【正文】 y)為 g(x)圖象上任意一點(diǎn)， 則 Q(－ x，－ y)是點(diǎn) P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)， ∵ Q(－ x，－ y)在 f(x)的圖象上， ∴ － y＝ loga(－ x＋ 1)， 即 y＝ g(x)＝－ loga(1－ x)(a＞ 1)． (2)f(x)＋ g(x)≥m，即 loga ≥m. 設(shè) F(x)＝ loga ， x∈ [0,1)， 由題意知，只要 F(x)min≥m即可． ∵ F(x)在 [0,1)上是增函數(shù)， ∴ F(x)min＝ F(0)＝ 0.∴ m≤0即為所求． xx??11xx??11考點(diǎn)四 二次方程根的分布問(wèn)題 【 例 4】 已知函數(shù) f(x)＝ x2－ (2a－ 1)x＋ a2－ 2的圖象與 x軸的非負(fù)半軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，求 a的取值范圍． 解析： (法一 )由題設(shè)知關(guān)于 x的方程 x2－ (2a－ 1)x＋ a2－ 2＝ 0至少有一個(gè)非負(fù)實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為 x1， x2，則 ????? Δ ≥ 0 ，x 1 x 2 ≤ 0或????? Δ ≥ 0 ，x 1 x 2 0 ，x 1 ＋ x 2 0 ，得－ 2 ≤ a ≤94. ( 法二 ) 由題意知 f (0 ) ≤ 0 或????? f ? 0 ? 0 ，－－ ? 2 a － 1 ?20 ，Δ ≥ 0 ，得－ 2 ≤ a ≤94. ( 法三 ) 當(dāng)函數(shù) f ( x ) ＝ x2－ (2 a － 1) x ＋ a2－ 2 與 x 軸的非負(fù)半軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)， 則 Δ0 或????? f ? 0 ? 0 ，－－ ? 2 a － 1 ?20 ， 得 a － 2 或 a 94. ∴ 函數(shù) f ( x ) ＝ x2－ (2 a － 1) x ＋ a2－ 2 與 x 軸的非負(fù)半軸至少有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)， a 的取值范圍為－ 2 ≤ a ≤94. 課 前 自 修 知識(shí)梳理 一、反比例函數(shù) 1．反比例函數(shù)的定義：形如 y＝ (k∈ R， k是常數(shù)， k≠0)的函數(shù)叫做 ________函數(shù)，其定義域?yàn)?{x|x∈ R且 x≠0}． 2．反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)． (1)圖象：雙曲線，它們的漸近線是兩條坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心是 __________． (2)性質(zhì)：當(dāng) k0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間 和 上是減函數(shù)；當(dāng) k0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間 ________和 ________上是增函數(shù)． kx( ,0)?? (0, )??反比例 原點(diǎn) (0,0) (0, )??( ,0)??二、 冪函數(shù) 1． 冪函數(shù)的定義：形如 y＝ xα(α∈ R， α是常數(shù)， x是自變量 )的函數(shù)叫做冪函數(shù)．其特征是以冪的底為自變量，指數(shù)為常數(shù)，其定義域隨著常數(shù) α取值的不同而不同． 2．冪函數(shù)的圖象都過(guò)定點(diǎn) ________． 3．冪函數(shù) y＝ xα(α為常數(shù) )在第一象限內(nèi)的單調(diào)性：當(dāng) α0時(shí)，在第一象限內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng) α0時(shí)，在第一象限內(nèi)為減函數(shù)，且以兩條坐標(biāo)軸為漸近線． 4．冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在 ________象限，一定不會(huì)出現(xiàn)在第 ________象限．冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在________個(gè)象限． (1,1) 第一 四 兩 5．作冪函數(shù)的圖象時(shí)，要聯(lián)系函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性等，先作出冪函數(shù)在第一象限的圖象，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)就可作出它在定義域內(nèi)完整的圖象． 6．冪函數(shù)圖象的分布規(guī)律：在直線 x＝ 1的右側(cè)，隨著冪指數(shù)的由小到大，函數(shù)圖象 __________分布． 7．在冪函數(shù) y＝ x， y＝ x2， y＝ x3， y＝ x ， y＝ x－ 1中，是奇函數(shù)的有 ____________________，是偶函數(shù)的有 ________，定義域是 R的有 __________________，定義域是 [0，＋ ∞)的有________，在第一象限內(nèi)是增函數(shù)的有 ______________________ _______，在第一象限內(nèi)是減函數(shù)的有 __________． 12自下向上 y＝ x， y＝ x3， y＝ x－ 1 y＝ x2 y＝ x， y＝ x2， y＝ x3 y＝ x 12 y＝ x， y＝ x2， y＝ x3， y＝ x－ 1 y＝ x 12三、 “ 對(duì)勾 ” 函數(shù)的圖象和性質(zhì) 函數(shù) y ＝ x ＋kx( k 0) 的 定 義 域 為??????x | x ∈ R 且 x ≠ 0 ； 值 域 為??????－ ∞ ，－ 2 k ∪??????2 k ，＋ ∞ ；奇偶性：奇函數(shù)；單調(diào)性： 在??????－ ∞ ，－ k ，??????k ，＋ ∞ 上是增函數(shù)， 在??????－ k ， 0 ，??????0 ， k 上是減函數(shù) ( 圖象如下圖所示 ) ． 3． (20222x＋ 4＝ 0的解集為 ______． (2)若關(guān)于 x的方程 25－ |x＋ 1|－ 4 lo gbc 52 例 7 已知函數(shù) y＝ f(x)是定義在 R上的周期函數(shù)，周期 T＝ 5，函數(shù) y＝ f(x)(－ 1≤x≤1)是奇函數(shù)．又知 y＝ f(x)在 [0,1]上是一次函數(shù)，在 [1,4]上是二次函數(shù)，且在 x＝ 2時(shí)函數(shù)取得最小值－ 5. (1)證明： f(1)＋ f(4)＝ 0； (2)求 y＝ f(x)， x∈ [1,4]的解析式； (3)求 y＝ f(x)在 [4,9]上的解析式． (1)證明： ∵ f(x)是以 5為周期的周期函數(shù)， ∴ f(4)＝ f(4－ 5)＝ f(－ 1)． 又 ∵ y＝ f(x)(－ 1≤x≤1)是奇函數(shù)， ∴ f(1)＝－ f(－ 1)＝－ f(4)． ∴ f(1)＋ f(4)＝ 0. (2)解析： 當(dāng) x∈ [1,4]時(shí) ， 由題意可設(shè) f(x)＝ a(x－ 2)2－ 5(a0)， 由 f(1)＋ f(4)＝ 0得 a(1－ 2)2－ 5＋ a(4－ 2)2－ 5＝ 0， ∴ a＝ 2. ∴ f(x)＝ 2(x－ 2)2－ 5(1≤x≤4)． (3)解析： ∵ y＝ f(x)(－ 1≤x≤1)是奇函數(shù)， ∴ f(0)＝ 0. 又知 y＝ f(x)在 [0,1]上是一次函數(shù)， ∴ 可設(shè) f(x)＝ kx(0≤x≤1)，而 f(1)＝ 2(1－ 2)2－ 5＝－ 3， ∴ k＝－ 3.∴ 當(dāng) 0≤x≤1時(shí)， f(x)＝－ 3x， 從而當(dāng)－ 1≤x0時(shí)， f(x)＝－ f(－ x)＝－ 3x， 故－ 1≤x≤1時(shí)， f(x)＝－ 3x. 又 ∵ 當(dāng) 4≤x≤6時(shí)，有－ 1≤x－ 5≤1， ∴ f(x)＝ f(x－ 5)＝－ 3(x－ 5)＝－ 3x＋ 15. 當(dāng) 6x≤9時(shí)， 1x－ 5≤4， ∴ f(x)＝ f(x－ 5)＝ 2[(x－ 5)－ 2]2－ 5＝ 2(x－ 7)2－ 5. ∴ f(x)＝ ????? － 3 x ＋ 15 ， 4 ≤ x ≤ 6 ，2 ? x － 7 ? 2 － 5 ， 6 x ≤ 9. 一、指數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì) 名稱 指數(shù)函數(shù) 函數(shù)式 y＝ ax(a0且 a≠ 1) 底數(shù) a的 取值分類 a1 0a1 定義域 (－ ∞ ，＋ ∞ ) 值域 (0，＋ ∞ ) 考點(diǎn)三 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 形如 y＝ ax(a0且 a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x是自變量，定義域是 (－ ∞，＋ ∞)，值域是 (0，＋ ∞)． 名稱 指數(shù)函數(shù) 函數(shù)式 y＝ ax(a0且 a≠ 1) 圖象 單調(diào)性 在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上為增函數(shù) 在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上為減函數(shù) 函數(shù)值 的分布 圖象過(guò)點(diǎn) (0,1)及 (1， a)，(－ 1， a－ 1)； 若 x0，則 y1； 若 x＝ 0，則 y＝ 1； 若 x0，則 0y1 圖象過(guò)點(diǎn) (0,1)及 (1， a)， (－1， a－ 1)； 若 x0，則 0y1；若 x＝ 0，則 y＝ 1； 若 x0，則 y1 (續(xù)上表 ) 二、對(duì)數(shù) 的運(yùn)算法則 如果 a0， a≠1， M0， N0，有 (1)loga(MN)＝ logaM＋ logaN； (2)loga ＝ logaM－ logaN； (3)logaMn＝ nlogaM. MN三 ．對(duì)數(shù)換底公式及對(duì)數(shù)恒等式． ( 以下各式中 a 0 ， a ≠ 1 ， b 0 ， b ≠ 1 ， c 0 ， c ≠ 1 ， M 0 ， N 0 ) ( 1 ) 對(duì)數(shù)恒等式： ① alo gaN＝ N ； ② lo gaan＝ n . ( 2 ) 換底公式： lo gaN ＝lo gbNlo gba. ( 3 ) 由換底公式可推出如下結(jié)論： ① lo gab ＝1lo gba； ② lo gaM ＝ lo ganMn； ③ lo gab 1x＝－ 2 ， ∴ f ( x ) ＝ x3－ 3 x ( x ≤ － 2 或 x ≥ 2) ． ( 2 ) 令 t ＝ x ＋ 1 ，則 t ≥ 1 ， ∴ x ＝ ( t － 1)2， t ≥ 1 ，代入原式有 f ( t )＝ ( t － 1)2＋ 2( t － 1) ＝ t2－ 1( t ≥ 1) ， ∴ f ( x ) ＝ x2－ 1( x ≥ 1) ． 一、函數(shù)單調(diào)性的定義 1． 對(duì)于函數(shù) f(x)的定義域 I內(nèi)某個(gè)區(qū)間 D上自變量的任意兩個(gè)值 x1， x2： (1)若 x1x2時(shí)，都有 ____________，則稱 f(x)在這個(gè)區(qū)間 D上是增函數(shù)； (2)若 x1x2時(shí)，都有 ___________，則稱 f(x)在這個(gè)區(qū)間 D上是減函數(shù)． f(x1)f(x2) f(x1)f(x2) 考點(diǎn)二 函數(shù)的基本性質(zhì) 二、證明函數(shù)單調(diào)性的一般方法 1． 定義法． 用定義法判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是： (1)設(shè) x1，x2_________________________，且 x1x2； (2)作差 __________；(3)將差式變形 (要注意變形的程度，一般結(jié)果要分解為若干個(gè)因式的乘積，且每一個(gè)因式的正或負(fù)能清楚地判斷出 )； (4)判斷__________________(要注意說(shuō)理的充分性 )； (5)根據(jù) f(x1)－ f(x2)的符號(hào)確定其增減性，即下結(jié)論． 概括為：取值 — 作差 — 變形 — 定號(hào) — 下結(jié)論． 是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值 f(x1)－ f(x2) f(x1)－ f(x2)的正負(fù) 2．導(dǎo)數(shù)法． 設(shè) f(x)在某個(gè)區(qū)間 (a， b)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，若 f(x)在區(qū)間 (a， b)內(nèi)，總有 f′(x)0(f′(x)0)，則 f(x)在區(qū)間 (a， b)上為增函數(shù) (減函數(shù) )；反之，若 f(x)在區(qū)間 (a， b)內(nèi)為增函數(shù) (減函數(shù) )，則f′(x)≥0(f′(x)≤0)．請(qǐng)注意兩者的區(qū)別所在． 三．復(fù)合函數(shù) y＝ f[g?x?]的單調(diào)性規(guī)律． 對(duì)于函數(shù) y＝ f(u)和 u＝ g(x)，如果 u＝ g(x)在區(qū)間 (a， b)上具有單調(diào)性，當(dāng) x∈ (a， b)時(shí)， u∈ (m， n)，且 y＝ f(u)在區(qū)間 (m， n)上也具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù) y＝ f[g(x)]在區(qū)間 (a， b)具有單調(diào)性的規(guī)律見(jiàn)下表： 以上規(guī)律還可總結(jié)為： “ 同增異減 ” ． y＝ f(u) 增 ↗ 減 ↘ u＝ g(x) 增 ↗ 減 ↘ 增 ↗ 減 ↘ y＝ f[g(x)] 增 ↗ 減 ↘ 減 ↘ 增 ↗ 四、函數(shù)的奇偶性 1．函數(shù)的奇偶性的定義． 對(duì)于函數(shù) f(x)，其定義域 D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 如果 ? x∈ D，恒有 ____________，那么函數(shù) f(x)為奇函數(shù)； 如果 ? x∈ D，恒有 ____________，那么函數(shù) f(x)為偶函數(shù)． 2．奇偶函數(shù)的性質(zhì)． (1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； (2)偶函數(shù)的圖象關(guān)于 ________軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于________對(duì)稱； (3)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的增減性 ________；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的增減性 ________． f(－ x)＝－ f(x) f(－ x)＝ f(x) y 原點(diǎn) 相同 相反 五、函數(shù)的周期性 1． 周期函數(shù)定義：若 T為非零常數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任一 x，使得