非線性物理ppt課件-文庫吧資料
2025-01-21 15:54本頁面
【正文】 (2) 反扭折解 當 時， 。 原子鏈的哈密頓為： 設勢函數(shù) ，第 k個原子的運動方程為： S G 方程 ??? ?????kkk1kkk1+kk2k )V()]()([2121= yyyyyym ???H2)( ??? ?)( V)()(= k1kkk1+kkk yyyyyyy ?????? ?? H??(V(y)為外場勢能 ) 1. 一維原子鏈與 sineGordon方程 通過 將分離變量運動方程 過渡到連續(xù)變量 一般情況 S G 方程 S G 方程 )( V)()(= k1kkk1+kkk yyyyyyy ?????? ?? H??????????xyyykxyykkk??)(),(1)( V39。根據(jù)對應關系，可以由色散關系直接構造出波動方程來。 一個波動可以看成許多平面波（諧波） w w w3… 的合成： kvvg????wkw2. 波動中的色散 色散關系 設一波動方程： 得關系 將解代入： 得 色散關系 由色散關系可求得波的 群速 02222022 ??? umx uvt u ???? 022202 ???? mkvw2220=)( mkvk ??w222020g mkvkvkv ???? ??w)](e x p [),( tkxiAtxu w??線性波動方程與色散關系間存在著對應關系。 0?dtdn 0t ??? ddxxntn???? 0???xnvtn????0?dndv 平面波的相速 一個頻率 w 為沿 x 方向傳播的平面波為： )](e x p [),( tkxiAtxu w??kdtdxv w???? 0d等相位面運動速度代表一列平面波的傳播速度 — 相速 等相位面 ? =k x w t= const 0=t=tx= dk d xdtdxd w??????? ?? 色散波 如果所有諧波都以同一的速度行進， w1/k1?w2/k2=...=常數(shù)，是非色散波； 如果每個諧波都有不同的行進速度， w/k≠ 常數(shù)，是色散波。 波動將以速度 v0無畸變地沿 x 方向前進 。 浪花的形成 數(shù)學表述 設介質(zhì)中 x 處的粒子密度 n(x,t)， 由粒子守恒 dx/dt = v 如果速度 v = v0是常數(shù) ， 方程具有行波解 ： n = (x v0 t) 介質(zhì)的移動速度 v0 即 波速 。 因此當水浪高處前進速度大 ， 低處前進速度小 ， 水浪會在前進中越來越前傾 ， 在某一時刻波前出現(xiàn)坍塌 ，卷起了浪花 。 孤立波類型 ( i ) 波包型 (ii) 凹陷型 (iii) 扭折型 (iv)反扭折型 ( i )、 (ii) 兩種在 時 ， (iii)、 (iv) 兩種是在 時 , u(x)趨近于不同的數(shù)值 ???x0)( ?xu???x1. 波動中的非線性會聚效應 2. 波動中的色散 3. KdV方程 4. KdV方程的孤立波解 第二節(jié) KdV 方程 1. 波動的會聚效應 浪花的形成 遠處傳來的海浪越近海岸 ， 浪頭越高 ， 終于在離海岸不遠處卷起了浪花 。 固體介質(zhì) 、 電磁場 、 等離子體、 生物體 、 以及微觀粒子的波動性中都可能有孤立波存在 。 它又有波動性 ， 存在于一切可以出現(xiàn)波動的介質(zhì)里 。 孤立子 定義 ①向單方向傳播的行波； ②分布在空間的一個小區(qū)域中； ③波動形狀不隨時間演變而發(fā)生變化； ④孤立波之間的相互作用具有類似粒子一樣的彈性碰撞。 人們將具有碰撞特性孤立波稱為 “ 孤立子 soliton”， 簡稱 “ 孤子 ” 。 孤立波 在尺度上：大到 天文范圍 (木星上巨型紅斑達 4 108米 ， 約地球與月亮之間的距離；泰國安達曼海面出現(xiàn)的孤立波約 150公里寬；水面上孤立水波的尺寸在 1米量級 )， 小到納米 (二硫化鉭晶體中的電菏密度孤立波 )。 從運動形態(tài)上講相干結構與混沌運動既是相互對立的 ， 又是具有內(nèi)在聯(lián)系的兩種非線性現(xiàn)象 。 (1)KdV方程 (2)正弦 — 高登 (SineGordon)方程 (3)戶田 ()非線性晶格方程 (4)非線性薛定諤方程 (NLSE) 漫長的發(fā)展史 在形態(tài)上孤立波是存在于自然界里的 相干結構 (coherent structure， 或稱擬序結構 )。此后發(fā)現(xiàn)，除 KdV方程外還有其它微分方程具有孤立波解。 此后 ， 人們發(fā)現(xiàn) ， 在許多物理體系中都存在 K
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