羅默高級宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)(第3版)課后習(xí)題詳解(第1章索洛增長模型)-文庫吧資料
2025-03-31 07:19本頁面
【正文】 （4）而教材中資本積累的方程為： （5）由方程（4）和（5）可得： （6）方程（6）兩端對求導(dǎo)可得： （7）在平衡增長路徑上，因而方程（7）可以表示為： （8）由于，其中，從而有： （9）由方程（8）和（9）可得：綜上可得： （10）因?yàn)樵谄胶庠鲩L路徑上，從而方程（10）可以表示為： （11）又由于，所以方程（11）可以簡化為：綜上所述，在平衡增長路徑附近，以近似于的不變速度收斂于平衡增長路徑值。也就是說，的增長率近似于一個固定的常數(shù)，這意味著 （3）其中，是的初始值。特別地，當(dāng)時(shí)。[提示：由于，可以寫出，其中。因此，經(jīng)濟(jì)收斂于，或者這一點(diǎn)上，此刻經(jīng)濟(jì)收斂于平衡增長路徑。在本模型中，將資本的貢獻(xiàn)（資本的邊際產(chǎn)品乘以資本的數(shù)量）儲蓄起來。此刻滿足生產(chǎn)函數(shù)的斜率等于持平投資線的斜率。所以，不管初始的如何，經(jīng)濟(jì)都將收斂于平衡增長路徑，此時(shí) ，所有的經(jīng)濟(jì)變量都以不變的速率增長。在時(shí)，此時(shí)經(jīng)濟(jì)處于平衡增長路徑上。綜合上述，可以發(fā)現(xiàn)所有變量增長速度均不變。的增長速度為，所以的增長速度為。即，因此平衡增長路徑上的每單位有效勞動的資本可以由潛在地決定。（b）處在平衡增長路徑上的大于、小于或等于的黃金律水平嗎？關(guān)于這個結(jié)論的直覺是什么？答：（a）下面證明該經(jīng)濟(jì)可以收斂于平衡增長路徑。因此。 ，資本與勞動按其邊際產(chǎn)品獲得收益。因?yàn)椋绻?，則式中第二項(xiàng)為正，當(dāng)時(shí)，因此勞動的邊際產(chǎn)品增長率比平衡增長路徑時(shí)更快。勞動的邊際產(chǎn)品是：兩邊取對數(shù)求勞動的增長率：在平衡增長路徑上，因此，即勞動的邊際產(chǎn)品的增長率為有效勞動增長率。因?yàn)橘Y本的產(chǎn)出份額與勞動的產(chǎn)出份額之和為1，因此，勞動的產(chǎn)出份額也保持不變。這意味著，從而資本回報(bào)率在索洛模型中保持不變。處在平衡增長路徑上的索洛經(jīng)濟(jì)展現(xiàn)這些特征嗎？處在均衡增長路徑上的與的增長率是多少？（d）假設(shè)經(jīng)濟(jì)由一個數(shù)量為的水平開始。（b）證明如果資本與勞動均按其邊際產(chǎn)品支付，那么不變的規(guī)模報(bào)酬意味著生產(chǎn)要素的總支付量等于總的凈產(chǎn)出，即證明在不變的規(guī)模報(bào)酬條件下。令表示，且表示。 索洛模型中的要素支付。為了決定收斂的速度，有下面的式子：兩邊取對數(shù)，有：。%（）才能到達(dá)新的平衡增長路徑。由于，因此消費(fèi)也以穩(wěn)定的速率向穩(wěn)定點(diǎn)移動。首先定義的動態(tài)方程式：，在平衡增長路徑上，為0，取在上的一階泰勒展開：令，有下式：的平衡增長路徑為：在求解：因?yàn)闉?%，而，可以得出為4%。在發(fā)生一次性上升后便保持不變，因而消費(fèi)在新的平衡增長路徑上會保持不變。因此。（c）投資增加對消費(fèi)的直接影響是使消費(fèi)立即下降。在此需要求出消費(fèi)的儲蓄彈性。將代入上述公式，得：可以看出，產(chǎn)出關(guān)于儲蓄的彈性為1/2，則儲蓄率上升20%，產(chǎn)出會上升10%。（a）相對于投資不上升的情形，產(chǎn)出最終大約上升多少？（b）相對于投資不上升的情形，消費(fèi)大約上升多少？（c）投資增加對消費(fèi)的直接影響是什么？消費(fèi)要恢復(fù)到不存在投資增長時(shí)的水平，需要花費(fèi)多長時(shí)間？解：（a），上升20%，表明儲蓄率上升了20%。本題則從勞動數(shù)量的角度解釋增長，發(fā)現(xiàn)效果并不明顯。在索洛模型中，在解釋經(jīng)濟(jì)增長的原因時(shí)，索洛從資本的角度加以解釋，但他發(fā)現(xiàn)，資本的差異既不能解釋人類歷史上長期的增長，也不能解釋跨國之間的差距?？梢园l(fā)現(xiàn)，人口增長率的大幅度下降并不會導(dǎo)致產(chǎn)出的大幅度增長。如果、以及，由2％下降至1％將會使提高多少？解：由于，所以對該式兩邊對求導(dǎo)數(shù)，有下式的結(jié)果： （1）而值可以從資本的動態(tài)方程式中尋找。因此，人口增長的下降會導(dǎo)致總產(chǎn)出的增長率下降，如圖110所示。圖19 每個工人平均資本、產(chǎn)出、消費(fèi)的變化（b）由定義，則的增長率為。如圖19所示。圖18 人口增長率下降對每個工人平均穩(wěn)態(tài)資本、平均穩(wěn)態(tài)產(chǎn)出的影響隨著每個工人平均資本的增加，由可以知道每工人平均產(chǎn)出會上升。每個工人平均資本的動態(tài)方程為：由于下降，這會導(dǎo)致變?yōu)檎龜?shù)（在平衡增長路徑上，為0，即資本存量處于最佳水平）。答：（a）由于不存在技術(shù)進(jìn)步，這里可以不考慮技術(shù)因素，將每單位有效勞動簡化為平均勞動，定義：。（a）每個工人平均資本、每個工人平均產(chǎn)出與每個工人平均消費(fèi)等的均衡增長路徑的值發(fā)生了什么變化？描述這些經(jīng)濟(jì)變量移向其新平衡增長路徑的路徑。 考慮一個正處在平衡增長路徑上的索洛經(jīng)濟(jì)。其中，方程（6）左邊，因?yàn)?，則，表明生產(chǎn)函數(shù)的斜率等于持平投資的斜率。由方程（1）可以解出，即： （4）將上式代入方程（3），有下式： 上式可以簡化為： （5）即每單位有效勞動的消費(fèi)等于每單位有效勞動的產(chǎn)出減去每單位有效勞動的實(shí)際投資，而均衡狀態(tài)時(shí)，每單位有效勞動的實(shí)際投資等于每單位有效勞動的持平投資。（b）黃金率的資本存量水平是指每單位有效
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