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數(shù)列經(jīng)典例題導(dǎo)講精-文庫(kù)吧資料

2025-03-31 02:52本頁(yè)面
  

【正文】 等式的證明,當(dāng)所給條件較復(fù)雜,一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示,這時(shí)可考慮三角代換,可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系,將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題; (2)增量換元法:在對(duì)稱式(任意交換兩個(gè)字母,代數(shù)式不變)和給定字母順序(如abc等)的不等式,考慮用增量法進(jìn)行換元,其目的是通過(guò)換元達(dá)到減元,使問(wèn)題化難為易,+b=1,可以用a=1t,b=t或a=1/2+t,b=1/2t進(jìn)行換元.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析,要注意分母的正、負(fù)號(hào),以確定不等號(hào)的方向.,前者執(zhí)果索因,利于思考,因?yàn)樗较蛎鞔_,思路自然,易于掌握;后者是由因?qū)Ч?,宜于表述,因?yàn)樗鼦l理清晰,形式簡(jiǎn)潔,用分析法探求證明不等式,只是一種重要的探求方式,而不是一種好的書寫形式,因?yàn)樗鼣⑹鲚^繁,如果把“只需證明”等字眼不寫,它掩蓋了分析、分析法、難以入手時(shí)常用分析法探索證題的途徑,之后用綜合法形式寫出它的證明過(guò)程,需一邊分析,一邊綜合,、互相滲透、綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步分析的起點(diǎn).“步步可逆”,也沒(méi)有必要要求“步步可逆”,因?yàn)檫@時(shí)僅需尋找充分條件,“步步可逆”,則限制了分析法解決問(wèn)題的范圍,一定要恰當(dāng)?shù)赜煤谩耙C”、“只需證”、“即證”、“也即證”等詞語(yǔ).,必須要將命題結(jié)論的反面的各種情形一一加以導(dǎo)出矛盾.,由于已知條件的限制作用,可能對(duì)引入的角有一定的限制,應(yīng)引起高度重視,也是難點(diǎn),且要注意整體思想的應(yīng)用.  三、經(jīng)典例題導(dǎo)講[例1] 已知ab(ab),比較與的大小.錯(cuò)解: ab(ab),.錯(cuò)因:簡(jiǎn)單的認(rèn)為大數(shù)的倒數(shù)必定小,:當(dāng)兩數(shù)同號(hào)時(shí),大數(shù)的倒數(shù)必定小,小數(shù)的倒數(shù)必定大.正解:,又 ab(ab),(1)當(dāng)a、b同號(hào)時(shí),即ab0或ba0時(shí),則ab0,b-a0, ,.(2)當(dāng)a、b異號(hào)時(shí),則a0,b0, 0,0.[例2] 當(dāng)a、b為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)時(shí),下列各式中最小的是( ?。〢.   B.   C.   D.錯(cuò)解:所以選B.錯(cuò)因是由于在、中很容易確定最小,并不一定是四者中最小者,要得到正確的結(jié)論,就需要全面比較,不可遺漏與前三者的大小比較.正解:由均值不等式及a2+b22ab,可知選項(xiàng)A、B、C中,最小,而=,由當(dāng)ab時(shí),a+b2,兩端同乘以,可得(a+b)一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1. 目標(biāo)函數(shù): P =2x+y是一個(gè)含有兩個(gè)變 量 x 和y 的 函數(shù),稱為目標(biāo)函數(shù).:約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域.3. 整點(diǎn):坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題,通常稱為線性規(guī)劃問(wèn)題.只含有兩個(gè)變量的簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題可用圖解法來(lái)解決.5. 整數(shù)線性規(guī)劃:要求量取整數(shù)的線性規(guī)劃稱為整數(shù)線性規(guī)劃.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析線性規(guī)劃是一門研究如何使用最少的人力、物力和財(cái)力去最優(yōu)地完成科學(xué)研究、工業(yè)設(shè)計(jì)、:一是在人力、物力、財(cái)務(wù)等資源一定的條件下,如何使用它們來(lái)完成最多的任務(wù);二是給一項(xiàng)任務(wù),如何合理安排和規(guī)劃,能以最少的人力、物力、資金等資源來(lái)完成該項(xiàng)任務(wù).,要將邊界畫成虛線.,常用的一種方法是“選點(diǎn)法”:任選一個(gè)不在直線上的點(diǎn),檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式,若適合,則該點(diǎn)所在的一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域;否則,直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域.若 直 線 不 過(guò) 原點(diǎn),通 常 選 擇 原 點(diǎn) 代入檢驗(yàn).3. 平 移 直 線 y=-kx +P時(shí),直線必須經(jīng)過(guò)可行域.,可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個(gè)凸多邊形區(qū)域,此時(shí)變動(dòng)直線的最佳位置一般通過(guò)這個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn).,無(wú)論此類題目是以什么實(shí)際問(wèn)題提出,其求解的格式與步驟是不變的:(1)尋找線性約束條件,線性目標(biāo)函數(shù);(2)由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域;(3)在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講[例1] .畫出不等式組表示的平面區(qū)域.錯(cuò)解:如圖(1)所示陰影部分即為不等式組表示的平面區(qū)域.錯(cuò)因一是實(shí)虛線不清,二是部分不等式所表示的平面區(qū)域弄錯(cuò)了.正解:如圖(2)所示陰影部分即為不等式組表示的平面區(qū)域.[例2] 已知1x-y2,且2x+y4,求4x-2y的范圍.錯(cuò)解:由于 1x-y2 ?、?2x+y4   ②,①+② 得32x6 ③①(-1)+② 得:02y3 ④.③2+④(-1)得. 34x-2y12錯(cuò)因:可行域范圍擴(kuò)大了. 正解:線性約束條件是:令z=4x-2y,畫出可行域如右圖所示,由得A點(diǎn)坐標(biāo)(,)此時(shí)z=4-2=5.由得B點(diǎn)坐標(biāo)(3,1)此時(shí)z=43-21=10. 54x-2y10 [例3] 已知,求x2+y2的最值.錯(cuò)解:不等式組表示的平面區(qū)域如右圖所示ABC的內(nèi)部(包括邊界),令z= x2+y2由得A點(diǎn)坐標(biāo)(4,1),此時(shí)z=x2+y2=42+12=17,由得B點(diǎn)坐標(biāo)(-1,-6),此時(shí)z=x2+y2=(-1)2+(-6)2=37,由得C點(diǎn)坐標(biāo)(-3,2),此時(shí)z=x2+y2=(-3)2+22=13, 當(dāng)時(shí)x2+y2取得最大值37,當(dāng)時(shí)x2+y2取得最小值13.錯(cuò)因:誤將求可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方的最值誤認(rèn)為是求三點(diǎn)A、B、C到原點(diǎn)的距離的平方的最值.正解:不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示ABC的內(nèi)部(包括邊界),令z= x2+y2,則z即為點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)的距離的平方.由得A點(diǎn)坐標(biāo)(4,1),此時(shí)z=x2+y2=42+12=17,由得B點(diǎn)坐標(biāo)(-1,-6),此時(shí)z=x2+y2=(-1)2+(-6)2=37,由得C點(diǎn)坐標(biāo)(-3,2),此時(shí)z=x2+y2=(-3)2+22=13,而在原點(diǎn)處,此時(shí)z=x2+y2=02+02=0, 當(dāng)時(shí)x2+y2取得最大值37,當(dāng)時(shí)x2+y2取得最小值0.[例4]某家具廠有方木料90m3,五合板600m2,五合板2m2,五合板1m2,出售一張書桌可獲利潤(rùn)80元,可獲利潤(rùn)多少?如果只安排生產(chǎn)書櫥,可獲利潤(rùn)多少?怎樣安排生產(chǎn)可使得利潤(rùn)最大?分析: 數(shù)據(jù)分析列表書桌書櫥資源限制木料(m3)0.10.290五合板(m2)21600利潤(rùn)(元/張)80120計(jì)劃生產(chǎn)(張)xy設(shè)生產(chǎn)書桌x張,書櫥y張,利潤(rùn)z元,則約束條件為 2x+y600=0 A(100,400) x+2y900=0 2x+3y=0目標(biāo)函數(shù)z=80x+120y作出上可行域:作出一組平行直線2x+3y=t, 此直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(100,400)時(shí),即合理安排生產(chǎn),生產(chǎn)書桌100張,書櫥400張,有最大利潤(rùn)為zmax=80100+400120=56000(元)若只生產(chǎn)書桌,得0x≤300,即最多生產(chǎn)300張書桌,利潤(rùn)為z=80300=24000(元)若只生產(chǎn)書櫥,得0y≤450,即最多生產(chǎn)450張書櫥,利潤(rùn)為z=120450=54000(元) 答:略[例5]某鋼材廠要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格,每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格小鋼板的塊數(shù)如下表:A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板121第二種鋼板113需求121527每張鋼板的面積,第一種為1m2,第二種為2 m2,今需要A、B、C三種規(guī)格的成品各1127塊,請(qǐng)你們?yōu)樵搹S計(jì)劃一下,應(yīng)該分別截這兩種鋼板多少?gòu)?,可以得到所需的三種規(guī)格成品,而且使所用鋼板的面積最???只用第一種鋼板行嗎? 解:設(shè)需要截第一種鋼板x張,第二種鋼板y張,所用鋼板面積為z m2,則 目標(biāo)函數(shù)z=x+2y作出可行域如圖作一組平行直線x+2y=t, 2x+y=15x+y=12 x+3y=27 x+2y=0由可得交點(diǎn),但點(diǎn)不是可行域內(nèi)的整點(diǎn),其附近的整點(diǎn)(4,8)或(6,7)可都使z有最小值,且zmin=4+28=20 或zmin=6+27=20若只截第一種鋼板,由上可知x≥27,所用鋼板面積最少為z=27(m2)。一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1. 一元一次不等式axb(1)當(dāng)a0時(shí),解為; (2)當(dāng)a<0時(shí),解為;(3)當(dāng)a=0,b≥0時(shí)無(wú)解;當(dāng)a=0,b<0時(shí),解為R.2. 一元二次不等式:(如下表)其中a>0,x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩實(shí)根,且x1<x2  類型解集ax2+bx+c>0ax2+bx+c≥0ax2+bx+c<0ax2+bx+c≤0Δ>0{x|x<x1或x>x2}{x|x≤x1或x≥x2}{x|x1<x<x2{x|x1≤x≤x2}Δ=0{x|x≠,xR}RФ{x|x=}Δ<0RRΦΦ:可用區(qū)間法(或稱根軸法)求解,其步驟是: ?、賹(x)的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù); ?、趯(x)分解為若干個(gè)一次因式的積;  ③將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上,從右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫曲線; ?、芨鶕?jù)曲線顯示出的f(x)值的符號(hào)變化規(guī)律,寫出不等式的解集.:先整理成>0或≥0的形式,轉(zhuǎn)化為整式不等式求解,即: ?。?f(x) 5. 三數(shù)成等比數(shù)列,若將第三個(gè)數(shù)減去32,則成等差數(shù)列,若再將這等差數(shù)列的第二個(gè)數(shù)減去4,則又成等比數(shù)列,求原來(lái)三個(gè)數(shù)。(假定相鄰兩層樓梯長(zhǎng)相等)解:設(shè)相鄰兩層樓梯長(zhǎng)為a,則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),取 S達(dá)到最小值當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),取 S達(dá)到最大
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