【正文】 .2 22 dxxR ?,xp ??在端面建立坐標(biāo)系如圖 解 小矩形片的壓力元素為 dxxRxdP 222 ?? ?端面上所受的壓力dxxRxP R 220 2 ?? ? ?)( 220 22 xRdxRR ???? ??? ? RxR032232?????? ??? ?.32 3R??例 5 將直角邊各為 a 及 a2 的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜邊朝下，長直角邊與水面平行，且該邊到水面的距離恰等于該邊的邊長，求薄板所受的側(cè)壓力． xoa2 a2a,)(2 dxxa ?dxxaaxdP ??????? 1)(2)2(dxxaaxP a ?))(2(20 ??? ? .37 3a??建立坐標(biāo)系如圖 面積元素 解 由物理學(xué)知道，質(zhì)量分別為21, mm 相距為r 的兩個質(zhì)點間的引力的大小為221rmmkF ? ，其中 k 為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點的連線方向． 如果要計算一根細(xì)棒對一個質(zhì)點的引力，那么，由于細(xì)棒上各點與該質(zhì)點的距離是變化的，且各點對該質(zhì)點的引力方向也是變化的，就不能用此公式計算．三、引力 例 6 有一長度為 l 、線密度為 ? 的均勻細(xì)棒， 在其中垂線上距棒 a 單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點 M ，計算該棒對質(zhì)點 M 的引力． 2l2l?? xyo Ma取 y 為積分變量取任一小區(qū)間 ],[ dyyy ?,2,2 ???????? lly,dy?rydyy?將典型小段近似看成質(zhì)點 小段的質(zhì)量為 建立坐標(biāo)系如圖 解 小段與質(zhì)點的距離為 ,22 yar ??,22 ya dymkF ??? ?,)( 2322 yadyamkdFx ????2322 )( 22 yadyamkF llx ??? ???,)4(22122 laalkm??? ?.0?yF由對稱性知，引力在鉛直方向分力為 水平方向的分力元素 引力 例 7: ,R j有一半徑為 中心角為 的圓弧形細(xì)棒, 其線密度m? 。39。)(2)()()()(39。)(s i n)(2)()()(39。2。 39。22()y R xR x R x??? ? ?解 ： 球 面 可 看 作 由 半 圓繞 軸 旋 轉(zhuǎn) 而 成 ， 于 是2222221RRxA R x d xRx??? ? ? ???24 R??2( sin )( 0 2 )( 1 c o s )x a t tty a tx?? ????????例 、 求 擺 線繞 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 所 得 旋 轉(zhuǎn) 體 的 表 面 積 。 ? ? ? ? ? ?22 39。39。22 ( ) 1d S f x f x d x???x dxx? x y o 旋轉(zhuǎn)曲面的面積為 ? ? ? ?39。 取微區(qū)間[ , + ] , 則（）21d s y d x??記 弧長微元 23 S = 1ab y dx??。 局部量 .)( iii xfQ ??? ?那么，將 Q用積分來表達(dá)的步驟如下 : step1. 選取積分變量及積分區(qū)間 ? ?],[: bax ?如step2. 取微區(qū)間 [x,x+dx]，求出 )( dxxfQ ??dxxfdQ )( ?并記step3. ?? ba dxxfA )( 計算求Ｕ的步驟 分割 用分點 bxxxxa nn ?????? ? 110 ?將 區(qū)間分成 n 個小區(qū)間 11 ],[ ?? ?? iiiii xxxxx ?以直線代曲 把Ｕ在小區(qū)間上的局部量 iU?用某個函數(shù) f ( x) 在 ]),[( 1 iiii xx ????的值與 ix? 之積代替 iii xfU ??? )(?求和 把局部量的近似值累加得到總量的近似值 , 即 ?????? niiinii xfUU11)( ???設(shè)量Ｕ非均勻地分布 [ a ,b ]上 ixni ?? m a x1 ???? ????? nibaii dxxfxfU10)()(lim ??? 由此可知，若某個非均勻量Ｕ在區(qū)間 [a,b] 上滿足兩個條件： （ 1） 總量在區(qū)間上具有 可加性 ，即把區(qū)間分成幾個小區(qū)間時總量就等于各個小區(qū)間上的局部量之和， （ 2）局部量可用 ii xf ?? )( 近似表示 它們之間只相差一個 ix? 的 高階無窮小 不均勻量Ｕ就可以用定積分來求得 這是建立所求量的積分式的基本方法 求極限 1 求微元 寫出典型小區(qū)間 ],[],[ badxxx ??上的局部量 U? 的近似值 dxxfdU )(?這就是局部量的微元 2 求積分 即把微元 dU 在區(qū)間 [ a , b ] 上 dxxf )(作積分表達(dá)式， 求它在 [ a , b ] 上的定積分，即 ?? badxxfU )(這就是 微元法 “無限積累”起來 ， 相當(dāng)于把 例 C y f x a b設(shè)曲線 : = ( ) 在[ , ] 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù), 求弧長解 :（圖一） 1 x [ a ,b ]?。 Q是與某一變量 x的變化區(qū)間 [a,b]有關(guān)的量； 2。 )( ,)( iiii xoAfA ???? 且誤差為局部量 ? 實際上，引出 A的積分表達(dá)式的關(guān)鍵步驟是第 二步，因此求解可簡化如下： step1:選取積分變量及積分 區(qū)間（如 x屬于 [a,b]） step2:取微區(qū)間 [x,x+dx] 求出 )( )( 局部量dxxfA ??稱為面積元素并記 )( dxxfdA ?step3: ?? ba dxxfA )( 計算這種方法稱為定積分的 元素法 或 微元法 。 對 [a,b]具有可加性， 。 與區(qū)間 [a,b]及 [a,b]上連續(xù)函數(shù) f(x)有關(guān) 。 那么 ， 究竟哪些量可以通過定積分來求值呢 ？ 一 定積分的元素法 (或微元法 ) 為了說明微元法，我們先來回顧一下曲邊梯形 面積轉(zhuǎn)化為定積分的計算過程。解 : 2c o s 1 c o syxd s x d x? ?? ? ?2122220221 c os 1 c os2tS x dx S x t dtt?? ? ? ?????令21 1 122 2 24 2 4 1 2 2 422t dt t dt dttt??? ? ? ???? ? ?12???例 5 證明正弦線 xay s i n? )20( ??? x 的弧長等于橢圓??????taytxs i n1c o s2 )20( ??? t 的周長 . 證 設(shè)正弦線的弧長等于 1sdxys ? ? ??? 20 21 1 dxxa? ? ?? 20 22 c o s1設(shè)橢圓的周長為 2s ,c os12 0 22 dxxa? ? ??? ? ? ? ,20 222 dtyxs ? ? ????根據(jù)橢圓的對稱性知 ? ? ? ?? ? dttats ? ? ??? 0 2222 c os1s i n2dxxa? ? ?? 0 22 c o s12 ,1s?dtta? ? ?? 0 22 c o s12故原結(jié)論成立 . 曲線弧為 )( ??? ??)(?rr ?其中 )( ?j 在 ],[ ?? 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) .?????????s i n)(c os)(ryrx?)( ??? ??22 )()( dydxds ??? ,)()( 22 ??? drr ??.)()( 22 ????? drrs ? ???四、極坐標(biāo)情形 弧長 例 6 求極坐標(biāo)系下曲線33s i n ??????? ?ar的長 . )0( ?a解 ????? drrs ? ???? )()( 22313c o s3s i n32?????????? ??ar? ,3c os3s i n 2 ?? ???????? a.23 a?????? daa242623c os3s in3s in ???????????????????? ?? 30?? d23s in ??????? ?? 30a?? ?0( )3?例 7 求阿基米德螺線 ?ar ? )0( ?a 上相應(yīng)于? 從 0 到 ?2 的弧長 . 解 ,ar ???????? drrs ? ???? )()( 22? ?.)412ln (4122 22 ????????? a? ?? 20 ?? daa 222 ? ? ?? 20a ?? d12 ?平面曲線弧長的概念 ?????五、小結(jié) 求弧長的公式 弧微分的概念 極坐標(biāo)系下 參數(shù)方程情形下 直角坐標(biāo)系下 思考題 閉區(qū)間 ],[ ba 上的連續(xù)曲線 )( xfy ?是否一定可求長？思考題解答 不一定．僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線光滑才可求長． 作業(yè) : P252 1。 將 n個小薄片體積的近似值相加得立體體積的近似值 x O a x1 xi?1 xi xn b xo a b二、平行截面面積為已知的立體的體積 x dxx? 如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算 . )( xA 表示過點x 且垂直于 x 軸的截面面積， )( xA 為 x 的已知連續(xù)函數(shù),)( dxxAdV ? .)(?? ba dxxAV立體體積 例 6 一平面經(jīng)過半徑為 R 的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角 ? ，計算這平面截圓柱體所得立體的體積 . RR?xyo解 ?取坐標(biāo)系如圖 底圓方程為 222 Ryx ??垂直于 x 軸的截面為直角三角形x截面面積 ,t a n)(21)( 22 ?xRxA ??立體體積 dxxRV RR ?t a n)(21