【正文】 是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列? ??? ?limn xn 1 14 分 23.（本小題滿分 14 分） 已知數(shù)列 ??na 的各項(xiàng)均為正數(shù)， nS 為其前 n 項(xiàng)和，對于任意 *nN? ， 滿足關(guān)系 2 ?? 21 （Ⅰ）求證：數(shù)列 ??na 是等比數(shù)列； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列 ??nb 的前 n項(xiàng)和為 Tn，且22 )(log 1 nn ab ?， 求證：對任意正整數(shù) n，總有 。 （ I）求 x1 的值； （ II）求 xn與 xn?1 滿足的關(guān)系式； （ III）求 limn xn→ ?的值。 2n+1 =3 2n－ 3n 22+3 2n+1 ∴－ Sn=3 23+? +3(n－ 1) 2n??????????（ 5 分） ∴ 2Sn=3 23+? +3(n－ 1) 21+6 14 分 19. 已知函數(shù) f (x) =a1 (3 x－ b)的圖象過點(diǎn) A（ 1， 2）和 B（ 2， 5） . (1) 求函數(shù) f (x)的反函數(shù) f –1 (x)的解析式； (2) 記 a n = )(f13 n , (n∈ N*), 試 證明 (1 +1a1 )(1 +2a1 )? (1 +na1 )≥ 332 12 ?n 對一切 n∈ N*均成立 . 17 解 : (1) 依題意 2a = 3－ b 且 5a = 9－ b, 解得 a = 2, b =－ 1, f (x) =21 (3 x + 1) ???? (2 分 ) 3 x = 2y－ 1, 得 x = log 3 (2y－ 1), ∴ f –1(x) = log 3 (2x－ 1)(x 21 ). ????? (6 分 ) (2) b n = )12(log33 ?n = 2n－ 1, (i) 當(dāng) n = 1 時(shí) , 左 = 2, 右 = 2, 不等式成立 . ?????? (8 分 ) (ii) 設(shè) n = k 時(shí) , 不等式 (1 +1a1 )(1 +2a1 )? (1 +ka1 )≥ 332 12 ?k 成立 , 則 n = k + 1 時(shí) (1 +1a1 )(1 +2a1 )? (1 +ka1 )(1 +1ka1?)≥ 332 12 ?k (1 + 121?k ) = 332 12 ?k 12 22 ??kk = 332 12 ?k 323 3212 )32)(12(123 3212 )22( 2 ??? ?????? kk kkkkk . ? (13 分 ) 即 n = k + 1 時(shí) , 不等式也成立 . 綜合 (i) (ii)知不等式對任意 n∈ N*均成立 . ??????? (14 分 ) 20.（本題滿分 16 分，第 1 小題 5 分，第 2 小題 6 分，第 3 小題 5 分） 設(shè)不等式組?????x＞ 0y＞ 0y≤－ nx＋ 3n所表示的平面區(qū)域?yàn)?Dn，記 Dn 內(nèi)的格點(diǎn)（格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）個(gè)數(shù)為 f (n)(n∈ N*)． ⑴求 f (1)、 f (2)的值及 f (n)的表達(dá)式； ⑵記 Tn＝ f (n)f (n＋ 1)2n ，若對于一切正整數(shù) n，總有 Tn≤ m 成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍； ⑶設(shè) Sn為數(shù)列 {bn}的前 n 項(xiàng)和，其中 bn＝ 2f (n)，問是否存在正整數(shù) n， t，使 Sn－ tbnSn＋ 1－ tbn＋ 1＜ 116成立？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù) n， t；若不存在，說明理由． 解 :⑴ f (1)＝ 3， f (2)＝ 6 ????????? ????? （ 2 分 ） 當(dāng) x＝ 1 時(shí)， y＝ 2n，可取格點(diǎn) 2n 個(gè)；當(dāng) x＝ 2 時(shí)， y＝ n，可取格點(diǎn) n 個(gè)．∴ f (n)＝ 3n（ 5 分） ⑵ Tn＝ f (n)f (n＋ 1)2n ＝ 3n(3n＋ 3)2n ，∵ Tn＋ 1Tn＝(3n＋ 3)(3n＋ 6)2n＋ 13n(3n＋ 3)2n＝ n＋ 22n ???? （ 7 分） 當(dāng) n＝ 1 時(shí)， n＋ 22n ＞ 1，當(dāng) n＝ 2 時(shí)， n＋ 22n ＝ 1，當(dāng) n≥ 3 時(shí)， n＋ 22n ＜ 1 18 ∴ T1＜ T2＝ T3＞ T4＞ ? ＞ Tn 故 Tn 的最大值是 T2＝ T3＝ 272 ???? （ 10 分） ∴ m≥ 272 ?????????????????????????? （ 11 分） ⑶ bn＝ 8n， Sn＝ 87（ 8n－ 1） ?????????????????? （ 12 分） Sn－ tbnSn＋ 1－ tbn＋ 1＝8n＋ 1－ 8－ 7t 8n8n＋ 2－ 8－ 7t 8n＋ 1＜116， 即8n＋ 1－ 15－ 7t 8n8n＋ 1－ 1－ 7t 8n ＜ 0 ∵ 8n＋ 1－ 15－ 7t 8n＜ 8n＋ 1－ 1－ 7t 8n ∴ 8n＋ 1－ 15－ 7t 8n＜ 0 且 8n＋ 1－ 1－ 7t 8n＞ 0 故 8n＋ 1－ 157 8n ＜ t＜8n＋ 1－ 17 8n （ *） ?????????????????（ 13 分） 由 n≥ 1，∵ 8n＋ 1－ 17 8n ＝ 1＋8n－ 17 8n∈（ 1， 2） 當(dāng) n≥ 2 時(shí)， 8n＋ 1－ 157 8n ＝ 1＋8n－ 157 8n ∈（ 1， 2），不存在滿足 （ *）式的正整數(shù) t 當(dāng) n＝ 1 時(shí)， 8n＋ 1－ 157 8n ＝4956，當(dāng) t＝ 1 時(shí) （ *）式成立 綜上，存在滿足條件的正整數(shù)： n＝ 1， t＝ 1 ????????????? （ 16 分） 21．（本小題滿分 12 分）德州 設(shè)不等式組??????????nnxyyx300 所表示的平面區(qū)域?yàn)?Dn，記 Dn內(nèi)的格點(diǎn)（格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為 整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為 f(n)(n∈ N*). （ 1）求 f(1)、 f(2)的值及 f(n)的表達(dá)式； （ 2）設(shè) bn=2nf(n)， Sn為 {bn}的前 n 項(xiàng)和，求 Sn； （ 3）記nn nfnfT 2 )1()( ??，若對于一切正整數(shù) n，總有 Tn≤ m 成立，求實(shí)數(shù) m 的取值 范圍 . 解 :（ 1） f(1)=3??????????????????????????????（ 1 分） f(2)=6??????????????????????????????（ 2 分） 當(dāng) x=1 時(shí)， y=2n，可取格點(diǎn) 2n 個(gè)；當(dāng) x=2 時(shí) ,y=n，可取格點(diǎn) n 個(gè) ∴ f(n)=3n????????????????????????????（ 4 分） （ 2）由題意知 :bn=3n 解：（Ⅰ）令 0 , 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 0)y x f f f? ? ? ? ? ?得 ∵ 0)1( ?f 1)0( ??f ； 2分 (Ⅱ ) 又∵ 0 , ( ) 0,x f x??時(shí) ∴當(dāng) 0,x?時(shí) 由 ( ) ( ) ( )f x x f x f x? ? ?＝ 1得 1( ) 0,()fx fx??? 故對于 0)(, ?? xfRx ； 設(shè) ,21 xx ? 則 120,xx??由已知得 12( ) 1,f x x?? ∴ 1 1 2 2 1 2 2 2( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( )f x f x x x f x x f x f x? ? ? ? ? ? 16 ∴函數(shù) )(xf 在 R上是單調(diào)遞增函數(shù)； ∴函數(shù) )(xf 在 ( ,0]?? 上存在最大值， 1)0()( m ax ?? fxf ； 6分 (Ⅲ ) 由22111( ) , ( )( 3 2 )nnnnf a a n Nf a a???? ? ???得 2211( ) ( 3 2 ) ( 0 ) ,n n n nf a a f a a f??? ? ? ? 即 2211( 3 2 ) ( 0 ) , ( )n n n nf a a a a f n N ???? ? ? ? ? ? ∵函數(shù) )(xf 是 R上單調(diào)函數(shù) . ∴ 2211 3 2 0n n n na a a a??? ? ? ? ? 2211 3 2 0n n n na a a a??? ? ? ? ? ? 2 1 1 1 1( 2 ) ( 1 ) 0 ( 2 ) ( 1 ) 0n n n n n n n na a a a a a a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； ∵數(shù)列 ??na 各項(xiàng)都是正數(shù)，∴ 1 20nnaa? ? ? ? ，∴ 1 1nnaa? ??()nN?? ， ∴數(shù)列 ??na 是首項(xiàng) 1 (0) 1af??，公差為 1 的等差數(shù)列，所以 nan? ；（ 10 分） 11 1 1 1( 1 ) 1nna a n n n n? ? ? ??? ∴1 2 2 3 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( ) ( ) ( ) 12 2 3 3 4 1 1nnnT a a a a a a n n n?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 而 212 1 1 1( ) ( )2 2 2 nnnS b b b? ? ? ? ? ? ? ?11(1 )122 11 212nn?? ? ?? ； 12分 21 1 2 ( 1 )( 1 ) ( 1 )2 1 2 ( 1 )nn nn nST nn ??? ? ? ? ? ???， 要比較 nS 與 nT 的大小，故只要比較 2n 與 ( 1)n? 的大小。 但第①種方案只需 6年，而第②種方案需 10年，故選擇第①方案 . ???? 1239。 ② .128)10(2)( 2 ???? nnf 當(dāng) n=10時(shí)， 128)( max ?nf . 故第②種方案共獲利 128+16=144（萬美元），?? 1039。 解得 N??? nn 知從第三年開始獲利 ???? 639。 1 1 1 1 1, 2 2 , 22 nna S a a aa ? ? ? ??? 　 　 即 ＝ ， 　 　 　 　　 11, ) 2 0n n n nP b b b b?? ??點(diǎn) （ 在 直 線 xy+2=0 上 ， ＋ ＝ ? ?112 , 1 2 1n n n nb b b b b n?? ? ? ? ? ?即 數(shù) 列 是 等 差 數(shù) 列 ， 又 ＝ ， （ II） (2 1)2 ,nn?＝ 231 1 2 2 1 2 3 2 5 2 ( 2 1 ) 2 ,nn n nT a b a b a b n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?＝ 2 3 1 12 1 2 3 2 ( 2 3 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 3 ) 2 6n n nnnT n n T n??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 111116 7, 2 3 ) 2 6 16 7, ( 2 3 ) 2 16 14 ( 2 3 ) 2 16 0 5 ( 2 3 ) 2 44 816 7 4nnnnnnT n nn n n nn????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??即 ： （ 于 是當(dāng) 時(shí) ， ＝ ， 當(dāng) 時(shí) ， ＝ ，故 滿 足 條 件 T 的 最 大 正 整 數(shù) 為 72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費(fèi) 12 萬美元，以后每年增加 4 萬美元，每年銷售蔬菜收入 50 萬美元 .設(shè) )(nf 表示前 n 年的純收入（ )(nf =前 n 年的總收入－前 n前的總支出－投資額） （ 1）從第幾年開始獲取純利潤？ （ 2）若干年后，外商為開發(fā)新項(xiàng)目，有兩種處理方案：① 年平均利潤 ． ． ． ． ． 最大時(shí)以 48 萬美元出售該廠；② 純利潤總和 ． ． ． ． ． 最大時(shí)，以 16萬美元出售該廠，問哪種方案最合算？ 13 解：由題意知，每年的經(jīng)費(fèi)是以 12 為首項(xiàng)， 4 為公差的等差數(shù)列，設(shè)純利潤與年數(shù)的關(guān)系為7240272]42 )1(12[50)(),( 2 ?????????? nnnnnnnfnf 則 ?? 239。,0,0221。 解：解：（Ⅰ）因?yàn)?}{na 是等比數(shù)列， .0,0,0 11 ???? qSaS n 可得 當(dāng) 。1 ,311n 時(shí)當(dāng)時(shí)nn nna n ,2時(shí)當(dāng) ?? n 12 321 ???? nnaann ， )12)(12(1)12)(12(3315173327212521232122