全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題-三角函數(shù)-文庫(kù)吧資料
2025-04-10 03:22本頁(yè)面
【正文】 4cos70 = +4sin20?20cosin? ???? ???20cos4ini0cos2in4si ??????134i .20cos6in20cos8in??例 10 證明： 7cos7521cos35s64coxxx???6分析：等號(hào)左邊涉及角 7x、5 x、3 x、 x 右邊僅涉及角 x，可將左邊各項(xiàng)逐步轉(zhuǎn)化為 xsin、xcos的表達(dá)式，但相對(duì)較繁. 觀察到右邊的次數(shù)較高，可嘗試降次.證明：因?yàn)?,cos3cos4,cso433x????所 以 從而有 xx226 96cs1? )21()( xxxx cos0cos304cos126cos264 ,37 ???? .557 2156評(píng)述：本題看似“化簡(jiǎn)為繁”，實(shí)質(zhì)上抓住了降次這一關(guān)鍵，很是簡(jiǎn)捷. 另本題也可利用復(fù)數(shù)求解. 令 77)(cos128,cos2,sinco zzz ?????? ???從 而則，展開(kāi)即可.2022 北約7例 11 已知 .201tansec:,201tan???????求 證證明： )4tan()2sin(o2citsec ??????.201tan??.t??例 12 證 明 ： 對(duì) 任 一 自 然 數(shù) n 及 任 意 實(shí) 數(shù) mkmx,10(???為 任 一 整 數(shù) ） ，有 .2cot2si14si2i1 xx nn???思路分析：本題左邊為 n 項(xiàng)的和，右邊為 2 項(xiàng)之差，故嘗試將左邊各項(xiàng)“裂”成兩項(xiàng)之差，并希冀能消去其中許多中間項(xiàng).證明： ,ctsincosisicosin2 xxxxx ????同理 4tt41…… nn2o211?評(píng)述：①本題裂項(xiàng)技巧也可通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法獲得.②“裂項(xiàng)相消”在解題中具有一定的普遍性，類(lèi)似可證下列各題： nn???? ??? tat)1ta(3tan2tan?.??????? ? 1cots89cos2cos1cos0 222 ?n1000t2tsin[()]tan(1)tacon n??????提 示 ：例 13 設(shè) 的內(nèi)角 所對(duì)的邊 成等比數(shù)列，則 的取值范圍是（ ）ABC?,bcsincotsACB?A. B. C. D. (0,)??51(0,)251(,)2?51(,)2??[解] 設(shè) 的公比為 ，則 ，而abcq,acq?sinotcsicsinnoAB?? ．sin()()isisACBbqAa???因此，只需求 的取值范圍．因 成等比數(shù)列，最大邊只能是 或 ，因此 要構(gòu)成三角形的三邊，必需且只需 且,abcac,cabc??．即有不等式組??8即 解得2,aq??????10,.q????????51,????????或從而 ，因此所求的取值范圍是 ．故選 C512??1(,)?例 14 △ABC 內(nèi)接于單位圓，三個(gè)內(nèi)角 A、B、C 的平分線(xiàn)延長(zhǎng)后分別交此圓于AB C 1，則 的值為（ ）BAsinsin2cos2co2co11????A．2 B．4 C．6 D．8解：如圖，連 BA1，則 AA1=2sin(B+ )2cos()2si()C????? )2cos(coscos(21 CBABA????? ?同理,ini)cos(B? ,incs1C?,in1原式= 選 A.)s(i2ocs11 CA? .2sisi)(??BA例 15 若對(duì)所有實(shí)數(shù) ，均有 ，則 （ ）. xicsco2kkkxxx?? ?、 ； 、 ； 、 ； 、 ．6B54D3解：記 ，則由條件， 恒為 ，取 ，得??sinokkkf???????fx02x??，則 為奇數(shù)，設(shè) ，上式成為 ，因此 為偶數(shù)，令 ，則sin12k??21n?sin12?????????nm，故選擇支中只有 滿(mǎn)足題意．故選 D4km?3k例 16 已知 是偶函數(shù)，則函數(shù)圖象與 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是???2222fxabxab?????yA． B. 2 C. D. 4解：由已知條件可知， ，函數(shù)圖象與 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 。解得 或 。15135???????,2???????2,3【解】 因?yàn)?αβ∈ ，所以 cos(αβ)=???????,2 .1)(sin?????又因?yàn)?α+β∈ ，所以 cos(α+β)=, .312?所以 sin2α=sin[(α+β)+(αβ)]=sin(α+β)cos(αβ)+cos(α+β)sin(αβ)= ,1690cos2β=cos[(α+β)(αβ)]=cos(α+β)cos(αβ)+sin(α+β)sin(αβ)=1.例 8 已知△ABC 的三個(gè)內(nèi)角 A，B，C 成等差數(shù)列，且 ，試求 的值。?37．三角公式的應(yīng)用。又 0≤ ≤π，解得 = ，? 2?因?yàn)?f(x)圖象關(guān)于 對(duì)稱(chēng)，所以 =0。ysin1?【解】 設(shè) t=sinx+cosx= ).4sin(2coin2??????????xx因?yàn)?所以,1)4i(???.??t又因?yàn)?t2=1+2sinxcosx,所以 sinxcosx= ，所以 ，所以21t 212???txy .2121??y因?yàn)?t 1，所以 ，所以 y ?1??t .,??????????????6．圖象變換：y=s inx(x∈R)與 y=Asin( x+ )(A, , 0).??例 6 已知 f(x)=sin( x+ )( 0, 0≤ ≤π)
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