【正文】 12＝ 4α，得 α ＝－ 12， ∴ f ( x ) ＝ x ?12 ， f ??????14＝12???????14＝ 2. 故選 C. 答案： C 考點(diǎn)三 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用 【例 3 】 ( 1 ) 比較下列各組中兩個數(shù)的大?。? ① 1 . 5 35 ， 1 . 7 35 ； ② 0 . 7 1. 5, 0 . 6 1. 5 ； 解析 ： ( 1 )① 考察冪函數(shù) y ＝ x35 的單調(diào)性知 ， 在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增，∵ 1 . 5 ＜ 1 . 7 ， ∴ 1 . 535 ＜ 1 . 735 .② 考查冪函數(shù) y ＝ x32 的單調(diào)性，同理可得 0 . 7 1 . 5 ＞ 0 . 6 1 . 5 .變式探究 3． (1)(2022 f ? r ? 0 ； (3 ) 二次方程 f ( x ) ＝ 0 在區(qū)間 ( p ， q ) 內(nèi)有兩根 ? ??????? Δ ＝ b2－ 4 ac 0 ，p －b2 a q ，a 梅州中學(xué)月考 )函數(shù) f(x)＝ log2x－ 的零點(diǎn)所在區(qū)間為 ( ) A. B. C． (1,2) D． (2,3) 1x,??????10 2 ,??????1 12解析： ∵ f(1)＝－ 1＜ 0， f(2)＝ ＞ 0，又 f(x)＝ log2x－ 是(0，＋ ∞)上的連續(xù)函數(shù)， ∴ 零點(diǎn)所在的區(qū)間為 (1,2)．故選C. 答案： C 12 1x2．若函數(shù) f(x)＝ ax－ b(b≠0)有一個零點(diǎn) 3，那么函數(shù) g(x)＝ bx2＋ 3ax的零點(diǎn)是 ( ) A． 0 B．－ 1 C． 0, 1 D． 0，－ 1 解析： 因?yàn)?f(x)＝ ax－ b(b≠0)有一個零點(diǎn)為 3，所以 3a－ b＝ 0,3a＝ b. 令 g(x)＝ 0得 bx2＋ 3ax＝ 0，即 bx2＋ bx＝ 0， bx(x＋ 1)＝ 0， 所以 x＝ 0或 x＝－ g(x)的零點(diǎn)為 0或－ 1. 故選 D. 答案： D 3．如果函數(shù) f(x)＝ x2＋ mx＋ m＋ 2的一個零點(diǎn)是 0，則另一個零點(diǎn)是 ________． 解析： 依題意知： m＝－ 2. ∴ f(x)＝ x2－ 2x. ∴ 方程 x2－ 2x＝ 0的另一個根為 2，即另一個零點(diǎn)是 2. 答案： 2 4．方程 x2－ 2ax＋ 4＝ 0的兩根均大于 1，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是____________. 解析 ： ( 法一 ) 利用韋達(dá)定理．設(shè)方程 x2－ 2 ax ＋ 4 ＝ 0 的兩根為 x1， x2， 則????? ? x1－ 1 ?? x2－ 1 ? ＞ 0 ，? x1－ 1 ? ＋ ? x2－ 1 ? ＞ 0 ，Δ ≥ 0 ， 解得 2 ≤ a ＜52. ( 法二 ) 利用二次函數(shù)圖象的特征．設(shè) f ( x ) ＝ x2－ 2 ax ＋ 4 ， 則????? Δ ≥ 0 ，f ? 1 ? ＞ 0 ，a ＞ 1 ，解得 2 ≤ a ＜52. 答案：??????2 ，52 2． (2022 ( 4 ) y ＝ exln x . 解析： (1 ) ∵ y ＝ x3＋ 1 ＋1x2 ， ∴ y ′ ＝ 3 x2－2x3 . (2 ) 先使用三角公式進(jìn)行化簡， 得 y ＝ x － sinx2cosx2＝ x －12sin x ， ∴ y ′ ＝??????x －12sin x ′ ＝ x ′ －12(sin x ) ′ ＝ 1 －12cos x . (3 ) 先化簡 ， y ＝ x ? x2＋ 1 ? ′? x2＋ 1 ?2＝1x? x2＋ 1 ? － 2 x l n x? x2＋ 1 ?2＝x2＋ 1 － 2 x2ln xx ? x2＋ 1 ?2. 基礎(chǔ)自測 1． (2022 ( x 0 － 1) ＝ 0. ∴ ( x 0 ＋ 1) ( x 0 － 2)2＝ 0. 解得 x 0 ＝－ 1 或 x 0 ＝ 2 ，故所求的切線方程為 4 x － y － 4 ＝ 0 或 x － y ＋ 2 ＝ 0. xx0＝(3) 設(shè)切點(diǎn)為 ??????x 0 ， y 0 ，故切線的斜率為 k ＝ x 20 ＝ 1 ，解得 x 0 ＝ 177。f′(x)0的解集為 ( ) A． (1，＋ ∞) B． (－ ∞，－ 3) C． (－ ∞，－ 1)∪ (1，＋ ∞) D． (－ ∞，－ 3)∪ (－ 1,1) 解析： 由不等式 ( x ＋ 3) f ′ ( x )0 得????? x ＋ 30 ，f ′ ? x ? 0或????? x ＋ 30 ，f ′ ? x ? 0.觀察圖象可知， x － 3 或－ 1 x 1. 所以不等式的解集為 ( － ∞ ，－ 3) ∪ ( － 1, 1) ．故選 D. 答案： D 考 點(diǎn) 探 究 考點(diǎn)一 求不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 【 例 1】 (2022北京市東城區(qū)期末 )已知函數(shù) f(x)＝ x3＋mx2－ 3m2x＋ 1(m＞ 0)． (1)若 m＝ 1，求曲線 y＝ f(x)在點(diǎn) (2， f(2))處的切線方程； (2)若函數(shù) f(x)在區(qū)間 (2m－ 1， m＋ 1)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) m的取值范圍． 思路點(diǎn)撥： (1)求導(dǎo)數(shù) f′(。南京市、鹽城市模擬 )函數(shù) f(x)＝ (x2＋ x＋ 1)ex(x∈ R)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ________． 解析： 因 f′(x)＝ (2x＋ 1)ex＋ (x2＋ x＋ 1) 中山市桂山中學(xué)質(zhì)檢 ) 函數(shù) y ＝ f ( x ) 在定義域??????－32， 3 內(nèi)的圖象如下圖所示．記 y ＝ f ( x ) 的導(dǎo)函數(shù)為 y ＝ f ′ ( x ) ，則不等式 f ′ ( x ) ≤ 0的解集為 ( ) A.??????－13， 1 ∪ [2, 3) B.??????－ 1 ，12∪??????43，83 C.??????－32，12∪ [1, 2) D.??????－32，－13∪??????12，43 ∪??????43， 3 解析： 由圖可知函數(shù) y ＝ f ( x ) 在??????－13， 1 和 [2 ,3 ) 上都是減函數(shù)，∴ f ′ ( x ) ≤ 0 的解集為??????－13， 1 ∪ [2, 3) ．故選 A. 答案： A 課 前 自 修 基礎(chǔ)自測 1. (2022合肥市模擬 )若曲線 y＝ 2x2的一條切線 l與直線 x＋ 4y－ 8＝ 0垂直，則切線 l的方程為 ( ) A． 4x－ y－ 2＝ 0 B． x＋ 4y－ 9＝ 0 C． 4x－ y＋ 3＝ 0 D． x＋ 4y＋ 3＝ 0 A 4． (2022東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)、哈師大附中二模 )曲線 y＝ 2x2在點(diǎn) (1,2)處的切線斜率為 _________________． 解析： y′＝ 4x， ∴ 切線斜率為 k＝ y′|x＝ 1＝ 4. 答案： 4 考點(diǎn)三 導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用 【 例 3】 已知曲線 y＝ x3＋ . (1)求曲線在點(diǎn) P(2,4)處的切線方程； (2)求曲線過點(diǎn) P(2,4)的切線方程； (3)求滿足斜率為 1的曲線的切線方程． 1343解析： (1 ) ∵ y ′ ＝ x2， ∴ 在點(diǎn) P ( 2, 4) 處的切線的斜率 k ＝ y ′ |x ＝ 2＝ 4. ∴ 曲線在點(diǎn) P ( 2, 4) 處的切線方程為 y － 4 ＝ 4( x － 2) ，即 4 x － y － 4＝ 0. (2 ) 設(shè)曲線 y ＝13x3＋43與過點(diǎn) P (2 ,4 ) 的 切 線 相 切 于 點(diǎn)A??????x 0 ，13x30＋43，則切線的斜率 k ＝ y ′ | ＝ x20. ∴ 切線方程為 y －??????13x30＋43＝ x20 ??????x － x 0 ，即 y ＝ x20 (4)y＝ . ln xx2＋ 1 解析： (1 )( 法一 ) ∵ y ＝ (3 x3－ 4 x )(2 x ＋ 1) ＝ 6 x4＋ 3 x3－ 8 x2－ 4 x ， ∴ y ′ ＝ 24 x3＋ 9 x2－ 16 x － 4. ( 法二 ) y ′ ＝ (3 x3－ 4 x ) ′ (2 x ＋ 1) ＋ (3 x3－ 4 x )(2 x ＋ 1) ′ ＝ (9 x2－ 4)(2 x＋ 1) ＋ (3 x3－ 4 x ) v(x)]′＝ ________________(口訣：和與差的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和與差 )； ??????1x x0 mxm－ 1 ? 21x12x cos x － sin x lnxa1 1x axln a ex u′(x)177。 f ? p ? 0 ； (4)二次方程 f(x)＝ 0在區(qū)間 (p， q)內(nèi)只有一根 ? f(p) f(b)0 區(qū)間 (a， b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn) 通過零點(diǎn) 變號 三、一元二次方程根的分布問題 關(guān)鍵是抓住方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠0)的根所在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符號、判別式及對稱軸的位置這三點(diǎn)來考慮． 二次方程 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c＝ 0的實(shí)根分布及條件： (1)方程 f(x)＝ 0的兩根中一根比 r大，另一根比 r小 ? a ＝－ 1. ∴ 要使 f(x)≥b在 [－ 1,1]上恒成立，則只需 b≤－ 1. 故 b的取值范圍是 (－ ∞，－ 1]． aa 2－ 1 aa 2－ 1 1－ a 2a 例 6 設(shè)函數(shù) f(x)＝ a2ln x－ x2＋ ax， a0. (1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求所有實(shí)數(shù) a，使 e－ 1≤f(x)≤e2對 x∈ [1， e]恒成立 (注： e為自然對數(shù)的底數(shù) )． 解析 ： (1 ) 因?yàn)?f ( x ) ＝ a2ln x － x2＋ ax ，其中 x 0 ， 所以 f ′ ( x ) ＝a2x－ 2 x ＋ a ＝－? x － a ?? 2 x ＋ a ?x， 由于 a 0 ，所以 f ( x ) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (0 ， a ) ，單調(diào)遞減區(qū)間為 ( a ，＋ ∞ ) ． (2 ) 由題意得 f (1 ) ＝ a － 1 ≥ e － 1 ，即 a ≥ e ， 由 (1 ) 知 f ( x ) 在 [1 ， e] 內(nèi)單調(diào)遞增，要使 e － 1 ≤ f ( x ) ≤ e2對 x ∈ [1 ，e] 恒成立， 只要????? f ? 1 ? ＝ a － 1 ≥ e － 1 ，f ? e ? ＝ a2－ e2＋ a e ≤ e2，解得 a ＝ e. 例 7．已知函數(shù) f(x)＝ loga(x＋ 1)(a＞ 1)，若函數(shù) y＝ g(x)圖象上任意一點(diǎn) P關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn) Q的軌跡恰好是函數(shù) f(x)的圖象． (1)寫出函數(shù) g(x)的解析式； (2)當(dāng) x∈ [0,1)時，總有 f(x)＋ g(x)≥m成立，求 m的取值范圍． 解析： (1)設(shè) P(x， y)為 g(x)圖象上任意一點(diǎn)， 則 Q(－ x，－ y)是點(diǎn) P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)， ∵ Q(－ x，－ y)在 f(x)的圖象上， ∴ － y＝ loga(－ x＋ 1)， 即 y＝ g(x)＝－ loga(1－ x)(a＞ 1)． (2)f(x)