【正文】 ??????333222111121323333222111000nmlnmlnmlnmlnmlnml???????????????(3． 2． 31) 式中 ， 分別為動(dòng)系相對(duì)定系各軸之間夾角的余弦值 。 0011 rr A? 1100 rr A?將上式對(duì)時(shí)間微分，有 1101100 rrr ??? AA ??由于 r1是常矢量 ，故 01 ?r?1100 rr A?? ? 假設(shè) Q是位于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上的、由定點(diǎn)發(fā)出的一個(gè)向量，那么在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中， Q相對(duì)于剛體固連 的動(dòng)系就是一個(gè)常矢量。 ?AA ?1?? AAAA ?21顯然有 因?yàn)?x軸與 ξ 軸重合 ?AA ?2然而 ?? AAAA ?12所以 但是，利用 有限轉(zhuǎn)動(dòng)的交換定理 ，即所謂 相對(duì)變換 ，則有 有限轉(zhuǎn)動(dòng)的交換定理 也就是說 ， 動(dòng)系先繞定系 ε 軸轉(zhuǎn)過 β 角 ， 再繞定系 ξ 軸轉(zhuǎn)過 α 角 ， 其結(jié)果與動(dòng)系先繞 x軸轉(zhuǎn)過 α 角 ， 再繞 y1軸轉(zhuǎn)過 β 角所得最終動(dòng)系相對(duì)定系的位置是相同的 ， 見圖311。如果轉(zhuǎn)動(dòng)是 繞定系的坐標(biāo)軸 即參考軸進(jìn)行的，結(jié)果會(huì)是什么樣的呢 ? 繞靜系坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的二次合成 繞靜系坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的二次合成 為了使討論簡單又能得到明確的結(jié)論，僅考慮兩次對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)，即 動(dòng)系第一次繞 ξ 軸轉(zhuǎn)過 α 角 ， 第二次繞 ε 軸轉(zhuǎn)過 β 角 。 圖 38 例 解： 由兩次給定的轉(zhuǎn)動(dòng) ， 可以求得 ox1y1z1系相對(duì)定系和 ox2y2z2系相對(duì) ox1y1z1系的方向余弦矩陣分別為 ????????????01010000101 A?????????? ??00101010012 A???????????????????????????????? ???001100010010100001001010100011202 AAA?????????????????????????????????0010100011000100022 rr AQ在 ox2y2z2中得位置 r2 需要強(qiáng)調(diào)的是，剛體連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其 方向余弦矩陣的合成與轉(zhuǎn)動(dòng)的順序是有關(guān)的 。 ，得到動(dòng)系 ox2y2z2。 第一次 繞 ξ軸轉(zhuǎn) 90176。 例 3． 3 空間中一固定不動(dòng)的向量 Q，在定系 oξεδ中為 r0＝ (0,1,0)T。 由此可見， 若把剛體 (動(dòng)系 )的每次繞定點(diǎn)的有限轉(zhuǎn)動(dòng)視為動(dòng)系的一次坐標(biāo)變換，則剛體兩次有限轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其合成轉(zhuǎn)動(dòng)的方向余弦矩陣為兩次分轉(zhuǎn)動(dòng)的方向余弦矩陣的順次乘積。由于方向余弦矩陣 9個(gè)元素中只有 3個(gè)是獨(dú)立的，因此， 剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)具有 3個(gè)自由度 。 之后， 也意味著 i系繞 x軸負(fù)向轉(zhuǎn)動(dòng) 90176。 后，求 Q在 i系中的位置 ri(見圖 35)。 之后得到 j系 oxyz(見圖34)．求 Q在 j系中的位置 rj。其余類推。 圖 33 i和 j 坐標(biāo)系 兩坐標(biāo)系之間的 空間關(guān)系 如果以 j系為參考系， i系是由 j系繞 O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)后的結(jié)果；同理，如果以 i系為參考系， j系是由 i系繞 O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)后的結(jié)果 . )( ji ee ??ji A)( ijij A ee ??i相對(duì) j系的方向余弦矩陣 j相對(duì) i系的方向余弦矩陣 zyxji,?? ???????????????????????zyxzyxzyxjieeeeeeeeeeeeeeeeeeA???????????? x y z ?????????????????????????????eeeeeeeeeeeeeeeeezyxAzzzyyyxxxij ξ η ζ 展開： 兩矩陣之間的 關(guān)系 ?????????????????????????????????321321321)(nnnmmmllleeeeeeeeeeeeeeeeeeAzyxzyxzyxji?????????ji ee?????????????????????????????????333222111)(nmlnmlnmleeeeeeeeeeeeeeeeeeAzzzyyyxxxij?????????ij ee它們是兩個(gè)正交矩陣，即 Tjijiij AAA )()( 1 ?? ?矢量 Q在不同空間中的表達(dá)和轉(zhuǎn)換 假設(shè)在 j系和 i系的原點(diǎn)有一 空間向量 Q(見圖 33)。 dtdωε ? rεa t ??navω ??3． 2 描述剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的解析法 上一節(jié)的討論實(shí)際上是剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的一種簡單的、幾何的、定性的描述，本節(jié)詳細(xì)介紹剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的定量的描述。這就是說，剛體繞相交軸轉(zhuǎn)動(dòng)合成時(shí)，角速度的合成服從向量加法。 也 可以說，剛體做定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)瞬時(shí)錐面在靜瞬時(shí)錐面上以角速度 ω(t)作無滑動(dòng)的滾動(dòng)，見圖 3—2。 同時(shí)它在剛體內(nèi)部留下了軌跡，構(gòu)成了 動(dòng)瞬時(shí) 錐 面 ，它也是以 O為頂點(diǎn)的錐面，簡稱 動(dòng)錐 。 在某一時(shí)刻 ti，當(dāng)時(shí)間間隔 ⊿ t→0 時(shí) ,oci稱為剛體在 ti時(shí)刻的 瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸 ，平均角速度向量的極值 ω i稱為瞬時(shí)角速度向量 。 具有 固定點(diǎn)的剛體 由某一 方位 到另一方位的 方位變化 永遠(yuǎn)等價(jià)于 繞通過固定點(diǎn)的某軸 的一個(gè) 有限 (轉(zhuǎn)角 )的轉(zhuǎn)動(dòng) ，這就是 剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉定理 。 0)()( 222222???????BBABAAAylyyxxryx（ ） 0s i nc o ss i nc o s222??????BBAAyrlrxryrx????（ ） 作業(yè) P12 習(xí)題 21， 24 3． 1 剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉定理 3． 2 描述剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的解析法 第三章 剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué) ?剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的方向余弦描述 ?剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉角描述 ?剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的廣義歐拉角描述 3． 1 剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉定理 方位和方位變化 設(shè) o為剛體的固定點(diǎn)，剛體上某 △ ABo可完全確定剛體的方位。 圖 27 例 2． 5 解 ： 這是一個(gè)平面機(jī)構(gòu)， A、 B共有 2N＝ 4個(gè)坐標(biāo)，系統(tǒng)要滿足 3個(gè)完整約束 該系統(tǒng)沒有非完整約束，因此是一個(gè)完整系統(tǒng)，其自由度數(shù)為4—3＝ 1，獨(dú)立的坐標(biāo)數(shù)也是 1。 非完整系統(tǒng)： n＝獨(dú)立的坐標(biāo)數(shù) ≠獨(dú)立的坐標(biāo)變分?jǐn)?shù)＝系統(tǒng)的自由度。 廣義坐標(biāo)數(shù)為 n，獨(dú)立的坐標(biāo)數(shù) , 獨(dú)立的坐標(biāo)變分?jǐn)?shù) ,系統(tǒng)的自由度 之間的關(guān)系 。 對(duì)于 N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的力學(xué)系統(tǒng) ，如何計(jì)算自由度呢？ 如果系統(tǒng)受到 k個(gè)完整約束 ，那么在 3N個(gè)坐標(biāo)中，只有 3Nk個(gè)相互獨(dú)立，并且它們的變分也相互獨(dú)立，故其 自由度為 3Nk個(gè)。 如果系統(tǒng)是 自由的 ，則其位形的確定要 3N個(gè)坐標(biāo)。 所謂坐標(biāo)的微分是指在上式所描述的真實(shí)運(yùn)動(dòng)中坐標(biāo)的無限小變化，即經(jīng)過 dt時(shí)間之后發(fā)生的坐標(biāo)變化 dqj (圖中實(shí)線部分 ) 由于都是坐標(biāo)的無限小變化，故變分也表現(xiàn)出微分的形式，并且和微分 具有相同的運(yùn)算規(guī)則 。 設(shè)某系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程的解是 )(,),(11 tqqtqq nn ?? ?坐標(biāo)的變分 則是指在某一時(shí)刻 t，qj本身在約束許可條件下的任意的無限小增量。 v可以寫作如下投影形式 trqqrrv ijnj jii ??????? ????1(2． 2． 2) tzqqzzrvtyqqyyrvtxqqxxrvijnj jiiizzijnj jiiiyyijnj jiiixx???????????????????????????????????????111(2． 2． 3) jq?定常系統(tǒng) 對(duì)于定常系統(tǒng)，因 (2． 2． 4) 0???tri所以， (2． 2． 5) jnj jii qqrrv ?? ?? ????1圖 25 點(diǎn) M的速度 例 空間中的一動(dòng)點(diǎn) M， 若選取極坐標(biāo) r、 ζ 、 φ為廣義坐標(biāo) ， 如圖 25所示 ， 求 M點(diǎn)在笛卡爾直角坐標(biāo)系中的 位置和速度 。 2． 2． 2 用廣義坐標(biāo)表示的非完整約束方程 一個(gè)由 N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)的非完整約束方程可寫作微分形式。 可見 ， 廣義坐標(biāo)對(duì)于某一系統(tǒng)來講 不是唯一 的 ， 或者說 ， 可以任意選取 。 這樣的一組參數(shù)就稱為廣義坐標(biāo) 。 為此 ， 引入 廣義坐標(biāo) 的概念 。 例如 ， 描述作平面運(yùn)動(dòng)的 動(dòng)點(diǎn) M的幾何位置 的參數(shù)可以用： 直角坐標(biāo) (x， y)， 極坐標(biāo) (ψ， r)， 參數(shù) (A， φ )， 等等 。 2． 2 廣義坐標(biāo)和自由度 圖 24 動(dòng)點(diǎn) M的位置 2． 2． 1 廣義坐標(biāo) 我們習(xí)慣于用笛卡爾直角坐標(biāo)系來描述系統(tǒng)的幾何位置即位形。 圖 23 質(zhì)點(diǎn) M的非定常約束 解 :設(shè) M的起始位置為 l0，則它到 o點(diǎn)的距離 l將隨時(shí)間變化。 例 例 設(shè)質(zhì)點(diǎn) M所系繩子穿過 o點(diǎn)，如圖23所示，繩子另一端以一勻速 v拉動(dòng)使 M在 xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。 例如由方程 所確定的約束為 非定常約束。 N個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)受到 k個(gè)一階線性非完整約束時(shí)，其約束方程可以寫作 非完整約束的類型 或?qū)懗? () 0)( ????? dtdzcdybdxa iiiiiNii ???? ?(． 9) 0)( ????? ???? dzcybxa iiiiiNii ???),2,1( k???2． 1． 2 定常約束與非定常約束 約束方程中 不顯含 時(shí)間 t的約束稱為 定常約束 。 ?tgxxyyxycc ????1212??代入 Ml， M2的坐標(biāo)即為 我們經(jīng)常遇到的系統(tǒng)一般 是非完整系統(tǒng) 。若要求桿中點(diǎn) C的速度保持沿桿軸方向，分析該系統(tǒng)的約束情況。 解：輪子所受的 幾何約束 為 () 又 運(yùn)動(dòng)條件的限制 是輪子作純滾動(dòng)時(shí) P點(diǎn)的速度為零 ,即 () 或 () 這一約束方程顯然是可積分的 ， 即 () 故而輪子仍受 完整約束 ，其約束方程為 ()式和(2． 1． 6)式。一個(gè)由 N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)的非完整約束方程可寫作 () )3。 若不僅限制系統(tǒng)的 位形 ．而且還限制系統(tǒng)的 運(yùn)動(dòng)速度 ，這樣的約束稱為