【正文】 ce x ?? 331 解 練習(xí) 計算下列不定積分 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） ? dyye y dtetett???1 dxee xx? ??1 dxeexx?? 21常用的第一類換元積分法有如下的幾種形式： 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 （ 1） ??? dxbaxf )( )()(1 baxdbaxfa ???? ?0?a （ 2） )()(1)(1 baxdbaxfandxbaxfxnnnn ???? ?? ? ? ?0?a 當(dāng)被積函數(shù)中有 時 ,一般是保留高次方 ,將 低次方 湊成高次方的導(dǎo)數(shù) . nn xx ,1? nx x1?nx ndxn1（ 3） )()(2)(1 xdxfdxxfx ?? ?當(dāng)被積函數(shù)中有 和 時 ,一般是保留 ,將 湊成 xx1xd2xx1 （ 4） )1()1()1(12 xdxfdxxfx ?? ??當(dāng)被積函數(shù)中有 和 時 ,一般是保留 ,將 湊成 x121x x121x經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 )1( xd?（ 5） ? ? ??? cxdxfx d xxf c o s)( c o ss i n)( c o s? ? ?? cxdxfx d xxf s i n)( s i nc o s)( s i n（ 6） 當(dāng)被積函數(shù)中有 和 時 ,根據(jù)題意 ,可以保留 , 將 湊成 ,也可保留 ,也可以保留 ,將 湊成 xsin xcosxd sinxsinxcos xcosxd c o s?xsin （ 7） ? ? ?? cxdxfx d xxf t a n)( t a ns e c)( t a n 2當(dāng)被積函數(shù)中有 和 時 ,一般是保留 , 將 湊成 xtan x2sec xtanx2sec xd tan經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 （ 8） ? ? ??? cxdxfx d xxf c o t)( c o tc s c)( c o t 2 當(dāng)被積函數(shù)中有 和 時 ,一般是保留 ,將 湊成 . xcot x2csc xcotxd c ot?x2csc? ? ??? cxdxfdxxxf a r c t a n)( a r c t a n1 1)( a r c t a n 2 （ 9） 當(dāng)被積函數(shù)中有 和 時 ,一般是保留 , 將 湊成 xarc ta n211x?xarctan211x? xd a r c ta n? ? ???? cxd a r cxa r cfdxxxa r cf c o t)c o t(1 1)c o t( 2 （ 10） 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 當(dāng)被積函數(shù)中有 和 時 ,一般是保留 , 將 湊成 xarc c ot211x?xd a rc c o t?xarc c ot211x?? ? ??? cxdxfdxxxf a r c s i n)( a r c s i n1 1)( a r c s i n 2 （ 11） xarcsin211x? 當(dāng)被積函數(shù)中有 和 時 ,一般是保留 , 將 湊成 xd arc s inxarcsin （ 12） ? ? ???? cxdxfdxxxf a r c c o s)( a r c c o s1 1)( a r c c o s 2 當(dāng)被積函數(shù)中有 和 時 ,一般是保留 , xarccos211x?211x?xarccos經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 將 湊成 . 211x?xd a r c c o s? （ 13） ? ? ?? cdeefdxeef xxxx )()(當(dāng)被積函數(shù)中有兩個 時 ,一般保留一個 ,將另一個 湊成 xexexe xde （ 14） xdxfdxxfx ln)( l n)( l n1 ?? ?當(dāng)被積函數(shù)中有 和 時 ,一般是保留 ,將 湊 成 xlnx1 xlnx1xd ln 例 26 求不定積分 dxex x 22 3 ??經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 解 dxex x 22 3 ?? cexde xx ???? ??? 232 3331)2(31例 27 求不定積分 ??? d? ? 3)5c os (s i n??? d? ? 3)5c os (s i n )5c o s ()5c o s ( 3 ???? ? ?? dc??? )5(c o s41 4 ? = 解 例 28 求不定積分 xdx? 2c o s 解 被積函數(shù)為正弦或余弦函數(shù)的偶數(shù)次方時，一 般用倍角公式降冪 ,再積分 . 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 xdx? 2c o scxxxxdxdxx ???????? ?? )2s i n (4121)2(2c o s4121)2c o s1(21例 29 求不定積分 xdx? 4c o s解 被積函數(shù)為正弦或余弦函數(shù)的偶數(shù)次方時，一般用倍角公式降冪再積分 . xdx? 4c o sdxxxdxx???????)2c os2c os21(41)2c os1(4122 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 dxxx? ??? )4c o s212c o s223(41cxxx ???? )4s i n812s i n23(41cxxx ???? 4s i n3212s i n4183例 30 求不定積分 ? xdxc sc? xdxc sc解 ??? ???22c o s2t a n12c o s2s i n21s i n12xdxxdxxxdxxcxxdx ??? ?2t anln2t an2t an1cxx ??? c o tc s cln經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 例 31 求不定積分 ? xdxs ec解 利用例 29的結(jié)論 , ? xdxsec cxxxdx ???????? ? )2c o t ()2c s c (ln)2()2c s c ( ????cxx ??? ta ns e cln例 32 求不定積分 xdx? 3s in解 被積函數(shù)為正弦或余弦函數(shù)的奇數(shù)次方時，一般拆項，湊微分 . xdx? 3s in ? ? x dxx s ins in 2 xxd c o ss in 2???= 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 xdx c os)c os1( 2? ???cxxxxdxd ?????? ?? 32 c o s31c o sc o sc o sc o s = 例 33 x dxx52 c oss in?x dxx 52 c oss in? xxdx s inc oss in 42?? 解 xdxx s i n)s i n1(s i n 222 ?? ?xdxxx s i n)s i ns i n2( s i n 642? ???cxxx ???? 753 s i n71s i n52s i n31經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 例 34 求不定積分 ? x dxx 3c os2s in?解 若被積函數(shù)是兩個不同角度的正弦函數(shù)和余弦函 ?數(shù)相乘 ,或是兩個不同角度的正弦函數(shù)相乘 ,或是兩個 ?不同角度的余弦函數(shù)相乘 ,一般首先要經(jīng)過積化和差 ?公式 ,將被積函數(shù)化為兩個三角函數(shù)相加減的形式 ,再 ?積分 . ? x dxx 3c os2s incxxdxxx????? ?5c o s101c o s21)s i n5( s i n21經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 例 35 dxxx? 2c os3c osdxxx? 2c os3c os解 ? ?? dxxx )5c o s( c o s21cxx ??? 5s i n101s i n21第一換元積分法是在已知 的條件下，要計算不定積分 ，需要通過變量替換 ，將 化為 的形式，再 利用已知的公式 ，求出不定積分，第一換元積分法為我們解決了一大部分復(fù)合函數(shù)的不定積分問題 ,但是 cuFduuf ??? )()(? ? dxxxf )())(( ??)(xu ?? ? ? dxxxf )())(( ?? ? duuf )(經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 還有一類函數(shù)的不定積分用第一換元積分法不能解決 , 如 : ????? ????? dxxadxaxdxxadxx222222 ,111這一類的不定積分可以利用第二換元積分法解決 . 二、第二類換元積分法 ?第二類換元積分法是在已知 ?的前提下，要計算 不定積分 ，這樣需要通過 ?變量替換 將 化為 的形式 ?，從而求出其不定積分。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 例 求 ? xx ds i n 2解 ? xx ds i n 2?? ?? xxx 2d2c o s41d21Cxx ??? 2s i n412,n當(dāng) 是偶數(shù)時sin c os ,nnxx被積函數(shù)為 或用倍角公式 降冪 , 注 ? ?? dxx )c o s( 2121經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 .dc os 4? xx求224 )( c o sc o s xx ?由于 2)2 2c o s1( x??)2 4c o s12c o s21(41 xx ????),2 4c os2c os223(41 xx ???]d4c o s21d2 c o s 2d23[41dc o s 4 ???? ??? xxxxxxx所以.4s in3212s in4183 Cxxx ????例 解 )2c o s2c o s21(41 2 xx ???經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 例 求 解 ? xxx d2c o s3c o s)]c o s ()[ c o s (21c o sc o s BABABA ????)5c os( c os212c os3c os xxxx ???? ?? xxxxxx d)5c o s( c o s21d2c o s3c o sCxx ??? 5s i n101s i n21 不同角度的正弦、余弦之積的積分常用積化和差公式來化簡 . 注 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 例 .dc oss i n 52? ? xxx求解 ? ? xxx dc oss i n 52 ? ?? )( s i ndc oss in 42 xxx? ??? )( s ind)s in1(s in 222 xxx? ??? )( s ind)s ins in2( s in 642 xxxx.s in71s in52s in31 753 Cxxx ????說明 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時 , 拆開奇次項去湊微分 . 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 2( t a n ) s e c d( 6 ) f x x x ?? dtan .xx d xxf 2c s c)( c o t)7( ? xdxf c o t)( c o t???。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 二、不定積分的計算 （ 1）第一類換元法 （ 2）第二類換元法 1. 換元積分法 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) —— 新編微積分 ? xx d2c o s Cx ?2s in解決方法 將積分變量換成 令 xt 2? ?? xx d2c o s tt dc o s21 ?? Ct ?? s in21Cx ?? 2s i n21? ? ??x2s i n x2co s??? ?xx dc o s Cx ?sinx2co s2.2x 因為 ?xd )