間的應(yīng)用；“去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分”中的科學(xué)道理（1）基本概念:散點(diǎn)圖：兩個(gè)變量間的坐標(biāo)圖正相關(guān)：散點(diǎn)的位置在從左下到右上的區(qū)域負(fù)相關(guān)：散點(diǎn)的位置在從左上到右下的位置，回歸直線(xiàn)（方程）：散點(diǎn)圖中心點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線(xiàn)附近，這條直線(xiàn)叫回歸直線(xiàn)，求出的直線(xiàn)方程叫回歸直線(xiàn)方程。在頻率從分布直方圖中為最高的矩形的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)值。（3）以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。分層標(biāo)準(zhǔn)：（1）以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。（2）先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。三、分層抽樣1．分層抽樣（類(lèi)型抽樣）：先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類(lèi)型或?qū)哟危缓笤僭诟鱾€(gè)類(lèi)型或?qū)哟沃胁捎煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本，最后，將這些子樣本合起來(lái)構(gòu)成總體的樣本。第一個(gè)樣本采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時(shí)，才采用這種方法。特點(diǎn)是：每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個(gè)單位完全獨(dú)立，彼此間無(wú)一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。一般地，若是一個(gè)大于1的整數(shù)，那么以為基數(shù)的進(jìn)制可以表示為：，而表示各種進(jìn)位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來(lái)表示,如111001(2)表示二進(jìn)制數(shù),34(5)表示5進(jìn)制數(shù)（2）各種不同進(jìn)位制數(shù)的互化 二進(jìn)制化為十進(jìn)制：如 八進(jìn)制化為二進(jìn)制：如十進(jìn)制化為二進(jìn)制：除2取余法（見(jiàn)課本）十進(jìn)制化為進(jìn)制：除取余法第二章 統(tǒng) 計(jì)一、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣1．總體和樣本 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中 , 把研究對(duì)象的全體叫做總體．把每個(gè)研究對(duì)象叫做個(gè)體．把總體中個(gè)體的總數(shù)叫做總體容量．為了研究總體的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一部分：研究，我們稱(chēng)它為樣本．其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱(chēng)為樣本容量．2．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。對(duì)于任何一個(gè)數(shù)，我們可以用不同的進(jìn)位制來(lái)表示。可使用數(shù)字符號(hào)的個(gè)數(shù)稱(chēng)為基數(shù)，基數(shù)為，即可稱(chēng)進(jìn)位制，簡(jiǎn)稱(chēng)進(jìn)制。②從結(jié)果體現(xiàn)形式來(lái)看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0而得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到（1）秦九韶算法概念：f(x)=anxn+an1xn1+…+a1x+a0求值問(wèn)題f(x)=anxn+an1xn1+…+a1x+a0=( anxn1+an1xn2+…+a1)x+a0 =(( anxn2+an1xn3+…+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an1)x+an2)x+...+a1)x+a0求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)依次多項(xiàng)式的值，即v1=anx+an1然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即v2=v1x+an2 v3=v2x+an3 ...... vn=vn1x+a0這樣，把次多項(xiàng)式的求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求個(gè)一次多項(xiàng)式的值的問(wèn)題。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。若是，用2約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行第二步。在《九章算術(shù)》中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母?子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：①用較大的數(shù)除以較小的數(shù)得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；②若，則為的最大公約數(shù)；若，則用除數(shù)除以余數(shù)得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；③若，則為的最大公約數(shù)；若，則用除數(shù)除以余數(shù)得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；……依次計(jì)算直至，此時(shí)所得到的即為所求的最大公約數(shù)。(2)UNTIL語(yǔ)句①UNTIL語(yǔ)句的一般格式是 對(duì)應(yīng)的程序框圖是滿(mǎn)足條件？循環(huán)體是否DO循環(huán)體LOOP UNTIL 條件②直到型循環(huán)又稱(chēng)為“后測(cè)試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析，計(jì)算機(jī)執(zhí)行該語(yǔ)句時(shí)，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進(jìn)行條件的判斷，如果條件不滿(mǎn)足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進(jìn)行條件的判斷，這個(gè)過(guò)程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件滿(mǎn)足時(shí)，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOP UNTIL語(yǔ)句后執(zhí)行其他語(yǔ)句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進(jìn)行條件判斷的循環(huán)語(yǔ)句。這時(shí)，計(jì)算機(jī)將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語(yǔ)句后，接著執(zhí)行WEND之后的語(yǔ)句。即WHILE語(yǔ)句和UNTIL語(yǔ)句。循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn)的。滿(mǎn)足條件？語(yǔ)句是否（圖4）IF 條件 THEN語(yǔ)句END IF（圖3） 注意：“條件”表示判斷的條件；“語(yǔ)句”表示滿(mǎn)足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容，條件不滿(mǎn)足時(shí)，結(jié)束程序；END IF表示條件語(yǔ)句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)，首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面的語(yǔ)句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語(yǔ)句2。（2）IF—THEN—ELSE語(yǔ)句IF—THEN—ELSE語(yǔ)句的一般格式為圖1，對(duì)應(yīng)的程序框圖為圖2。（如化簡(jiǎn)、因式分解、解方程等）④賦值號(hào)“=”與數(shù)學(xué)中的等號(hào)意義不同。如“A=B”“B=A”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。如：2=X是錯(cuò)誤的。賦值號(hào)的左右兩邊不能對(duì)換，它將賦值號(hào)右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號(hào)左邊的變量；④賦值語(yǔ)句左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，右邊表達(dá)式可以是一個(gè)數(shù)據(jù)、常量或算式；⑤對(duì)于一個(gè)變量可以多次賦值。（2）輸出語(yǔ)句PRINT“提示內(nèi)容”；表達(dá)式圖形計(jì)算器格式Disp “提示內(nèi)容”，變量①輸出語(yǔ)句的一般格式②輸出語(yǔ)句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能；③“提示內(nèi)容”提示用戶(hù)輸入什么樣的信息，表達(dá)式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)；④輸出語(yǔ)句可以輸出常量、變量或表達(dá)式的值以及字符。計(jì)數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計(jì)數(shù)一次。（2）在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個(gè)計(jì)數(shù)變量和累加變量。A成立不成立P不成立P成立A當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu) 直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)注意：（1）循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個(gè)條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來(lái)判斷。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱(chēng)重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類(lèi)：①一類(lèi)是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時(shí)，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復(fù)執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行A框，離開(kāi)循環(huán)結(jié)構(gòu)。一個(gè)判斷結(jié)構(gòu)可以有多個(gè)判斷框。條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所指定的操作。（1）順序結(jié)構(gòu)：AB順序結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的算法結(jié)構(gòu)，語(yǔ)句與語(yǔ)句之間，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的，它是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個(gè)算法都離不開(kāi)的一種基本算法結(jié)構(gòu)。（5）在圖形符號(hào)內(nèi)描述的語(yǔ)言要非常簡(jiǎn)練清楚。判斷框具有超過(guò)一個(gè)退出點(diǎn)的唯一符號(hào)。（2）框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫(huà)。判斷框判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處標(biāo)明“是”或“Y”；不成立時(shí)標(biāo)明“否”或“N”。輸入、輸出框表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。（2）程序框圖的基本要素：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線(xiàn)；程序框外必要文字說(shuō)明。在數(shù)學(xué)中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類(lèi)問(wèn)題的明確和有限的步驟。（3）空間中任意點(diǎn)M的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組來(lái)表示，該數(shù)組叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記M，叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)。4. 圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的連心線(xiàn)長(zhǎng)為，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：（1）當(dāng)時(shí)，圓與圓相離；（2）當(dāng)時(shí)，圓與圓外切；（3）當(dāng)時(shí)，圓與圓相交；（4）當(dāng)時(shí)，圓與圓內(nèi)切；（5）當(dāng)時(shí)，圓與圓內(nèi)含。（1）法：當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與圓相離；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與圓相切；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與圓相交。當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí), α= 90176。, k = tan0176。.②直線(xiàn)的斜率:一條直線(xiàn)的傾斜角α(α≠90176?！堞粒?80176。 符號(hào)：第三章 直線(xiàn)與方程①直線(xiàn)的傾斜角的概念：當(dāng)直線(xiàn)與軸相交時(shí), 取軸作為基準(zhǔn), 軸正向與直線(xiàn)向上方向之間所成的角α叫做直線(xiàn)的傾斜角.特別地,當(dāng)直線(xiàn)與軸平行或重合時(shí), 規(guī)定α= 0176。圖形（略） 符號(hào)：性質(zhì)：定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行。②兩個(gè)平面垂直：定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。符號(hào)表示：a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。如圖，直線(xiàn)與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)叫做垂足。符號(hào)表示：作用：可以由平面與平面平行得出直線(xiàn)與直線(xiàn)平行結(jié)論：夾在兩平行平面間的平行線(xiàn)段相等。結(jié)論：定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行。（4）直線(xiàn)與平面、平面與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行。符號(hào)表示：（3）平面與平面平行的判定兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。、平面與平面之間的位置關(guān)系平行問(wèn)題：（1）直線(xiàn)與平面有三種位置關(guān)系：直線(xiàn)在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)直線(xiàn)與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線(xiàn)在平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)指出：直線(xiàn)與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱(chēng)為直線(xiàn)在平面外，可用來(lái)表示