高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題——立體幾何-文庫吧資料
2025-01-16 00:11本頁面
【正文】 O P? P 44 分析 ：設(shè) ,lm的公垂線段為 LM，過點 M作 ll? ，另作如圖所示的垂線段。 例十四 、（ 1992年全國聯(lián)賽一試）設(shè) l、 m是兩條異面直線，在 l上有 A、 B、 C三個點，且 AB=BC，過 A、 B、 C分別作 m的垂線 AD、 BE、 CF，垂足依次為 D、 E、 F，已知 AD= 15 ， BE=72 ， CF= 10 。于是可求得線段 PP? 的長： 2 4 3 2pp? ? ? ?。 例十三 、（ 1996年全國聯(lián)賽一試）已知將給定的兩個全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱的長為 2，則最遠(yuǎn)的兩點間的距離是 。設(shè)：∠ AOO2=∠ BOO2=? ，則 3sin 4?? ，顯然， 45 60??? ? ? ，故可排列 3 個圓。 分析 ：根據(jù)所放球的特點，加入的小球和球 O2應(yīng)該都與球 O圓臺的下底面及側(cè)面都只有一個公共點，即加入小球的球心與 O2均勻分布在與底面距離為 3，圓臺軸的周圍。圓臺內(nèi)可再放入一個半徑為 3的球O2，使得球 O2與球 O圓臺的下底面及側(cè)面都只有一個公共點。設(shè)球半徑 r ， OD=x ，則： 2213rxrx? ???????? 解得： 33x? 。 分析 ：作 SD⊥平面 ABC 于 D，連接 BD，因為 SA=SB=SC=2， 所以點 D為底面三角形 ABC 的外心，即 D為 AB 的中點， 同時，球心 O必在線段 SD上。 于是，將兩條 異面直線之間的距離轉(zhuǎn)化為直線與平面之間的距離，易知，所求距離為34 。 線線距轉(zhuǎn)化為線面距、線面距轉(zhuǎn)化為面面距、面面距轉(zhuǎn) 化為點面距、點面距轉(zhuǎn)化為點線距，最終常?；癁樵谝? 個平面內(nèi)求一點到一條直線的垂線段的長度。取 AC 的中點 O，連 接 BO、 B1O，易知： B1O= 3 在等腰三角形 ABC中， AC=2， ? ABC=135? ， BO=2sin42ta n 2 18 21 c os 14 2???? ? ? ?? ?， （線段 BO的長度也可以通過正八邊形外接圓半徑 2 減去正方形邊長的一半 1得到） 在直角三角形 B1BO中： BB1= ? ? ? ?22 43 2 1 2 2 8? ? ? ?∴所求圓柱 體的高： 4 82h?? 例十 、（ 2022 年全國聯(lián)賽一試）正方體 ABCD— A1B1C1D1的棱長為 1，則直線 A1C1與 BD1H1 G1 F1 E1 C1 B1 A1 H G E D C B A D1 F O 42 的距離是 。 ACEG— B1D1F1H1,此幾何題每相鄰兩點間的距離為 2， 顯然，兩底面 ACEG與 B1D1F1H1間的距離加上 2即為所求 符合條件的圓柱體的高。 例九 、（ 2022 年全國聯(lián)賽一試）將八個半徑為 1 的小球分兩層放置在一個圓柱內(nèi)，并使得每 個球和其相鄰的四個球相切，且與圓柱的一個底面及側(cè)面都相切，則此圓柱的高等于 。故選（ A）。特別的，當(dāng)四面體為正四面體時取等號。 例八 、（ 1992年全國聯(lián)賽一試）設(shè)四面體四個面的面積分別為 S S S S4，它們的最大值為 S，記 1 2 3 4S S S SS? ? ? ?? ，則 ? 一定滿足 （ A） 24???； （ B） 34???； （ C） ??? ； （ D） ??? 。 例七 、（ 1994 年全國聯(lián)賽一試）在正 n 棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是 （ A） 2 ,nn ?????????； （ B） 1 ,nn ?????????； （ C） 0,2???????； （ D） 21,nn??????????。則： 2 2 2 2 2 22 2 2ta n , ta n , ta nb c b c c a a c a b a ba a b b c c? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 以上三式相乘即可。構(gòu)造如圖所示的長方體 ABCD— A1B1C1D1，連接 AC A1C BC DC1。 求證： ta n ta n ta n 2 2? ? ?? ? ?。 分析 ：正方體的 12條棱可分為三組，一個平面與 12 條棱的夾角都等于 ? 只需該平面與正方體的過同一 個頂點的三條棱所成的角都等于 ? 即可。顯然 FG∥ BD，∠ GEF= ?? ，∠ GFE= ?? 。 ` 分析 ：根據(jù)題意可首先找到與 ,????對應(yīng)的角。 ②從上述等式的三項可以看出 cos? 值最小，于是可得結(jié)論：平面的一條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的所有直線所成的角中，斜線與它的射影所成的角最小。過平面內(nèi)一個角的頂點作平面的一條斜線，如果斜線和角的兩邊所成的角相等，那么這條斜線在平面內(nèi)的射影一定會落在這個角的角平分線上。O C O B O CO A O A O B? ? ?? ? ? 所以， cos cos c
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