【正文】 條件, 反射系數(shù)為白噪聲, 多次波步長, 則包含多次波和一次波的地震記錄為 （39）從預(yù)測誤差來看, 有 （310）顯然, 上式中第二項與預(yù)測值多次波相吻合, 第一項與預(yù)測誤差，一次波相吻合。從離散時間域來看，若系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)延伸到無窮之長，稱之為IIR系統(tǒng)，若系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是一個有限長序列，則稱之為FIR系統(tǒng)。 FIR頻率濾波一個數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以用系統(tǒng)函數(shù)表示為： (37)由此可直接由此式可得出表示輸入輸出關(guān)系的常系數(shù)線性差分方程為： （38）由此可看出，數(shù)字濾波器的功能就是把輸入序列通過一定的運(yùn)算，變換成輸出序列。每條基向量對應(yīng)的特征值是對這條基向量的量度，特征值越大，基在這組向量中的作用就越大；特征值越小，基在這組向量中的作用就越小。M為重新構(gòu)造時所使用正交基的個數(shù), 目的在于利用盡可能少的基信號在一定誤差范圍內(nèi)恢復(fù)出原信號。Y的協(xié)方差Cy為對角陣由以上算法可知， KL變換能夠?qū)⒁唤M數(shù)據(jù)變換為另一組互不相關(guān)基的加權(quán)和, 因此可對地震數(shù)據(jù)做以下處理: 給定信號可以構(gòu)造另一組信號。計算步驟如下：( 1) 由的N 階多項式, 求矩陣Cx的特征值( 2) 由求Cx 的N 個特征向量 ( 3) 將A0, A1,..., AN 1歸一化，即 Ai,Ai = 1, i= 0, 1, , N – 1；( 4) 由歸一化向量可構(gòu)成歸一化正交矩陣A = [A0, A1, ,AN 1 ]。KL變換正是針對這類廣泛的隨機(jī)圖像提出的，對圖像施加KL變換以后，由變換結(jié)果恢復(fù)的圖像將是對原圖像在統(tǒng)計意義上的最佳逼近。在獲取任何一幅圖像的過程中，不可避免地混雜許多隨機(jī)干擾因素，即得到的圖像中含有很多隨機(jī)成分，一般稱其為隨機(jī)圖像。這種方法在實(shí)際應(yīng)用中的最大困難在于把多幅圖像配準(zhǔn),以便使相應(yīng)的像素能正確地對應(yīng)排列。模板選擇越小,去噪能力會下降。因圖像細(xì)節(jié)信息主要分布在高頻區(qū)域,因此均值濾波的過程會導(dǎo)致圖像變模糊。這種運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是求窗口內(nèi)的所有像素點(diǎn)的平均值,然后將其賦給中心像素點(diǎn),作為中心像素點(diǎn)的濾波輸出。即:式中:E{ }表示數(shù)學(xué)期望算子。由于有噪聲存在,導(dǎo)致圖像的質(zhì)量下降。]表示一般中值濾波(MF)。低頻分量上的信息比較豐富，能量集中；高頻分量上的信息分量多為零，細(xì)節(jié)信息豐富，能量較少。重構(gòu)時使用一組h 和g 合成濾波器對小波分解的結(jié)果濾波，再進(jìn)行上二采樣（相鄰兩點(diǎn)間補(bǔ)零）來生成重構(gòu)信號。 二維小波變換Mallat二維塔式快速小波變換的分解過程如圖10所示。另外瞬時相位大小與反射波的振幅無關(guān)，因此利用它可研究地下深層介質(zhì)的性質(zhì)。瞬時振幅波形反映了給定時刻反射信號能量大小及能量衰減情況，利用它可以推測地下介質(zhì)的性質(zhì)。 二維瞬時振幅、瞬時相位、瞬時頻率GPR或聲波反射信號可表示為，對進(jìn)行Fourier變換，導(dǎo)出信號的頻譜，再進(jìn)行Hilbert變換，可求出的Hilbert變換。在本項目中，借助上面介紹的多分辨分析的手段對接收信號進(jìn)行處理，利用的小波是‘sym2’，一共做了32級分解，現(xiàn)在將小波變換后的圖像展示如下：圖5. 模擬信號12級分解圖圖6. 模擬信號6級分解圖圖7. 模擬信號1級分解圖從上面的圖中可以看出，隨著分解級別的逐漸降低或者說隨著分解空間的逐漸增大，信號的高頻部分逐漸顯現(xiàn)，小波信號不僅能夠起到去噪的作用，而且還能將信號的光滑部分和奇異部分分開，這樣對信號的認(rèn)識更加準(zhǔn)確。所以有即 =另一方面，待構(gòu)造的小波函數(shù)，應(yīng)該存在序列，使得稱之為構(gòu)造方程。這樣，關(guān)鍵的問題就是構(gòu)造函數(shù)，使得函數(shù)族是的標(biāo)準(zhǔn)正交基。(2) 若 是到子空間的正交投影算子，則對，有對，定義如下的子空間：容易驗(yàn)證，子空間序列具有下述性質(zhì)：（1）；（2）；（3）。由定義不難看出：(1) 對 ，函數(shù)族是子空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，被稱為尺度參數(shù)。對于任意一個函數(shù)，它的連續(xù)小波變換的定義為:= 其逆變換為: 多分辨分析定義： 若下列條件成立，則中的一串閉子空間列 稱為依尺度函數(shù)的多分辨分析：1. （嵌套性）2. （稠密性）3. （分立性）4. （尺度性）5. （平移性）6. （標(biāo)準(zhǔn)正交基）函數(shù) ，且是的標(biāo)準(zhǔn)正交基。對于任意的實(shí)數(shù)對，其中，參數(shù)必須為非零實(shí)數(shù)，稱如下形式的函數(shù)為由小波母函數(shù)生成的依賴于參數(shù)的連續(xù)小波函數(shù)，簡稱為小波。小波就是函數(shù)空間中滿足下述條件的一個函數(shù)或者信號：表示非零實(shí)數(shù)全體。其實(shí)，Hilbert變換還有如下特性：（1）幅頻特征是全通性的；（2）相頻特征是負(fù)九十度。 一維Hilbert變換在混凝土檢測技術(shù)中，瞬時相位譜是一個非常重要的手段，我們在本項目中將其實(shí)現(xiàn)，主要是通過所謂的Hilbert變換技術(shù)，將離散信號轉(zhuǎn)化為解析信號，這樣就會得到原始信號的瞬時相位譜信息。圖1. 模擬信號在時間域分布圖圖2. 模擬信號在頻率域分布圖 （未去噪）圖3. 模擬信號在頻率域分布圖 （去噪）在信號處理中，第一步就是將時間信號轉(zhuǎn)化為頻率信號，通過FFT把信號的頻率域的特征讀取出來，具體地說就是經(jīng)過如下離散傅里葉變換： 這里分別表示信號的離散頻率函數(shù)和連續(xù)時間函數(shù)，分別表示采樣數(shù)和采樣點(diǎn)頻率域和時間域序號。圖33. 混凝土結(jié)構(gòu)示意圖圖34. 混凝土含聲波反射剖面圖 小結(jié)本節(jié)給出了電磁波及聲波在混凝土介質(zhì)中傳播的數(shù)學(xué)模型，數(shù)值算例中所給出的模型基本上都是含有空洞、鋼筋或二者共存的情況，通過數(shù)值算例中給出的剖面圖，我們認(rèn)為電磁波及聲波無損檢測基本能夠識別鋼筋、裂縫這樣的目標(biāo)體，并且對目標(biāo)體的形狀和大小比較敏感，可以通過這樣的剖面圖的圖像特征來確定混凝土內(nèi)部的結(jié)構(gòu)。圖29. 混凝土結(jié)構(gòu)示意圖圖30. 混凝土含聲波反射剖面圖算例17. 混凝土中含有縱向裂縫模型，混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見圖31，聲波反射剖面圖見圖32。圖25. 混凝土含空洞結(jié)構(gòu)示意圖圖26. 混凝土含有四列縱向短鋼筋聲波反射剖面圖算例14. 混凝土中含有小圓形鋼筋大圓形空洞模型，混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見圖27，聲波反射剖面圖見圖28。圖23. 混凝土中含有四列縱向短鋼筋圖24. 混凝土含有四列縱向短鋼筋GPR剖面圖 聲波正演模擬算例13. 混凝土中含有圓形空洞模型，反演區(qū)域，空間步長，時間，時間步長，采用雷克子波作為激勵源，其中心頻率。圖19. 混凝土中含有四排橫向長鋼筋圖20. 混凝土含有四排橫向長鋼筋GPR剖面圖算例11. 混凝土中含有四排橫向短鋼筋，混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見圖21，GPR剖面圖見圖22。圖15. 混凝土中含有兩排小圓形鋼筋圖16. 混凝土含有兩排小圓形鋼筋GPR剖面圖算例9. 混凝土中含有兩排大圓形鋼筋，混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見圖17，GPR剖面圖見圖18。圖11. 混凝土中含有兩個豎向裂縫圖12. 混凝土含有兩個豎向裂縫GPR剖面圖算例7. 混凝土中含有兩個橫向裂縫，混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見圖13，GPR剖面圖見圖14。圖7. 混凝土中含有上層小圓形鋼筋模型，下層小圓形空洞圖8. 混凝土GPR剖面圖算例5. 混凝土中含有上層小圓形空洞，下層小圓形鋼筋，混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見圖9，GPR剖面圖見圖10。圖3. 混凝土含鋼筋結(jié)構(gòu)示意圖圖4. 混凝土GPR剖面圖算例3. 混凝土中含有小圓形鋼筋模型，混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見圖5，GPR剖面圖見圖6。 電磁波正演模擬算例1. 混凝土中含有圓形空洞模型，反演區(qū)域，空間步長，時間，時間步長，采用雷克子波作為激勵源，其中心頻率，混凝土結(jié)構(gòu)示意圖見圖1，縱向剖分260個節(jié)點(diǎn)，橫向剖分1000個節(jié)點(diǎn)；GPR剖面圖見圖2，時間采樣2036個，道數(shù)115道?？傻梅匠虨? (230)所以求(21)、(22)及(23)的的離散后就轉(zhuǎn)化為求解(230)。在這里為了考慮到計算量的問題，我們選用(223)式，(224)式和(229)式計算正問題?？紤]到上述截斷誤差的不匹配，為提高(22)式及(23)式的離散精度，可以用兩個虛擬的函數(shù)值來處理，注意到這樣就得到了(32)式的另一個逼近 (226)及(33)式的另一個逼近 (227)此兩式中出現(xiàn)的必須設(shè)法消去。將波動方程(21)中的偏導(dǎo)數(shù)都用中心差商來逼近，這樣得到差分格式： (222)令得 (223) (22)離散為如下 (224)(23)離散為 （225）可以看出，(222)式逼近(21)式的截斷誤差為。差分法的基本思想是“以差商代替微商”。由此，我們可將麥克斯韋方程的所有分析方法和處理方法應(yīng)用于反射聲波探測。將、消元，得到 （220）當(dāng)探地雷達(dá)高頻雷達(dá)波在地下介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)的位移電流遠(yuǎn)大于傳導(dǎo)電流（磁導(dǎo)率認(rèn)為不變），所以，對高頻電磁波在地下二維介質(zhì)傳播的麥克斯韋方程就可寫成： (221)其中，為波速。Maxwell方程的正演過程可以采用FDTD方法求解， 利用吸收邊界條件最大限度地克服在邊界處反射帶來的影響。探地雷達(dá)測的是來自探測物不同介質(zhì)交界面的反射波，地質(zhì)雷達(dá)通過記錄反射波到達(dá)時間t、反射波的幅度等來研究被探測介質(zhì)的分布和特性。與探空或通訊雷達(dá)技術(shù)相類似，探地雷達(dá)也是利用高頻電磁脈沖波的反射來探測目的體及地質(zhì)現(xiàn)象的。假設(shè)在需要測量的空間區(qū)域上考慮問題，Mur吸收邊界條件為 (25) (26) (27) (28)二維聲波方程雖然不能夠完全滿足真實(shí)的物理背景，但是，它能夠抓住主要矛盾來研究問題，利用二維聲波方程能夠近似模擬混凝土真實(shí)背景，同時也使得分析簡單，并且能夠大大降低計算量，為實(shí)際工程中的應(yīng)用奠定良好的基礎(chǔ)。且滿足。描述聲波傳播的二維聲波方程的模型為 (21) (22) (23)其中為位移函數(shù)，為介質(zhì)在點(diǎn)的速度，是源函數(shù)。（3）混凝土構(gòu)件受激振動時，其截面保持為平面。（2）混凝土構(gòu)件的受激振動在彈性限度內(nèi)，它在振動時，體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的位移、應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系都服從彈性胡克定律。參考文獻(xiàn):[1] , . 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