【正文】 XXuPuPPPg?????????????????sc)(60 61 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?00c os c oscscscsX c X c c cXXcX c X XX X c X cPPPPP P PR R R?? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ?????對功率譜嚴格限制在帶寬 內的信號 嚴格限頻信號 ，有其他對非限頻信號，若 ，上式也近似成立若 對稱于 ，則 和 對稱于 ，所以結論：均值為 0的窄帶高斯平穩(wěn)隨機過程 ， 其同相分量 Xc(t)和正交分量 Xs(t)也是高斯平穩(wěn)過程 ，且均值為 0， 方差等于 X(t)的方差 ， 在同一時刻Xc(t)和 Xs(t)相互獨立 。22? ? ? ? ? ? ? ?都是隨機過程tXtXtta sc , ?55 （ 1） Z(t)的自相關函數(shù)與功率譜密度 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?122121,2,ttRjRjRjRRRtZtZEttRXXXXXXXXZ???????????????????????????其中? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?????????uPPjjPRjRFPXXXXXZ4s g n222???????????????????56 （ 2） 復包絡 XL(t)的自相關函數(shù)與功率譜密度 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ??????????cccLjZtjtjLLXeRetZetZEtXXER??????????? ? ? ?cZX PP L ??? ??57 OP X L ( f )? f ? ffcfP Z ( f )解析信號和復包絡的率譜密度 58 （ 3） Xc(t) Xs(t)的統(tǒng)計特性 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ttXttXtXttXttXtXccsccc????s i nc o ss i nc o s??????（ b） 若 X(t)是高斯過程 ， 則 Xc(t)和 Xs(t)也是高斯過程 。如用示波器觀察一個實現(xiàn)的波形，則如圖所示，它是一個頻率近似為 fc，包絡和相位隨機緩變的正弦波。 所謂窄帶系統(tǒng) ， 是指其通帶寬度 Δ ffc， 且 fc遠離零頻率的系統(tǒng) 。 如果白噪聲又是高斯分布的， 我們就稱之為高斯白噪聲。 但是 ， 如果噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠遠大于通信系統(tǒng)的工作頻帶 ， 我們就可以把它視為白噪聲 。顯然，白噪聲的自相關函數(shù)可借助于下式求得，即 51 高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的取值之間 ， 不僅是互不相關的 ， 而且還是統(tǒng)計獨立的 。 50 信號在信道中傳輸時 ， 常會遇到這樣一類噪聲 ， 它的 功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內： ? ? 20nP ??)(2)( 0 ??? nR ?高斯白噪聲 這種噪聲被稱為白噪聲， 它是一個理想的寬帶隨機過程。 由概率論得知 ， 這個 “ 和 ” 的隨機變量也是高斯隨機變量 。 如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的 ， 則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的 。 這是一個很重要的概念 。 由此可見 ， 帶限白噪聲只有在 τ=k/2fH (k=1, 2, 3, … )上得到的隨機變量才不相關 。 試求功率譜密度為 n0/2的白噪聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度 、 自相關函數(shù)和噪聲平均功率 。 線性系統(tǒng)的響應 y(t)等于輸入信號 x(t)與系統(tǒng)的單位沖激響應 h(t)的卷積，即 ? ? ? ? ? ? ??? dthxthtxty )()( ???? ? ???將線性系統(tǒng)輸入信號 x(t)換成隨機過程 X(t)，則輸出信號則為隨機過程 Y(t)，即 40 ? ? ? ? ? ? ??? dthXthtXtY )()( ???? ? ???將線性系統(tǒng)輸入信號 x(t)換成隨機過程 X(t)，則輸出信號 y(t)變?yōu)殡S機過程 Y(t)，即 41 1. 輸出隨機過程 Y(t)的均值 設 E[X(t)]∞， 且系統(tǒng)穩(wěn)定 ? ? ? ?? ?? ?? ?0)()()()()(HmdhmdhtXEdhtXEtYEtmXXY?????????????????????????????????H(0)=? 42 2. 輸出隨機過程 Y(t)的自相關函數(shù) ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ???YXXYRd v d uvhuhvuRd v d uvhuhvuttRd v d uvhuhvtXutXEdvvhvtXduuhutXEtYtYEttR???????????????????????????? ?? ?? ???????????????????????????)()()()()()()()()()()()(,1221212121結論：平穩(wěn)隨機過程 ！ 為什么 ？ 43 3. X(t)和 Y(t)的互相關函數(shù)與互功率譜密度 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?????XYXXXXYRhRduuhuRduuhtutRduuhutXtXEduuhutXtXEtYtXEttR???????????????????????????????????)()()()()()()(,1221212121定義： X(t)和 Y(t)的互功率譜密度是其互相關函數(shù)的傅立葉變換 44 定義： X(t)和 Y(t)的互功率譜密度是其互相關函數(shù)的傅立葉變換 ， 即： ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??????? HPhRFRFP XXXYXY ????4. Y(t)的功率譜密度 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????????????????????????XXjXvjujvujXjXjYYPHPHHdeRdveuhdueuhd v d udevuRuhuhded v d uvhuhvuRdeRP2)()(??????????????????????????????????????????????????????? ? ?? ? ?? ? ??＝令45 十分有用的一個重要公式 ！ 想得到輸出過程的自相關函數(shù)Ro(τ) 時 ， 比較簡單的方法：先計算出功率譜密度 Po(ω) ， 然后求其反變換 ， 這比直接計算 Ro(τ) 要簡便得多 。 ? ?????????????)2(211)2(2121??axe r f caxe r fxF39 隨機過程通過系統(tǒng)（或網(wǎng)絡）后，輸出過程將是什么樣的過程？ 這里 ， 我們只考慮平穩(wěn)過程通過線性時不變系統(tǒng)的情況 。 當 x1時 （ 實際應用中只要x＞ 2)即可近似有： 21)( xexxe r fc ???37 （ 2） 概率積分函數(shù)和 Q函數(shù) 。 35 這個積分無法用閉合形式計算 ， 我們要設法把這個積分式和可以在數(shù)學手冊上查出積分值的特殊函數(shù)聯(lián)系起來 ， 一般常用以下幾種特殊函數(shù)： 正態(tài)分布函數(shù)： dzazxF x ]2 )(e xp [21)(22?????? ???36 （ 1） 誤差函數(shù)和互補誤差函數(shù)。 ： 一維正態(tài)概率密度表示式： 33 p ( x )12 ??Oa x一維正態(tài)概率密度曲線 34 一維正態(tài)概率密度性質： (2)p(x)對稱于 x=a 21)()(1 ?? ?? ??? aa dxxpdxxp）（說明 ： a表示分布中心， σ表示集中程度， p(x)圖形將隨著 σ的減小而變高和變窄。 ? ?為方差為數(shù)學期望， 2221a]2)(e x p [21????axxp???： （ 1） 高斯過程的寬平穩(wěn)和嚴平穩(wěn)是一致的 。 并判斷是否是廣義平穩(wěn) ？ 已知 X(t)＝ sin(ω0t+θ)， 其中 ω0為常數(shù) ， θ為 均勻分布的隨機變量 ， 其概率密度為： 31 ? ?? ?? ?? ? ? ?0c o s21s i ns i n21c o sc o ss i ns i nc o sc o ss i ns i nc o ss i n)]([)(20020000000????????????????????????????????dtdttEtEttEtEtXEtmXX(t)的自相關函數(shù)為