【正文】 ）若則當(dāng)n≥2時(shí),.解: (Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明,. （1）當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立。又h(0)=0，∴當(dāng)時(shí)，恒有h(x) ＜h(0)=0,即x2 – ln(x+1) ＜x3恒成立.故當(dāng)時(shí),有f(x) ＜x3..∵取則有 ∴,故結(jié)論成立。綜上所述，實(shí)數(shù)b的取值范圍是。若f/ (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x2 +2x+b≥0在( 1，+ ∞)上恒成立,即b≥2x2 2x = 恒成立,由此得b≥。安徽高考)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝0，an+1＝can3＋1－c，c∈N*，其中c為實(shí)數(shù).(Ⅰ)證明：an∈[0，1]對(duì)任意n∈N*成立的充分必要條件是c∈[0，1]；(Ⅱ)設(shè)0＜c＜，證明：an≥1－(3c)n1，n∈N*；（Ⅲ）設(shè)0＜c＜，證明：a12＋a22＋…＋an2＞n＋1－，n∈N*.20090318【分析】　第（1）小題可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）小題可利用綜合法結(jié)合不等關(guān)系的迭代；第（3）小題利用不等式的傳遞性轉(zhuǎn)化等比數(shù)列，然后利用前n項(xiàng)和求和，再進(jìn)行適當(dāng)放縮.【解】（Ⅰ）必要性：∵a1＝0，a2＝1－c，又∵a2∈[0，1]，∴0≤1－c≤1，即c∈[0，1].充分性：設(shè)c∈[0，1]，對(duì)n∈N*用數(shù)學(xué)歸納法證明an∈[0，1].(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1∈[0，1].(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，ak∈[0，1](k≥1)成立，則ak＋1＝cak3＋1－c≤c＋1－c＝1，且ak＋1＝cak3＋1－c≥1－c≥0，∴ak＋1∈[0，1]，這就是說(shuō)n＝k＋1時(shí)，an∈[0，1].由（1）、（2）知，當(dāng)c∈[0，1]時(shí)，知an∈[0，1]對(duì)所胡n∈N*成立.綜上所述，an∈[0，1]對(duì)任意n∈N*成立的充分必要條件是c∈[0，1].（Ⅱ）設(shè)0＜c＜，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝0，結(jié)論成立.當(dāng)n≥2時(shí)，由an＝can13＋1－c，∴1－an＝c(1－an1)(1＋an1＋an12)∵0＜c＜，由(Ⅰ)知an1∈[0，1]，所以1＋an1＋an12≤3，且1－an1≥0，∴1－an≤3c(1－an1)，∴1－an≤3c(1－an1)≤(3c)2(1－an2)≤…≤(3c) n1(1－a1)＝(3c) n1，∴an≥1－(3c)n1，n∈N*.(Ⅲ)設(shè)0＜c＜，當(dāng)n＝1時(shí)，a12＝0＞2－，結(jié)論成立.當(dāng)n≥2時(shí)，由（Ⅱ）知an≥1－(3c)n1＞0，∴an2≥[(1－(3c)n1)] 2＝1－2(3c)n1＋(3c)(n1)＞1－2(3c)n1，a12＋a22＋…＋an2＝a22＋…＋an2＞n－1－2[3c＋(3c)2＋…＋(3c)n1]＝n－1－2[1＋3c＋(3c)2＋…＋(3c)n1－1]＝n＋1－＞n＋1－.【點(diǎn)評(píng)】　本題是數(shù)列與不等式、數(shù)學(xué)歸納法的知識(shí)交匯題，屬于難題，此類(lèi)試題在高考中點(diǎn)占有一席之地，(Ⅰ)小題實(shí)質(zhì)也是不等式的證明，【例17】（2007湖北理21）（本小題滿分14分）已知m，n為正整數(shù).（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x1時(shí)，(1+x)m≥1+mx；（Ⅱ）對(duì)于n≥6，已知，求證，m=1,1,2…，n；（Ⅲ）求出滿足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整數(shù)n.解：（Ⅰ）證：當(dāng)x=0或m=1時(shí)，原不等式中等號(hào)顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x1，且x≠0時(shí)，m≥2,(1+x)m1+mx. (i)當(dāng)m=2時(shí)，左邊＝1+2x+x2,右邊＝1+2x，因?yàn)閤≠0,所以x20，即左邊右邊，不等式①成立；（ii）假設(shè)當(dāng)m=k(k≥2)時(shí)，不等式①成立，即（1+x）k1+kx,則當(dāng)m=k+1時(shí)，因?yàn)閤1,所以1+x≠0,k≥2,所以kx20.于是在不等式（1+x）k1+kx兩邊同乘以1+x得（1+x）k⑵設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，.解:設(shè) ， 即 …………………………… (2分) 故 …………………………… (4分)∴ ………(5分)又 ……………………………………………………………………(6分)故存在是等比數(shù)列 ……………(7分)⑵證明：由⑴得 ∴，故 ……………………………………………… (8分)∵ ………………………… (9分)∴ ……………………………………（11分）現(xiàn)證.當(dāng)，故時(shí)不等式成立 ………………………………………………（12分）當(dāng)?shù)?，且由，? …………………………………… （14分）【例13】．已知數(shù)列、中，對(duì)任何正整數(shù)都有：．（1）若數(shù)列是首項(xiàng)和公差都是1的等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是否是等差數(shù)列，若是請(qǐng)求出通項(xiàng)公式，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，求證：．又，故 ，要使是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，必需， 即①當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式是；②當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比不是2時(shí)，數(shù)列不是等差數(shù)列． （3）由（2）知， 【例14】． 在數(shù)列中，（Ⅰ）試比較與的大??；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，.解：（Ⅰ）由題設(shè)知，對(duì)任意，都有 ， ………………………………6分（Ⅱ）證法1：由已知得，又.當(dāng)時(shí)， …………………………………10分設(shè) ①則 ②①②，得……………………14分證法2：由已知得，（1） 當(dāng)時(shí)，由，知不等式成立?！纠?0】．已知：（）是方程的兩根，且，. ． （1）求的值； （2）設(shè)，求證：； （3）求證：對(duì)有 w。（2）用放縮發(fā)證明數(shù)列不等式：【例9】．已知曲線的直線交曲線C于另一點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列 （I）求證：是等比數(shù)列； （II）求證：解：過(guò)C：的直線交C于另一點(diǎn)，于是有： ………………2分因此數(shù)列是等比數(shù)列。（Ⅱ）因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以　　　　?=。（Ⅰ）求aa5，并寫(xiě)出an的表達(dá)式；（Ⅱ）令，證明，n=1,2,…。[1－(－)n]＜b，(n∈N*).得＜－(λ＋18)＜，(n∈N*) ①令f(n)＝1－(－)n，則當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1＜f(n)≤，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)≤f(n)＜1；∴f(n)的最大值為f(1)＝，f(n)的最小值為f(2)＝,于是，由①式得a＜－(λ＋18)＜b，∴－b－18＜λ＜－3a－18，(必須－b＜－3a，即b＞3a).當(dāng)a＜b3a時(shí)，由－b－18≥－3a－18，不存在實(shí)數(shù)滿足題目要求；當(dāng)b＞3a存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有a＜Sn＜b,且λ的取值范圍是(－b－18，－3a－18).【點(diǎn)評(píng)】　存在性問(wèn)題是指命題的結(jié)論不確定的一類(lèi)探索性問(wèn)題，解答此類(lèi)題型一般是從存在的方面入手，尋求結(jié)論成立的條件，若能找到這個(gè)條件，則問(wèn)題的回答是肯定的；若找不到這個(gè)條件或找到的條件與題設(shè)矛盾，——推證——.題型四　數(shù)列與不等式的證明問(wèn)題此類(lèi)不等式的證明常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；(3)放縮法，主要是通過(guò)分母分子的擴(kuò)大或縮小、項(xiàng)數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的.（4）數(shù)學(xué)歸納法。9＝0，矛盾，所以{an}不是等比數(shù)列.(Ⅱ)解：因?yàn)閎n+1＝(－1)n+1[a n+1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n+1(a n－2n＋14)＝－（1）n(a n－3n－21)＝－b n，20090318又b1＝－(λ＋18)，所以當(dāng)λ＝－18時(shí)，bn＝0(n∈N*)，此時(shí){bn}不是等比數(shù)列；當(dāng)λ≠－18時(shí)，