【正文】 稱為廣義最小二乘估計(jì)量 （ GLS估計(jì)量 ） 。 對(duì)于模型 Yt = β 0+β 1X1t+… +β k Xkt+ ut （ 1） 若擾動(dòng)項(xiàng)滿足 E(ut) = 0， E(uiuj) = 0, i≠j， 但 E(ut2) = σt2 ≠常數(shù) . 也就是說 ， 該模型只有同方差性這一條件不滿足 ， 則只要能將具有異方差性的擾動(dòng)項(xiàng)的方差表示成如下形式： 2 2 2( ) 1 , 2 , . . .t t tV a r u t n? ? ?? ? ?58 由于 所以變換后的擾動(dòng)項(xiàng)的方差為常數(shù) ， 可以應(yīng)用 OLS法進(jìn)行估計(jì) ， 得到的參數(shù)估計(jì)量為 BLUE。 檢驗(yàn)步驟類似于 t檢驗(yàn)和 F檢驗(yàn)。 R2 ~ ? 2(k) 因此，懷特檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量就是 n設(shè)模型如下： White檢驗(yàn)步驟如下： （ 1）用 OLS法估計(jì)（ 1）式，得到殘差 e i ； （ 2）進(jìn)行如下輔助回歸 0 1 1 2 2 ( 1 )i i i iY X X u? ? ?? ? ? ?2 2 20 1 1 2 2 3 3 4 4 5 1 2 ( 2 )i i i i i i i ie X X X X X X v? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?即殘差平方對(duì)所有原始變量、變量平方以及變量交叉積回歸，得到 R2值 ； 56 （ 3）進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn) 原假設(shè) H0：不存在異方差性（即方程（ 2）全部 斜率系數(shù)均為零） 備擇假設(shè) H1：存在異方差性 (即 H0不成立 ) 懷特證明了下面的命題： 在 原假設(shè) H0成立的情況下，從（ 2）式得到的 R2值與觀測(cè)值數(shù)目（ n）的乘積（ n R2）服從 自由度為 k的 ?2分布，自由度 k 為 (2)式中解釋變量的個(gè)數(shù)。 結(jié)論：存在異方差性 。 檢驗(yàn)步驟： （ 1） 將數(shù)據(jù)分為三組：小 Yt值組 ， 中 Yt值組 ， 大 Yt值組 （ 數(shù)據(jù)項(xiàng)大致相等 ） （ 2） 對(duì)小 Yt值組估計(jì)模型 ， 給出 （ 3） 對(duì)大 Yt值組估計(jì)模型 ， 給出 2t?1?1221 ????kne?1?3223 ????kne?53 （ 4） H0： H1： （ 或 ） 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 F0 = ～ F（ n3k1, n1k1） 若 F0＞ Fc， 則拒絕 H0， 存在異方差性 。 對(duì)于多個(gè)解釋變量的情況 ， 可分別計(jì)算 ︱ et︳ 與各解釋變量的等級(jí)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn) 。 49 等級(jí)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算步驟 （ 1） 將兩變量的相應(yīng)觀測(cè)值分別按升序 （ 或降序 ） 排序 ， 所得到的序號(hào)即為等級(jí)； （ 2） 計(jì)算兩變量各觀測(cè)值相應(yīng)的等級(jí)之差 dt ； （ 3） 計(jì)算等級(jí)相關(guān)系數(shù) )12(261????nntdr50 例：等級(jí)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算 假設(shè)我們有 Xt和 et如下： Xt 25， 40， 52， 58， 65 et ， ， ， –， 我們有 ︱ et︳ ， ， ， ， Xt的等級(jí) ︱ et︳ 的等級(jí) dt 1 1 0 2 2 0 3 4 1 4 5 1 5 3 2 r = 1 – (6*6)/(5*24) = 1 = 51 計(jì)算出等級(jí)相關(guān)系數(shù)后 ， 就可判斷異方差性是否存在 。 由于擾動(dòng)項(xiàng)無(wú)法觀測(cè) ， 因而用殘差代替之 ， 轉(zhuǎn)化為對(duì) et與 Xt的相關(guān)程度的研究 ， 若 et與 Xt高度相關(guān) ， 則可推斷異方差性存在 。 21 ?)( ???XX46 二 異方差性的檢驗(yàn) 異方差性后果的嚴(yán)重性意味著我們?cè)趯?shí)踐中必須了解是否存在異方差性 。 事實(shí)上 ， 異方差性的存在導(dǎo)致 OLS估計(jì)量既不是有效的 ， 也不具有漸近有效性 。這就意味著異方差性 。因此，低收入家庭消費(fèi)支出額的波動(dòng)應(yīng)當(dāng)較小，因而擾動(dòng)項(xiàng)具有較小的方差。 某些家庭接近于勉強(qiáng)維持生存的水平 ， 另一些家庭則有很高的收入 。異方差性主要發(fā)生在橫截面數(shù)據(jù)的情況，時(shí)間序列問題中一般不會(huì)發(fā)生，除非時(shí)間跨度過大。 第三節(jié) 異方差性 回顧我們應(yīng)用 OLS法所需假設(shè)條件，其中大部分是有關(guān)擾動(dòng)項(xiàng)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)，它們是： 43 一 異方差性及其后果 1． 定義 若 Var(ut) = = 常數(shù)的假設(shè)不成立 ， 即 Var(ut) = ≠常數(shù) ， 則稱擾動(dòng)項(xiàng)具有異方差性 。 實(shí)際問題中 ， 這兩條不成立的情況比比皆是 。 大樣本即可假定擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布 。) = ?2 , t=1,2,… ,n. 常數(shù)方差 （ 4） ut ～ N(0,?2). 正態(tài)性 對(duì)于 （ 1） ， 我們可論證其合理性 。要根據(jù)不同情況采取必要措施。 2. 嚴(yán)重的多重共線性問題，一般可根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或通過分析回歸結(jié)果發(fā)現(xiàn)。 41 五 . 處理多重共線性問題的原則 1. 多重共線性是普遍存在的 ， 輕微的多重共線性問題可不 采取措施 。 主成分法的計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜 ，這里不做介紹 。 40 5．主成分法 可將共線變量組合在一起形成一個(gè)綜合指數(shù) (變量 )， 用它來代表這組變量 。Xt 1+ ut 其中 β 3180。 如果我們僅要求在知道兩種商品的相對(duì)價(jià)格變動(dòng)時(shí) ， 對(duì)需求量進(jìn)行預(yù)測(cè) ， 則可將需求函數(shù)變?yōu)椋? 就可以解決多重共線性問題 。 應(yīng)注意的是 ， 這種做法可能會(huì)使得到的系數(shù)估計(jì)量產(chǎn)生偏倚 ， 因而需要權(quán)衡利弊 。 3．刪除一個(gè)或幾個(gè)共線變量 這樣做 ， 實(shí)際上就是利用給定數(shù)據(jù)估計(jì)較少的參數(shù) ， 從而降低對(duì)觀測(cè)信息的需求 ， 以解決多重共線性問題 。如果取一橫截面樣本（如從 5000個(gè)家庭取得的數(shù)據(jù)），則可用來估計(jì) Yi = α 1+α 2Xi+ ui 然后將得到的估計(jì)值 作為一個(gè)約束條件（ β 2 = ）施加于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的回歸計(jì)算中，即估計(jì) Yt Xt =β 1+β 3Pt+ ut ，得到 ， 。 36 例：需求函數(shù) Yt = β 1+β 2Xt+β 3Pt+ ut 在時(shí)間序列數(shù)據(jù)中，收入（ X）和價(jià)格（ P）往往是高度相關(guān)的，用時(shí)間序列數(shù)據(jù)估計(jì)往往會(huì)產(chǎn)生多重共線性。 5)?( ?iV IF ?35 四 解決多重共線性的方法 思路：加入額外信息 。 也有人建議用 VIF10作為存在嚴(yán)重多重共線性的標(biāo)準(zhǔn) , 特別在解釋變量多的情形應(yīng)當(dāng)如此。 )1(1)?(2ii RV IF ???34 （ 3）分析多重共線性的程度 VIF越高 , 多重共線性的影響越嚴(yán)重。 VIF檢驗(yàn)的具體步驟如下： 33 設(shè)原方程為： Y = ?0 + ?1X1 + ?2X2 + … + ?kXk + u 我們需要計(jì)算 K個(gè)不同的 VIF，每個(gè) Xi一個(gè)。 方程中每個(gè)解釋變量有一個(gè) VIF，該 VIF是關(guān)于多重共線性使相應(yīng)的系數(shù)估計(jì)值的方差增大了多少的一個(gè)估計(jì)值。 32 4. 使用 VIF檢驗(yàn) VIF 是方差膨脹因子的英文 (Variance Inflation Factors) 縮寫 , 這是一種比較正規(guī)的檢驗(yàn)方法 。通常認(rèn)為大于 10即存在多重共線性，大于 30表明存在嚴(yán)重多重共線性。 3．通過條件指數(shù)檢驗(yàn) 條件指數(shù)（ Condition index）或條件數(shù) Condition number）是 X’X矩陣的最大和最小特征根之比的平方根，條件指數(shù)高，表明存在多重共線性。 31 2．使用相關(guān)矩陣檢驗(yàn) 統(tǒng)計(jì)軟件一般提供各解釋變量?jī)蓛芍g的相關(guān)系數(shù)矩陣 ， 如發(fā)現(xiàn)某些相關(guān)系數(shù)高 （ 絕對(duì)值高于 ） ， 則表明多重共線性存在 。 其中上述第二種現(xiàn)象是多重共線性存在的典型跡象 。 如果發(fā)現(xiàn) : 系數(shù)估計(jì)值的符號(hào)不對(duì)； 某些重要的解釋變量 t值低 ， 而 R2不低； 當(dāng)一不太重要的解釋變量被刪除后 ， 回歸結(jié)果 顯著變化 。 由于各共線變量的參數(shù)的 OLS估計(jì)值方差大，因而系數(shù)估計(jì)量的 t值低，使得我們犯第 Ⅱ 類錯(cuò)誤（接受錯(cuò)誤的原假設(shè) H0: β j=0）的可能性增加，容易將本應(yīng)保留在模型中的解釋變量舍棄了。） 3 由于若干個(gè) X變量共變，它們各自對(duì)因變量的影響無(wú)法 確定。 29 2. 但各共線變量的參數(shù)的 OLS估計(jì)值方差很大，即估計(jì)值精度很低。 28 一 定義 在實(shí)踐中 ， 若兩個(gè)或多個(gè)解釋變量高度線性相關(guān) ， 我們就說模型中存在多重共線性 。 當(dāng)某些解釋變量高度相關(guān)時(shí)，盡管估計(jì)過程不會(huì)中斷，但會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的估計(jì)問題，我們稱這種現(xiàn)象為 多重共線性 。 這兩種情況都很罕見。即自變量之間不存在嚴(yán)格的線性關(guān)系 ， 觀測(cè)值個(gè)數(shù)大于待估計(jì)的參數(shù)的個(gè)數(shù) 。 另一方面 ， 如果模型設(shè)定正確 ， RESET檢驗(yàn)使我們能夠排除誤設(shè)定的存在 ，轉(zhuǎn)而去查找其它方面的問題 。 應(yīng)該指出的是 ， 拉姆齊 RESET檢驗(yàn)僅能檢驗(yàn)誤設(shè)定的存在 ， 而不能告訴我們到底是哪一類的誤設(shè)定 ， 或者說 ， 不能告訴我們正確的模型是什么 。 432 ??,? YYY 和432 ??,? YYY 和25 RESET檢驗(yàn)法的步驟 拉姆齊 RESET檢驗(yàn)的具體步驟是： (1) 用 OLS法估計(jì)要檢驗(yàn)的方程 ， 得到 (2) 由上一步得到的值 （ i=1,2,… ,n） ， 計(jì)算 ， 然后用 OLS法估計(jì)： (3) 用 F檢驗(yàn)比較兩個(gè)方程的擬合情況 （ 類似于上一章中聯(lián)合假設(shè)檢驗(yàn)采用的方法 ） ， 如果兩方程總體擬合情況顯著不同 ，則我們得出原方程可能存在誤設(shè)定的結(jié)論 。 直觀地看，這些添加的項(xiàng)是任何可能的遺漏變量或錯(cuò)誤的函數(shù)形式的替身，如果這些替身能夠通過 F檢驗(yàn) , 表明它們改善了原方程的擬合狀況，則我們有理由說原方程存在誤設(shè)定問題。 24 RESET檢驗(yàn)法的思路 RESET檢驗(yàn)法的思路是在要檢驗(yàn)的回歸方程中加進(jìn) 等項(xiàng)作為解釋變量，然后看結(jié)果是否有顯著改善。 可是 ， 有時(shí)這些原則不能提供足夠的信息使研究人員確信其設(shè)定是最恰當(dāng)?shù)?， 在這種情況下 ， 可考慮使用一些更正規(guī)的檢驗(yàn)方法來比較不同估計(jì)方程的性質(zhì) 。對(duì)于我們這里的應(yīng)用，AIC的計(jì)算公式為 與赤池信息準(zhǔn)則類似的還有施瓦茨信息準(zhǔn)則（Schwarz information criterion， SIC）： 上述兩個(gè)準(zhǔn)則與前述準(zhǔn)則 一樣，可用于模型選擇，其值也是越小越好。 在三個(gè)預(yù)測(cè)準(zhǔn)則的情況下，我們感興趣的是改善預(yù)測(cè)的 MSE，只要能改善，可以去掉某些變量，即便是正確模型中包括它們也在所不惜。 1 ()kk?fY?fY2?()ffE Y Y?pCpS21 上述三個(gè)準(zhǔn)則都是基于預(yù)測(cè)的均方誤差最小，但在估計(jì)預(yù)測(cè)的均方誤差時(shí)采用的假設(shè)有所不同，因而形成各自的計(jì)算公式，孰優(yōu)孰劣，并無(wú)定論，在實(shí)踐中