【正文】 ． 2 3. 過平行六面體 1111 DCBAABCD ? 任意兩條棱的中點作直線 , 其中與平面 11DDBB 平行的直線共有 A． 4條 B． 6條 C． 8條 D． 12條 4. “ 1?a ” 是 “ 函數(shù) ||)( axxf ?? 在區(qū)間 ),1[ ?? 上為增函數(shù) ” 的 A．充 分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 5. 已知 ,0||2|| ?? ba 且關于 x 的方程 0||2 ???? baxax 有實根 , 則 a 與 b 的夾角的取值范圍是 A． ]6,0[ ? B． ],3[ ?? C． ]32,3[ ?? D． ],6[ ?? 6. 某外商計劃在 4 個候選城市投資 3 個不同的項目 , 且在同一個城市投資的項目不超過 2個 , 則該外商不同的投資方案有 A． 16 種 B． 36種 C． 42種 D． 60 種 7. 過雙曲線 1:222 ?? byxM 的左頂點 A 作斜率為 1 的直線 l , 若 l 與雙曲線 M 的兩條漸近線分別相交于點 CB, , 且 |||| BCAB ? , 則雙曲線 M 的離心率是 A． 10 B． 5 C． 310 D． 25 8. 設函數(shù) 1)( ??? x axxf , 集合 }0)(|{},0)(|{ ????? xfxPxfxM , 若 PM? , 則實數(shù) a 的取值范圍是 A． )1,( ??? B． )1,0( C． ),1( ?? D． ),1[ ?? 9. 棱長為 2 的正四面體的四個頂點都在同一個球面上 , 若過該球球心的一個截 面如圖 1,則圖中三角形 (正四面體的截面 )的面積是 A． 22 B． 23 C． 2 D． 3 10. 若圓 0104422 ????? yxyx 上至少有三個不同的點到直線 0: ??byaxl 的距離為 22 ,則直線 l 的傾斜角的取值范圍是 圖 1A． ]412[ ??， B． ]12512[ ??， C． ]36[ ??， D． ]20[ ?， 二、填空題：本大題 共 5小題，每小題 4分 (第 15小題每空 2分 )，共 20分 .把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上。 11. 若 5)1?ax（ 的展開式中 3x 的系數(shù)是 80? , 則實數(shù) a 的值是 __________. 12. 已知????????????022011yxyxx 則22 yx ? 的最小值是 _____________. 13. 曲線 xy 1? 和 2xy? 在它們的交點處的兩條切線與 x 軸所圍成的三角形的面積是 ___________. 14. 若 )0)(4s i n()4s i n()( ????? abxbxaxf ??是偶函數(shù) , 則有序?qū)崝?shù)對 ),( ba 可以 是 __________.(注 : 寫出你認為正確的一組數(shù)字即可 ) 15. 如圖 2, ABOM// , 點 P 在由射線 OM , 線段 OB及 AB 的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi) (不含邊界 )運動 , 且OByOAxOP ?? ,則 x 的取值范圍是 __________。 當 21??x 時 , y 的取值范圍是__________. 19．（本小 題滿分 14 分） 已知函數(shù) xxxf sin)( ?? , 數(shù)列 }{na 滿足 : 10 1 ??a , an+1=f(an)， ?,3,2,1?n 證明： (Ⅰ ) 10 1 ??? ? nn aa 。 (Ⅱ ) 31 61 nn aa ?? . 21．（本小題滿分 14 分） 已知橢圓 134: 221 ?? yxC, 拋物線 )0(2)(: 22 ??? ppxmyC , 且 21,CC 的公共弦 AB過橢圓 1C 的右焦點 . (Ⅰ ) 當 軸時xAB ? , 求 pm, 的值 , 并判斷 拋物線 2C 的焦點是否在直線 AB 上 。 圖 2OABPM(Ⅱ ) 是否存在 pm, 的值 , 使 拋物線 2C 的焦點恰在直線 AB 上 ? 若存在 , 求出符合條件的pm, 的值 。 若不存在 , 請說明理由 . ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 11. 2? ； ； ； 14.(1， 1? ) ； 15.( ,0?? ) , 13( , )22 ； 19.（本小題滿分 14 分） 已知函數(shù) ( ) sinf x x x?? ，數(shù)列 ??na 滿足： 101a??， 1 ( ), 1, 2 , 3nna f a n? ???? 證明：（ Ⅰ） 101nnaa?? ? ? （Ⅱ） 31 16nnaa? ? 證明 （Ⅰ）先用數(shù)學歸納法證明 0 1, 1, 2, 3,nan? ? ? ?? 當 1n? 時，由已知，結論成立。 （ iii）假設當 nk? 時結論成立，即 01na?? 因為 01x??時 39。( ) 1 cos 0f x x? ? ?， 所以 ()fx在（ 0， 1）上是增函數(shù)，又 ()fx在 [0， 1]上連續(xù)， 從而 1(0) ( ) (1)f f a f??，即 10 1 si n 1 1na ?? ? ? ?， 故當 1nk??時，結論成立 由（ i）、（ ii）可知， 01na??對一切正整數(shù)都成立 又因為 01na??時， 1 si n si n 0n n n n na a a a a? ? ? ? ? ? ? 所以 1nnaa? ? ，綜上所述 101nnaa?? ? ? （Ⅱ）設函數(shù) 31( ) s in , 0 16g x x x x x? ? ? ? 由（Ⅰ）知，當 01x??時， sinxx? 從而 2 2 22239。( ) c o s 1 2 s in 2 ( ) 02 2 2 2 2x x x x xg x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 ()gx 在（ 0， 1）上是增函數(shù)，又 ()gx 在 [0， 1]上連續(xù)，且 (0) 0g ? ， 所以當 01x??時， ( ) 0gx? 成立。于是 ( ) 0nga? ，即 31si n 06n n na a a? ? ?， 故 31 16nnaa? ? 21 解： (I)當 AB? x 軸時，點 A、 B 關于 x 軸對稱，所以 m＝ 0，直線 AB 的方程 x＝ 1，從而點 A 的坐標為（ 1， 32 ）或（ 1， 32? ）。 因為點 A 在拋物線上，所以 9 24 p? ，即 98p? 。此時 C2 的焦點坐標為 9( ,0)16 ，該焦點不在直線 AB 上。 （ II）解法一 假設存在 m、 p 的值使 C2的焦點恰在直線 AB 上，由 (I)知道直線 AB 的斜率存在，故可設直線 AB 的方程為 ( 1)y k x??。 由 22( 1)143y k xxy????? ????消去 y 得 2 2 2 2( 3 4 ) 8 4 12 0k x k x k? ? ? ? ?...........................① 設 A、 B 的坐標分別為 1 1 2 2( , ) ( , )x y x y、 ， 則 x x2 是方程 ① 的兩根， 212 2834kxx k???， 由 2( ) 2( 1)y m pxy k x? ??? ???消去 y 得 （ kx－ k－ m） 2＝ 2px ..........................② 因為 C2 的焦點 39。( , )2pFm在 ( 1)y k x??上， 所以 ( 1),2pmk??即 2kpmk?? 。代入 ② 有 2( ) 22kpkx px?? 。 即 222 2 2( 2 ) 04kpk x p k x? ? ? ?。 ..........................③ 由 x1， x2 也是方程 ③ 的兩根， 所以 212 2( 2)pkxx k ???。 從而 228 ( 2)34k p kkk??? ， 4228(4 3)( 2 )kp kk? ??。 ..........................④ 又 AB 過 C1,C2 的焦點。 所以1 2 1 2 1 211( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )2 2 2 2ppA B x x x x p x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 則 2212 223 1 2 4 1 24 ( ) 42 2 4 3 4 3kkp x x kk ?? ? ? ? ? ???。 ..........................⑤ 由 ④ ， ⑤ 得 422 2 28 4 1 2( 4 3 ) ( 2 ) 4 3kkk k k ??? ? ?。 即 425 6 0kk? ? ? 。解得 k2＝ 6。 于是 6k?? , 43p? 。 因為 C2 得焦點 239。( , )3Fm在直線 6( 1)yx?? ? 上，所以 26( 1)3m ?? ? 。即 63m? 或63m?? 。 由上知，滿足條件得 m、 p 存在，且 63m? 或 63m?? ， 43p? 解法二 設 A、 B 得坐標分別為（ x1,y1） ,(x2,y2) 因為 AB 即過 C1 得右焦點 F（ 1， 0），又過 C2 得焦點 39。( , )2PFm。 所以1 2 1 2 1 211( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )2 2 2 2ppA B x x x x p x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 即12 2 (4 )3x x p? ? ?。 ..........................① 由（ I）知 12xx? ， 2p? ，于是直線 AB 的斜率21212212yy m o mk px x p? ?? ? ????。 ......② 且直線 AB 的方程是 2 ( 1)2myxp???。 所以1 2 1 22 4 (1 )( 2 )2 3 ( 2 )m m py y x xpp ?? ? ? ? ???。 ..........................③ 又因為 2211223 4 123 4 12xyxy? ???????? ，所以 211 2 1 2 213 ( ) 4 ( ) 0yyx x y y xx?? ? ? ? ??。 ..........................④ 將 ① ， ② ， ③ 代入 ④ 得 22 3 ( 4 )( 2 )1 6 (1 )ppm p??? ?。 ..........................⑤ 因為2283 4 12Pxy???? ??? ， 所以 2112 2122 xxy y m p yy?? ? ? ?。 ..........................⑥ 將 ② 、 ③ 代入 ⑥ 得 22 3 ( 2)16 10ppm p?? ?。 ..........................⑦ 由 ⑤ 、 ⑦ 得 233 ( 4 ) ( 2 ) 3 ( 2 )1 6 (1 ) 1 6 1 0p p p ppp? ? ????，即 23 20 32 0pp? ? ?。 解得 43P? 或 8P?? （舍去）。 將 43P? 代入 ○ 5 得 2 23m? ，所以 63m? 或 63m?? 。 由上知，滿足條件的 m 、 p 存在，且 63m? 或 63m?? ， 43P? 2022 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷） 一、選擇題：本大題共 10 小題，每小 題 5 分，共 50 分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．復數(shù) 22i1+i??????等于（ ） A． 4i B． 4i? C． 2i D． 2i? 2．不等式 2 01xx?? ≤ 的解集是（ ） A． ( 1) ( 1 2]?? ? ?， ， B． [ 12]?， C． ( 1) [2 )?? ? ? ?， ， D． ( 12]?， 3．設 MN， 是兩個集合，則“ MN?? ”是“ MN?? ”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條 件 4．設 ， ab是非