【正文】 ???? ? ? ? ?? ????? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ???解 出 ＝ ＝所 以 一 次 性 對(duì) 策 的 古 諾 解 為 ， ＝ ＝而 一 次 性 串 謀 解 ： 解 出若 兩 家 平 分 ： ＝ ＝2n121()( 1 )1( 2 ) II Iy ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????現(xiàn) 在 考 察 無(wú) 限 性 重 復(fù) 的 對(duì) 策 ， 設(shè) 每 階 段 的 貼 現(xiàn) 率 為為 了 計(jì) 算 總 的 利 益 ， 均 以 現(xiàn) 值 來(lái) 計(jì) 算 ， 設(shè) 雙 方 都采 取 一 種 稱 為 “ 觸 發(fā) 策 略 ” ， 即 雙 方 愿 意 合 作 串 謀 ，年 復(fù) 一 年 ； 但 若 發(fā) 現(xiàn) 對(duì) 方 不 合 作 ， 則 就 要 對(duì) 對(duì) 方 實(shí) 施“ 報(bào) 復(fù) ” ， 而 改 用 古 諾 策 略 。i 1 21 1 2 1 12 1 2 2 28 Q Q 8p0 Q 80c 2 y , y y Q( 8 y y ) y 2 y( 8 y y ) y 2 y??????? ? ? ? ???? ? ? ? ??i 無(wú)限次重復(fù)對(duì)策的古諾模型我們以前曾學(xué)過(guò)一次性古諾模型，眾所周知，一般不一定是高效率的。通 過(guò) 對(duì) 第 二 階 段 兩 國(guó) 企 業(yè) 的 最 優(yōu) 行 為 的 分 析 ， 回 歸（ 逆 推 ） 到 第 一 階 段 ， 兩 個(gè) 政 府 怎 樣 來(lái) 選 擇 各 自 的關(guān) 聯(lián) t ， t 來(lái) 最 大 化 各 自 的 社 會(huì) 總 福 利 ？ 2222120*21 2 211 **1222[ 2 ( a c ) t ] ( a c t )m ax W ( t , t ) m ax {18 9( a c 2 t ) t ( a c 2 t )}93W0ta c a ct , t33W0t4 ( a c ) a ch h , e e .99??? ? ? ?? ? ?? ? ? ??????????????? ????? ? ? ?222tt* * * *1 2 1 2 一 階 必 要 條 件 ： ， 可 以 解 出 ＝ ＝在 此 對(duì) 策 中 ， 這 是 兩 國(guó) 的 最 佳 關(guān) 稅 率 ， 將 它 代 入 （ 7 ）得 ：5(a c )Nash9Nas3.h2nn即內(nèi)銷量為外銷量的4倍，兩國(guó)兩企業(yè)的總產(chǎn)量為：，因?yàn)閮呻A段的選擇均為 均衡，因此就不存在不可信的威脅，因此這是子對(duì)策完美的均衡解。A 1 2 B 1 2 1 2{ I ( A , B ) , S ( a , a ) , S ( b , b ) , u ( a , b ) , u ( a , b ) }??例1 0 . 1 21 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2u ( , ) ( a ) [ ( b ) u ( a , b ) ( b ) u ( a , b ) ]? ? ? ? ? ? ?1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2( a ) [ ( b ) u ( a , b ) ( b ) u ( a , b ) ]? ? ? ? ?i A j B1 i 2 j 1 i ja S b S( a ) ( b ) u ( a , b )??? ? ???j B j B1 1 2 j 1 1 j 1 2 2 j 1 2 jb S b S( a ) ( b ) u ( a , b ) ( a ) ( b ) u ( a , b )??? ? ? ? ? ???j B j B1 1 1 1 2 j j 1 2 1 2 2 j jb S b S( a ) u ( a , ( b ) b ) ( a ) u ( a , ( b ) b )??? ? ? ? ? ? ? ???i A j B1 1 i i 2 j ja S b Su ( ( a ) a , ( b ) b )??? ? ? ? ???b2 b1 a2 a1 11(a )?12(a )?21(b )? 22(b )?u1(a2,b2) u1(a2,b1) u1(a1,b2) u1(a1,b1) A B 2 1 2 1* * * *j i 2 i j 2j S i S j S i SII u q p u ( i , j) p q u ( i , j)? ? ? ???? ? ? ?*2局 中 人 的 混 合 策 略 的 期 望 利 益 為 ：111 2 1 2222 1 2 1i i S i iiS* * *i j 1 i j 1i S j S i S j Sj j S j jjS* * *i j 2 i j 2j S i S j S i Sp { p } p 0 , p 1 u p q u (i, j) p q u (i, j)q { q } q 0 , q 1 u p q u (i, j) p q u (i, j)??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ?*1*2若 對(duì) ， 對(duì) ， ** Nas hp q G則 稱 和 為 對(duì) 局 的 混 合 均 衡 策 略 。1 1 2 2i 1 2 1 2 i 1 2s S s S*) u ( , ) u ( s , s ) ??? ? ? ? ???以 兩 維 的 情 況 為 例 。N i i [ I , { S } , { u ( ) } ] , i = 1,. , ..,I ? ? ? ?證明 首先我們把對(duì)局：? i看成策略集為{ S } , 收益函數(shù)為：Ii 1 I k 1 k k isSu ( , , ) [ ( s )] u ( s ) , i =1, ...,I??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?* i)的對(duì)局。b ( ) S S ??這樣， ： 完全滿足 Kakutani 定理 的條件，故iis * S , s * b ( s *) s * b ( s *) , i ,? ? ? ?存在不動(dòng)點(diǎn) 使 ，即 1I ( s *, , s *) N ash? ? ? ? ?為 的 均衡策略。 (定理8 純對(duì)策的N a s h 均衡的存在定理，P r o p . 8 . D . 3 )i i i G [ I , { S } , { u ( ) } ] , i = 1,2,...,I ??設(shè) ， 為 一 個(gè) 對(duì) 局 ， 其 中i1 S M（） 為R 非空緊凸的子集；i 1 I 1 I i2 u ( s , ..., s ) ( S , ..., S ) S（ ） 在 中連續(xù)，且在 中為擬凹的，N ash則該對(duì)局必存在 均衡。n n n ni i i i i i is b ( s ) , ( s , s ) ( s , s )? ? ???為此只要證明：對(duì)任意 ,i i is b ( s ) ??必有 。i 1 1 u ( , s ) s??? ii定理3因 為擬凹的，由 ，b ( ) 在凸集S 中是凸集。1 I i S , ..., S L am m a . , S 1 設(shè) 非空 為緊凸引理 （ ） 子集， i 1 I u ( ) (S , .. ., S ) ? i在 連續(xù)，在S 上擬凹的，則局中人i 的i b e st r e sp on se c or r e sp on d e n c e ) b ( )?最優(yōu)策略映象 ( 是非空的凸值的上半連續(xù)映象。Von . Ne u m an n10. 6 (Von .Neu m an n 19 44) 一個(gè)兩人零和對(duì)局，比存在一組均衡策略(純策略或混合策略) 這在此以前， 曾證明了一個(gè)奠基性的定理個(gè)定理在賭局中或在軍事上都有很重要 定理：的應(yīng)用。同理，對(duì) , 對(duì) 取極大值，即 1 2 2 1 2 2p , p p u ( 1 , 1 ) p u ( 2 , 1 ) p u ( 1 , 2 ) p u ( 2 , 2 )m , p , p q , q Na sh? ? ?**1222* * * *1 2 1 2可得決定 的條件為這樣求得 和 便為 混合均衡策略。 下面以兩人每人兩個(gè)策略的情況為例說(shuō)明求 Nash混合 均衡策略的條件。 因 為懲 罰 守這 時(shí) ， 并 穩(wěn)衛(wèi)短 期 內(nèi) ：定 與 此 。??**g－ 如 加 大 罰 小 偷 的 力 度 ， 由 ,則 減 少 偷 盜 ， 會(huì) 使 守 衛(wèi) 提 高 睡 覺(jué) 的 概 率 ，因 為 這 時(shí) 懲 罰 － “ 激 勵(lì) 的 悖 論懲短，期并內(nèi) :穩(wěn)”罰 小 偷定 于 此 。g p p 39。?V小偷的期望利益 0 1 pt Stp?,tpD?D39。 設(shè) 小 偷 要 去 偷 的 概 率 為 P ， 則 守 衛(wèi) 例 10.的 期 望11利 益 為 ：tggggtgu S (1 p ) ( D) p S pS + Dupu p V (1 p )( p ) P pP + Vu0p p Nas h???????????????g t t *gt *t**睡 ： = + , 解 出 不 睡 ： =0 ：同 理 , 令 守 衛(wèi) 取 睡 得 概 率 為 , 則 小 偷 的 期 望 利 潤(rùn) 為偷 ： = + , 解 出 不 偷 ：和 為 混 合 策 略 所 取 的 概 率 選 擇 。 平 均 后 ， 總 效 率 將 下 降 。 則 ：II IIIII I p ( A ) , p ( B ) , II p ( A ) 7 , p ( B ) 3 ,u 64u 96??????II： ： 雙 方 的 期 望 利 益 為 NashNash這 說(shuō) 明 即 使 采 用 混 合 策 略 ， 它 的 混 合 對(duì) 策 值 都不 如 純 對(duì) 策 的 均 衡 解 。 更 喜 歡 ， 更 喜 歡 。A B C D 1 , 0 , 0 , 2 , I II 3 0 2 0 N a s h 在 純 對(duì) 策 時(shí) ， 用 劃 線 法 可 知 有 兩 個(gè) 純 均 衡策 略 。 若 選相 同 的 制 式 ， 則 零 部 件 能 相互 匹 配 都 有 好 處 ； 若 選 不 同的 制 式 ， 雙 方 都 各 自 獨(dú) 立 ， 沒(méi) 有 任 何 好 處 。A , B 制 式 問(wèn) 題 。 使 局 中 人ABC p p 1 ,??若 選 擇 策 略 ， 則 他 的 期 望 得 益 為 3 ＋讓他無(wú)機(jī)可乘，就是使這兩個(gè)期望得益相等，即A B A B 3 p p p 5 p 1＋ ＝ 2 ＋ （ 10. ）CDII : C, D p , p同 理 ， 局 中 人 在 選 擇 策 略 的 概 率 為 時(shí) ,ABD p 2 p 5 ??若 選 擇 策 略 ， 則 他 的 期 望 得 益 為 ＋ ，A B C D 2 , 3 , 5 , 1 , I II 3 2 5 1 I也遵循不讓局中人 有機(jī)可乘，因而類似的，CDI A 2 p 5 p 。 （ 2 ） 在 隨 機(jī) 出 現(xiàn) 所 選 擇 的 概 率 時(shí) ， 也 不 能 讓 對(duì) 方 有 機(jī) 可乘 ， 即 讓 對(duì) 方 無(wú) 法 通 過(guò) 有 針 對(duì) 性 的 選 擇 他 的 概 率 來(lái) 對(duì) 付 你 。N a s h 因 而 這 個(gè) 對(duì) 策 的 局 勢(shì) 為 下 圖 所 示 用 劃 線 法 , 這 個(gè) 對(duì) 策不 存 在 純 均 衡 解 。 P (P 0)S (S 0) 小 偷 欲 偷 倉(cāng) 庫(kù) 物 品 。 混和對(duì)策 S el to n 諾 貝 爾 經(jīng) 濟(jì) 學(xué) 獎(jiǎng) 獲 得 者 教 授 96 年 在 上 海講 學(xué) 時(shí) , 講 了 一 個(gè) 典 型 的 例 子 : 小 偷 與 看 守 的 對(duì) 策 。Cou r n ot B e r tr an d Cou r n otB e r tr an d 以 上 大 都 舉 的 是 策 略 集 為 有 限 的 離 散 的 模 型 , 而對(duì) 策 略 集 為 無(wú)