【正文】 等式的證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題； (2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如ａｂｃ等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，+ｂ=1，可以用ａ=1ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2ｔ進行換元.二、疑難知識導(dǎo)析，要注意分母的正、負(fù)號，以確定不等號的方向.，前者執(zhí)果索因，利于思考，因為它方向明確，思路自然，易于掌握；后者是由因?qū)Ч?，宜于表述，因為它條理清晰，形式簡潔，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因為它敘述較繁，如果把“只需證明”等字眼不寫，它掩蓋了分析、分析法、難以入手時常用分析法探索證題的途徑，之后用綜合法形式寫出它的證明過程，需一邊分析，一邊綜合，、互相滲透、綜合的終點又成為進一步分析的起點.“步步可逆”，也沒有必要要求“步步可逆”，因為這時僅需尋找充分條件，“步步可逆”，則限制了分析法解決問題的范圍，一定要恰當(dāng)?shù)赜煤谩耙C”、“只需證”、“即證”、“也即證”等詞語.，必須要將命題結(jié)論的反面的各種情形一一加以導(dǎo)出矛盾.，由于已知條件的限制作用，可能對引入的角有一定的限制，應(yīng)引起高度重視，也是難點，且要注意整體思想的應(yīng)用.　　三、經(jīng)典例題導(dǎo)講[例1] 已知ab(ab),比較與的大小.錯解： ab(ab)，.錯因：簡單的認(rèn)為大數(shù)的倒數(shù)必定小，：當(dāng)兩數(shù)同號時，大數(shù)的倒數(shù)必定小，小數(shù)的倒數(shù)必定大.正解：，又 ab(ab)，(1)當(dāng)a、b同號時，即ab0或ba0時，則ab0,b－a0, ,.(2)當(dāng)a、b異號時，則a0,b0, 0,0.[例2] 當(dāng)a、b為兩個不相等的正實數(shù)時，下列各式中最小的是（　?。〢.　　　B.　　　C.　　　D.錯解：所以選B.錯因是由于在、中很容易確定最小，并不一定是四者中最小者，要得到正確的結(jié)論，就需要全面比較，不可遺漏與前三者的大小比較.正解：由均值不等式及a2+b22ab,可知選項A、B、C中，最小，而＝，由當(dāng)ab時，a+b2,兩端同乘以，可得（a+b）一、知識導(dǎo)學(xué)1. 目標(biāo)函數(shù): Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一個含有兩個變 量 ｘ 和ｙ 的 函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù)．:約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域.3. 整點:坐標(biāo)為整數(shù)的點叫做整點．:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，通常稱為線性規(guī)劃問題．只含有兩個變量的簡單線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決．5. 整數(shù)線性規(guī)劃:要求量取整數(shù)的線性規(guī)劃稱為整數(shù)線性規(guī)劃．二、疑難知識導(dǎo)析線性規(guī)劃是一門研究如何使用最少的人力、物力和財力去最優(yōu)地完成科學(xué)研究、工業(yè)設(shè)計、：一是在人力、物力、財務(wù)等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是給一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務(wù).，要將邊界畫成虛線．，常用的一種方法是“選點法”：任選一個不在直線上的點，檢驗它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式，若適合，則該點所在的一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域．若 直 線 不 過 原點，通 常 選 擇 原 點 代入檢驗．3. 平 移 直 線 ｙ＝－kｘ ＋Ｐ時，直線必須經(jīng)過可行域．，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個凸多邊形區(qū)域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形的頂點．，無論此類題目是以什么實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講[例1] ．畫出不等式組表示的平面區(qū)域.錯解：如圖（1）所示陰影部分即為不等式組表示的平面區(qū)域.錯因一是實虛線不清，二是部分不等式所表示的平面區(qū)域弄錯了.正解：如圖（2）所示陰影部分即為不等式組表示的平面區(qū)域.[例2] 已知1x－y2,且2x+y4,求4x－2y的范圍.錯解：由于　1x－y2　?、?2x+y4　　?、?①+② 得32x6 ③①(－1)+② 得：02y3 ④.③2+④(－1)得. 34x－2y12錯因：可行域范圍擴大了. 正解：線性約束條件是：令z＝4x－2y，畫出可行域如右圖所示，由得A點坐標(biāo)（，）此時z＝4－2＝5.由得B點坐標(biāo)（3，1）此時z＝43－21＝10. 54x－2y10 [例3] 已知,求x2+y2的最值.錯解：不等式組表示的平面區(qū)域如右圖所示ABC的內(nèi)部（包括邊界），令z= x2+y2由得A點坐標(biāo)（4，1），此時z＝x2+y2＝42+12＝17，由得B點坐標(biāo)（－1，－6），此時z＝x2+y2＝（－1）2+(－6)2＝37，由得C點坐標(biāo)（－3，2），此時z＝x2+y2＝（－3）2+22＝13， 當(dāng)時x2+y2取得最大值37，當(dāng)時x2+y2取得最小值13.錯因：誤將求可行域內(nèi)的點到原點的距離的平方的最值誤認(rèn)為是求三點A、B、C到原點的距離的平方的最值.正解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示ABC的內(nèi)部（包括邊界），令z= x2+y2,則z即為點（x，y）到原點的距離的平方.由得A點坐標(biāo)（4，1），此時z＝x2+y2＝42+12＝17，由得B點坐標(biāo)（－1，－6），此時z＝x2+y2＝（－1）2+(－6)2＝37，由得C點坐標(biāo)（－3，2），此時z＝x2+y2＝（－3）2+22＝13，而在原點處，此時z＝x2+y2＝02+02＝0， 當(dāng)時x2+y2取得最大值37，當(dāng)時x2+y2取得最小值0.[例4]某家具廠有方木料90m3，五合板600m2，五合板2m2，五合板1m2，出售一張書桌可獲利潤80元，可獲利潤多少？如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產(chǎn)可使得利潤最大？分析： 數(shù)據(jù)分析列表書桌書櫥資源限制木料（m3）0．10．290五合板（m2）21600利潤（元/張）80120計劃生產(chǎn)（張）xy設(shè)生產(chǎn)書桌x張，書櫥y張，利潤z元，則約束條件為 2x+y600=0 A(100,400) x+2y900=0 2x+3y=0目標(biāo)函數(shù)z=80x+120y作出上可行域：作出一組平行直線2x+3y=t, 此直線經(jīng)過點A（100，400）時，即合理安排生產(chǎn)，生產(chǎn)書桌100張，書櫥400張，有最大利潤為zmax=80100+400120=56000(元)若只生產(chǎn)書桌，得0x≤300，即最多生產(chǎn)300張書桌，利潤為z=80300=24000（元）若只生產(chǎn)書櫥，得0y≤450，即最多生產(chǎn)450張書櫥，利潤為z=120450=54000（元） 答：略[例5]某鋼材廠要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格小鋼板的塊數(shù)如下表：A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板121第二種鋼板113需求121527每張鋼板的面積，第一種為1m2，第二種為2 m2，今需要A、B、C三種規(guī)格的成品各1127塊，請你們?yōu)樵搹S計劃一下，應(yīng)該分別截這兩種鋼板多少張，可以得到所需的三種規(guī)格成品，而且使所用鋼板的面積最小？只用第一種鋼板行嗎？ 解：設(shè)需要截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，所用鋼板面積為z m2，則 目標(biāo)函數(shù)z=x+2y作出可行域如圖作一組平行直線x+2y=t， 2x+y=15x+y=12 x+3y=27 x+2y=0由可得交點，但點不是可行域內(nèi)的整點，其附近的整點（4，8）或（6，7）可都使z有最小值，且zmin=4+28=20 或zmin=6+27=20若只截第一種鋼板，由上可知x≥27，所用鋼板面積最少為z=27(m2)。一、知識導(dǎo)學(xué)1. 一元一次不等式axb(1)當(dāng)a0時，解為； (2)當(dāng)a＜0時，解為；(3)當(dāng)a＝0，b≥0時無解；當(dāng)a＝0，b＜0時，解為R．2. 一元二次不等式：(如下表)其中a＞0，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩實根，且x1＜x2 　類型解集ax2+bx+c＞0ax2+bx+c≥0ax2+bx+c＜0ax2+bx+c≤0Δ＞0{x｜x＜x1或x＞x2}{x｜x≤x1或x≥x2}{x｜x1＜x＜x2｛x｜x1≤x≤x2｝Δ＝0{x｜x≠，xR}RФ｛x｜x=｝Δ＜0RRΦΦ：可用區(qū)間法(或稱根軸法)求解，其步驟是：　?、賹(x)的最高次項的系數(shù)化為正數(shù)；　　②將f(x)分解為若干個一次因式的積；　　③將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次通過每一點畫曲線；　?、芨鶕?jù)曲線顯示出的f(x)值的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集.：先整理成＞0或≥0的形式，轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，即：　?。?f(x) 5． 三數(shù)成等比數(shù)列，若將第三個數(shù)減去32，則成等差數(shù)列，若再將這等差數(shù)列的第二個數(shù)減去4，則又成等比數(shù)列，求原來三個數(shù)。（假定相鄰兩層樓梯長相等）解：設(shè)相鄰兩層樓梯長為a，則當(dāng)n為奇數(shù)時，取 S達到最小值當(dāng)n為偶數(shù)時，取 S達到最大