【正文】 ，?， n｝ (m 是給定的正整數(shù)，且 2≤ m≤ n－ 2)，再?gòu)拿總€(gè)子總體中各隨機(jī)抽取 2 個(gè)元素組成樣本，用 Pij 表示元素 i 和 j 同時(shí)出現(xiàn)在樣本中的概率，則P1n=________；所有 Pif(1≤ i＜ j≤ ?n 的和等于 ______. 20.（本小題滿分 13 分） 若 A、 B 是拋物線 y2=4x 上的不同兩點(diǎn)，弦 AB（不平行于 y 軸）的垂直平分線與 x 軸相交于點(diǎn) P，則稱弦 AB 是點(diǎn) P 的一條“相關(guān)弦” .已知當(dāng) x2 時(shí)，點(diǎn) P（ x,0）存在無(wú)窮多條“相關(guān)弦” .給定 x02. （ Ⅰ ）證明：點(diǎn) P（ x0,0）的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn) 的橫坐標(biāo)相同； （ Ⅱ ）試問(wèn)：點(diǎn) P（ x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0 表示）：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 . 21.（本小題滿分 13 分） 已知函數(shù) f(x)=ln2(1+x)－ 21xx? . （ Ⅰ ）求函數(shù) f(x) 的單調(diào)區(qū)間 。下列四個(gè)命題中，正確的是 m∥ ? ,n∥ ? ,則 m∥ n m? ? ,n? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,則 ? ∥ ? ? ? ? ， m? ? ,則 m? ? ? ? ? ， m? ? ， m? ? ,則 m∥ ? f(x)=sin2x+ 3sin cosxx在區(qū)間 ,42????????上的最大值是 ? C. 32 + 3 D、 E、 F 分別是△ ABC 的三邊 BC、 CA、 AB 上的點(diǎn)，且 2,DC BD? 2,CE EA? 2,AF FB? 則 AD BE CF??與 BC 221xyab??（ a＞ 0,b＞ 0）上橫坐標(biāo)為 32a 的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則 雙曲線離心率的取值范圍是 A.(1,2) B.(2,+? ) C.(1,5) D. (5,+? ) ABCD－ A1B1C1D1 的 8 個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，且 AB=2, AD= 3 , AA1=1, 則頂點(diǎn) A、B 間的球面距離是 A. 2 2? B. 2? C. 22? D. 24? ［ x］表示不超過(guò) x 的最大整數(shù)（如［ 2］ =2, ［ 54 ］ =1），對(duì)于給定的 n? N*,定義? ?? ?2 ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 )n n n n xC x x x x? ? ?? ? ? ?， x? ? ?1,?? ,則當(dāng) x? 3,32??????時(shí)，函數(shù) 2nC 的值域是 A. 16,283?????? B. 16,563?????? C. 284,3???????? ?28,56 D. 16 284, , 2833? ? ? ??????? ? ? ? 二 、填空題：本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分。 由上知，滿足條件的 m 、 p 存在，且 63m? 或 63m?? ， 43P? 2022 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷） 一、選擇題：本大題共 10 小題，每小 題 5 分，共 50 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．復(fù)數(shù) 22i1+i??????等于（ ） A． 4i B． 4i? C． 2i D． 2i? 2．不等式 2 01xx?? ≤ 的解集是（ ） A． ( 1) ( 1 2]?? ? ?， ， B． [ 12]?， C． ( 1) [2 )?? ? ? ?， ， D． ( 12]?， 3．設(shè) MN， 是兩個(gè)集合，則“ MN?? ”是“ MN?? ”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條 件 4．設(shè) ， ab是非零向量，若函數(shù) ( ) ( ) ( )f x x x? ? ?a b a b的圖象是一條直線，則必有（ ） A． ⊥ab B． ∥ab C． | | | |?ab D． | | | |?ab 5．設(shè)隨機(jī)變量 ? 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 (01)N， ，已知 ( ) ? ??，則 (| | )P ? ? =（ ） A． B． C． D． 6．函數(shù)24 4 1() 4 3 1xxfx x x x??? ? ? ? ??， ≤ ，的圖象和函數(shù) 2( ) logg x x? 的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ） A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 7．下列四個(gè)命題中， 不正確 ． ． ． 的是（ ） A．若函數(shù) ()fx在 0xx? 處連續(xù)，則00lim ( ) lim ( )x x x xf x f x???→ → B．函數(shù)2 2() 4xfx x ?? ?的不連續(xù)點(diǎn)是 2x? 和 2x?? C．若函數(shù) ()fx， ()gx 滿足 lim [ ( ) ( )] 0x f x g x? ??→，則 lim ( ) lim ( )xxf x g x???→ → D．111lim 12xxx ? ??→ 8．棱長(zhǎng)為 1 的正方體 1 1 1 1ABCD A B C D? 的 8 個(gè)頂點(diǎn)都在球 O 的表面上， EF， 分別是棱1AA ， 1DD 的中點(diǎn)，則直線 EF 被球 O 截得的線段長(zhǎng)為（ ） A． 22 B． 1 C． 21 2? D． 2 9．設(shè) 12FF， 分別是橢圓 221xyab??（ 0ab?? ）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在 ,P使線段 1PF 的中垂線過(guò)點(diǎn) 2F ，則橢圓離心率的取值范圍是（ ） A． 202??? ????， B． 303??? ????， C． 212???? ???， D． 313???? ???， 10．設(shè)集合 {1 2 3 4 5 6}M ? ， ， ， ， ， ， 12 kS S S， ， ， 都是 M 的含兩個(gè)元素的子集，且滿足：對(duì)任意的 {}i i iS a b? ， ， {}j j jS a b? ， （ ij? ， {1 2 3 }i j k?、 ， ， ， ， ）， 都 有m in m in jjiii i j jababb a b a???? ???? ? ? ??? ??， ，（ min{ }xy， 表示兩個(gè)數(shù) xy， 中的較小者），則 k 的最大值是（ ） A． 10 B． 11 C． 12 D． 13 二、填空題：本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分．把答案填在橫線上． 11．圓心為 (11)， 且與直線 4xy??相切的圓的方程是 ． 12．在 ABC△ 中，角 A B C， ， 所對(duì)的邊分別為 a b c， ， ，若 1a? ， b= 7 ， 3c? ，則 B? ． 13．函數(shù) 3( ) 12f x x x??在區(qū)間 [ 33]?， 上的最小值是 ． 14．設(shè)集合 { ( ) | | 2 | 0 }A x y y x x??， ≥ ， ≥， { ( ) | }B x y y x b? ? ?， ≤， AB?? ， （ 1） b 的取值范圍是 ； （ 2）若 ()x y A B?， ，且 2xy? 的最大值為 9，則 b 的值是 ． 15．將楊輝三角中的奇數(shù)換成 1，偶數(shù)換成 0，得到如圖 1 所示的 01 三角數(shù)表．從上往下數(shù)，第 1 次全行的數(shù)都為 1 的是第 1 行，第 2 次全行的數(shù)都為 1 的是第 3 行，?，第 n 次全行的數(shù)都為 1 的是第 行；第 61 行中 1 的個(gè)數(shù)是 ． 第 1 行 1 1 第 2 行 1 0 1 第 3 行 1 1 1 1 第 4 行 1 0 0 0 1 第 5 行 1 1 0 0 1 1 ?? ??????????????? 圖 1 20．（本小題滿分 12 分） 已知雙曲線 222xy??的左、右焦點(diǎn)分別為 1F ， 2F ，過(guò)點(diǎn) 2F 的動(dòng)直線與雙曲線相交于AB， 兩點(diǎn)． （ I） 若動(dòng)點(diǎn) M 滿足 1 1 1 1F M F A F B F O? ? ?（其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn) M 的軌跡方程； （ II）在 x 軸上是否存在定點(diǎn) C ，使 CA 解得 43P? 或 8P?? （舍去）。 ..........................⑥ 將 ② 、 ③ 代入 ⑥ 得 22 3 ( 2)16 10ppm p?? ?。 ..........................④ 將 ① ， ② ， ③ 代入 ④ 得 22 3 ( 4 )( 2 )1 6 (1 )ppm p??? ?。 所以1 2 1 22 4 (1 )( 2 )2 3 ( 2 )m m py y x xpp ?? ? ? ? ???。 ..........................① 由（ I）知 12xx? ， 2p? ，于是直線 AB 的斜率21212212yy m o mk px x p? ?? ? ????。 所以1 2 1 2 1 211( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )2 2 2 2ppA B x x x x p x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 由上知，滿足條件得 m、 p 存在，且 63m? 或 63m?? ， 43p? 解法二 設(shè) A、 B 得坐標(biāo)分別為（ x1,y1） ,(x2,y2) 因?yàn)?AB 即過(guò) C1 得右焦點(diǎn) F（ 1， 0），又過(guò) C2 得焦點(diǎn) 39。( , )3Fm在直線 6( 1)yx?? ? 上，所以 26( 1)3m ?? ? 。 于是 6k?? , 43p? 。 即 425 6 0kk? ? ? 。 所以1 2 1 2 1 211( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )2 2 2 2ppA B x x x x p x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 則 2212 223 1 2 4 1 24 ( ) 42 2 4 3 4 3kkp x x kk ?? ? ? ? ? ???。 從而 228 ( 2)34k p kkk??? ， 4228(4 3)( 2 )kp kk? ??。 即 222 2 2( 2 ) 04kpk x p k x? ? ? ?。( , )2pFm在 ( 1)y k x??上， 所以 ( 1),2pmk??即 2kpmk?? 。 （ II）解法一 假設(shè)存在 m、 p 的值使 C2的焦點(diǎn)恰在直線 AB 上，由 (I)知道直線 AB 的斜率存在，故可設(shè)直線 AB 的方程為 ( 1)y k x??。 因?yàn)辄c(diǎn) A 在拋物線上，所以 9 24 p? ，即 98p? 。( ) c o s 1 2 s in 2 ( ) 02 2 2 2 2x x x x xg x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 ()gx 在（ 0， 1）上是增函數(shù)，又 ()gx 在 [0， 1]上連續(xù)，且 (0) 0g ? ， 所以當(dāng) 01x??時(shí)， ( ) 0gx? 成立。 （ iii）假設(shè)當(dāng) nk? 時(shí)結(jié)論成立，即 01na?? 因?yàn)?01x??時(shí) 39。 圖 2OABPM(Ⅱ ) 是否存在 pm, 的值 , 使 拋物線 2C 的焦點(diǎn)恰在直線 AB 上 ? 若存在 , 求出符合條件的pm, 的值 。 當(dāng) 21??x 時(shí) , y 的取值范圍是__________. 19．（本小 題滿分 14 分） 已知函數(shù) xxxf sin)( ?? , 數(shù)列 }{na 滿足 : 10 1 ??a , an+1=f(an)， ?,3,2,1?n 證明： (Ⅰ ) 10 1 ??? ? nn aa 。 1. 函數(shù) 2log 2 ?? xy 的定義域是 A． ),3( ?? B． ),3[ ?? C． ),4( ?? D． ),4[ ?? 2. 若數(shù)列 }{na 滿足 : 311?a, 且對(duì)任意正整數(shù) nm, 都有 nmnm aaa ??? , 則 ??????? )(lim 21 nn aaa ? A． 21 B． 32 C． 23 D． 2 3. 過(guò)平行六面體 1111 DCBAABCD ? 任意兩條棱的中點(diǎn)作直線 , 其中與平面 11DDBB 平行的直線共有 A． 4條 B． 6條 C． 8條 D． 12條 4. “ 1?a ” 是 “ 函數(shù) ||)( axxf ?? 在區(qū)間 ),1[ ?? 上為增函數(shù) ” 的 A．充 分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不