【正文】 以下 近似公式：當(dāng)時(shí)其中！63 167。 A={接受該批 }。即“小概率事件”在大量試驗(yàn)中“至少有一次發(fā)生”幾乎是必然的。 ~ ( 3 , )Y b p? ? 331 ( ) ( 1 ) , 0 ,1 , 2 , 3k k kP Y k C p p k?? ? ? ?? ? 2232 ( 2 ) ( 1 )P Y C p p? ? ? 解：這是三重貝努利試驗(yàn) 59 例：某人獨(dú)立射擊 n次，設(shè)每次命中率為 p， 0p1，設(shè)命中 X次， (1) 求 X的概率分布 律； (2) 求至少有一次命中的概率。的 概 率 為 ：? ? ? ? ? ? ? ?3 808004 1 0 . 0 1 0 . 9 9 0 . 0 0 8 7kkkkP Y C ??? ? ? ??? ? ? ?1 2P A P X??58 例：某人騎了自行車(chē)從學(xué)校到火車(chē)站，一路上 要經(jīng)過(guò) 3個(gè)獨(dú)立的交通燈，設(shè)各燈工作獨(dú) 立，且設(shè)各燈為紅燈的概率為 p， 0p1， 以 Y表示一路上遇到紅燈的次數(shù)。 以 表 示 事 件 “ 第 人 維 護(hù) 的 臺(tái) 中 發(fā) 生 故 障 不 能 及 時(shí) 維 修 ” ， 則 知 80 臺(tái) 中 發(fā) 生 故 障 不按 第 一 種 方 法 。 試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小。 54 例： 1. 獨(dú)立重復(fù)地拋 n次硬幣，每次只有兩個(gè)可能的結(jié)果： 正面，反面， 如果是不放回抽樣呢？ ,AA,AA? ? 12P ?出現(xiàn)正面? ? 16PA ?? ? 12PA ? n次，設(shè) A={得到 1點(diǎn) }，則每次試驗(yàn) 只有兩個(gè)結(jié)果： 52張牌中 有放回 地取 n次，設(shè) A={取到紅牌 }，則 每次只有兩個(gè)結(jié)果： 55 設(shè) A在 n重貝努利試驗(yàn)中發(fā)生 X次，則 并稱(chēng) X服從參數(shù)為 p的 二項(xiàng)分布 ，記 ( ) ( 1 ) 0 1k k n knP X k C p p k n?? ? ? ? ???， ， ，~ ( )X b n p，31 2 3( 0 ) ( ) ( 1 )P X P A A A p? ? ? ?31 2 3( 3 ) ( )P X P A A A p? ? ?2 2 3 21 2 3 1 2 3 1 2 3 3( 2 ) ( ) ( 1 )P X P A A A A A A A A A C p p ?? ? ? ?1 1 3 11 2 3 1 2 3 1 2 3 3( 1 ) ( ) ( 1 )P X P A A A A A A A A A C p p ?? ? ? ? ( ) ( 1 ) , 0 , 1 , 2 , ,k k n knP X k C p p k n?? ? ? ?一 般0 1 ( ) 1nn k k n knkp q C p q q p??? ? ? ? ??注： 其中推導(dǎo)：設(shè) Ai={ 第 i次 A發(fā)生 }，先設(shè) n=3 56 例： 設(shè)有 80臺(tái)同類(lèi)型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是 ，且一臺(tái)設(shè)備的故障能有一個(gè)人處理。 亦稱(chēng) X為服從參數(shù) p的 幾何分布 。 52 例：從生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，設(shè)產(chǎn)品 的次品率為 p， 0p1，若查到一只次品就 得停機(jī)檢修，設(shè)停機(jī)時(shí)已檢測(cè)到 X只產(chǎn)品， 試寫(xiě)出 X的概率分布律。 2 離散型隨機(jī)變量及其分布 定義：取值可數(shù)的隨機(jī)變量為 離散量 離散量的概率分布 (分布律 ) 10 , 1iiipp?????樣本空間 S＝ { X=x1， X=x2， … ， X=xn， … } 由于樣本點(diǎn)兩兩不相容 111 ( ) ( )iiiiP S P X x p????? ? ? ???寫(xiě)出可能取值－－即寫(xiě)出樣本點(diǎn) 寫(xiě)出相應(yīng)的概率－－即寫(xiě)出每一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的概率 P… … … … 1x 2x ix1p 2p ipX 概率分布 51 例：某人騎自行車(chē)從學(xué)校到火車(chē)站，一路上要經(jīng) 過(guò) 3個(gè)獨(dú)立的交通燈，設(shè)各燈工作獨(dú)立，且設(shè) 各燈為紅燈的概率為 p， 0p1，以 X表示首次 停車(chē)時(shí)所通過(guò)的交通燈數(shù)，求 X的概率分布律。 48 第二章 隨機(jī)變量及其分布 關(guān)鍵詞： 隨機(jī)變量 概率分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的函數(shù) 49 167。 A和 B為兩事件，且 P(A)=a,P(B)=b,問(wèn)： (1) 當(dāng) A和 B獨(dú)立時(shí) ,P(A∪ B)為何值？ (2) 當(dāng) A和 B互不相容時(shí) , P(A∪ B)為何值？ ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? , 0 , | | | 1 |9. A B P A P B A P B P B AP B A P B A? ? ???設(shè) 和 為隨機(jī)事件 問(wèn) 是否成立？是否成立？47 A1,A2,?, An為樣為本空間 的一個(gè)劃分 ？ A,B,C為三隨機(jī)事件，當(dāng) A≠B，且 P(A)≠0, P(B)≠0時(shí)， P(C|A)+P(C|B)有意義嗎？試舉例說(shuō)明。從中任意取一球 設(shè) 取到白球 則 取到紅球 且設(shè)樣本空間為中有兩個(gè)樣本點(diǎn)而 是其中一個(gè)樣本點(diǎn)問(wèn) 對(duì)嗎？46 ？ A和 B為兩隨機(jī)事件，試舉例說(shuō)明 P(AB)=P(B|A)表示不同的意義。 4. 甲、乙兩人同時(shí)猜一謎，設(shè) A={甲猜中 }， B={乙猜中 }， 則 A∪ B={甲、乙兩人至少有 1人猜中 }。 此結(jié)論成立嗎？1.“ 事件 A不發(fā)生，則 A=Ф” ,對(duì)嗎？試舉例證明之。 ? ?? ?, 1 , 2 , 3 , 4 iA i iA???解：設(shè) 第個(gè)元件運(yùn)行正常系統(tǒng)運(yùn)行正常1 4 3 2 注意：這里系統(tǒng)的概念與電路 中的系統(tǒng)概念不同 ? ?1 2 3 4A A A A A??則：1 2 3 4, , ,A A A A由題意知， 相互獨(dú)立231 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A A A p p p p? ? ? ? ? ? ?3 2 51 2 3 1 4( ) ( )P A P A A A A A p p p? ? ? ?另解， ，對(duì)嗎 ？44 1,2pp ?例 ： 甲 、 乙 兩 人 進(jìn) 行 乒 乓 球 比 賽 ， 每 局 甲 勝 的 概 率 為 對(duì) 甲 而 言 ， 采 用 三 局 二 勝 制 有 利 ， 還 是 采 用 五 局 三 勝 制 有 利 ？ 設(shè) 各 局 勝 負(fù) 相 互 獨(dú) 立 。? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1P A B P A P BP A B P A A B P A P A B P A P B P A P B?? ? ? ? ? ? ?????證 ： 當(dāng) 時(shí)42 例：甲、乙兩人同時(shí)向一目標(biāo)射擊，甲擊中 率為 ，乙擊中率為 ，求目標(biāo)被 擊中的概率。從中取 2 次 ,每次取 1件，設(shè) Ai={第 i次取到正品 }， i=1,2 2 1 278( | ) ( )9 1 0P A A P A? ? ?2 1 28( | ) ( )10P A A P A??( ) 0 , ( ) 0P A P B??不放回抽樣時(shí)， 放回抽樣時(shí)， 即放回抽樣時(shí)， A1的發(fā)生對(duì) A2的發(fā)生概率不影響 同樣， A2的發(fā)生對(duì) A1的發(fā)生概率不影響 定義：設(shè) A， B為兩隨機(jī)事件， 若 P(B|A)=P(B)， 即 P(AB)=P(A)P(B) 即 P(A|B)=P(A)時(shí)，稱(chēng) A， B相互獨(dú)立 。 40 167。 (1)求近期乙出差的概率； (2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。 B1,B2,?,B n為 S的一個(gè)劃分， P(Bi)0， i=1,2,?,n ； 則稱(chēng)： 12 nA A S A B A B A B? ? ? ? ??? ?1( ) ( | )( | )( ) ( | )iii njjjP B P A BP B AP B P A B???()( | )()iiP B AP B APA?? ?ijA B A Bij?與不相容1( ) ( ) ( | )n jjjP A P B P A B???? 為 全概率公式 1( ) ( )njjP A P A B??? ?1( ) ( | )njjjP B P A B????B1 B2 Bn S A 證明： 定理：接上定理?xiàng)l件， 稱(chēng)此式為 Bayes公式。 12( ) ni B B B S? ? ??? ? ?( ) , , , 1 , 2 , ,iji i B B i j i j n? ? ? ? ???B1 B2 Bn S 即： B1,B2,?,B n至少有一發(fā)生是 必然的，兩兩同時(shí)發(fā)生又是不可能的。 1 2 1 2( ) ( )P B P A A A A??1 2 1 1 2 1( ) ( | ) ( ) ( | )P A P A A P A P A A? ? ? ?1 1 121 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2P B C? ? ? ? ? ?1 1 22 6 2 6 5 22 6 2 6 2 6 2 6 2 6( ) /5 2 5 1 5 2 5 1 5 1P B C C C? ? ? ? ? ?利用乘法公式 與 不相容 12AA 12AA1 2 1 2( ) ( )P A A P A A??（ 1）若為放回抽樣： （ 2）若為不放回抽樣： 解： 設(shè) Ai={第 i次取到紅牌 }， i=1,2 B={取 2張恰是一紅一黑 } 35 三、全概率公式與 Bayes公式 定義：設(shè) S為試驗(yàn) E的樣本空間， B1,B2,?,B n 為 E的一組事件。求這人能通過(guò)考核的概率。求該廠產(chǎn) 品的報(bào)廢率。 則 P(A)=90% 而 P(B)=% 記： P(B|A)=95% 1. P(A)= 是將整批產(chǎn)品記作 1時(shí) A的測(cè)度 2. P(B|A)= 是將合格品記作 1時(shí) B的測(cè)度 3. 由 P(B|A)的意義，其實(shí)可將 P(A)記為 P(A|S)，而這里的S常常省略而已， P(A)也可視為條件概率 分析： B A S ()()P A BxPA?若記 P(B|A)=x，則應(yīng)有 P(A):P(AB)=1:x 解得： 31 一、條件概率 定義： 由上面討論知， P(B|A)應(yīng)具有概率的所有性質(zhì)。 167。 28 解 3： 將第 k次摸到的球號(hào)作為一樣本點(diǎn)： , , , ,12 kn???? ???11( ) /aak n naP A C Cab??? ? ? ?()k aaPA n a b? ? ? ?11anC??anCkA總樣本點(diǎn)數(shù)為 ，每點(diǎn)出現(xiàn)的概率相等，而其中有 個(gè) 樣本點(diǎn)使 發(fā)生， ① ，②， … ， n S＝ { }， kA ?① ，②， … ， a { } 解 2： 視哪幾次摸到紅球?yàn)橐粯颖军c(diǎn) 29 解：假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒(méi)有規(guī)定，而各來(lái)訪(fǎng)者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么， 12次接待來(lái) 訪(fǎng)者都是在周二、周四的概率為 212/712 = 000 3. 例 5：某接待站在某一周曾接待 12次來(lái)訪(fǎng)，已知所有這 12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的 ? 人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的” (稱(chēng)之為 實(shí)際推斷原理 )。 25 例 1：一袋中有 8個(gè)球，其中 3個(gè)為紅球， 5個(gè)為黃球，設(shè)摸到每一球的可能性相等，從袋中不放回摸兩球， 記 A={恰是一紅一黃 }，求 P(A)． 解： 1 1 23 5 815( ) / 5 3 . 6 %28P A C C C? ? ?( ) / , 0 , 1 , ,k n k nk D N D NP A C C C