【正文】 分析 對于前提與結(jié)論都比較簡單的推理，最好直接判推理的形式結(jié)構(gòu)是否為重言式，來判斷推理是否正確，若能觀察出一個成假賦值，立刻可知，推理不正確。p→ 172。q. 所以，推理正確。q. 可以用多種方法證明上面公式為重言式，其實，它滿足拒取式推理定律，即 (p→ q)∧ 172。 （ 3）推理的形式結(jié)構(gòu)為 (p→ q)∧ 172。 （ 1）推理的形式結(jié)構(gòu)為 (p→ q)∧ p→ q. 可以用多種方法判斷上公式為重言式，其實，本推理滿足假言推理定律，即 (p→ q)∧ p? q. 所以，推理正確。r? 1. 于是，必有 P 為真， q 與 r 為假，即礦樣為鐵。p∧ q∧ r? 0,因而必有 p∧ 172。q∧ 172。r) ? 0∨ 0 ? 0. 設(shè) F? (一人全對 )∧ (一人對一半 )∧ (一人全錯 ) 則 F 為真命題，并且 F? F1∨ F2∨ F3∨ F4∨ F5∨ F6 ? (172。p ∧ r∧ 172。r) 19 ? (p∧ q∧ 172。p∧ r)∧ ((p∧ r)∨ (172。r ∨ (p∧ q∧ p∧ r∧ p∧ 172。p∧ 172。r)∨ (p∧ r))∧ (p∧ 172。r. F5? (甲會錯 )∧ (乙對一半 )∧ (丙全對 ) ? (p∧ q)∧ ((172。r) ? p∧ 172。r) ? 0∨ (p∧ 172。q∧ p∧ 172。r∧ p∧ 172。p∧ q172。r)∧ (p∧ 172。p∧ q)∨ (p∧ 172。p∧ q∧ r)∨ 0 ? 172。p∧ r∧ 172。p∧ r ∨ (p∧ 172。p∧ q∧ 172。p∧ 172。q))∧ (172。r) ? 0∨ 0? 0 F3? (甲對一半 )∧ (乙全對 )∧ (丙全錯 ) ? ((172。q ∧ p∧ r∧ 172。r∧ p∧ r) ∨ (172。p∧ 172。p∧ 172。q)∧ (p∧ 172。p∧ r) ? 0∨ 0? 0. F2? (甲全對 )∧ (乙全錯 )∧ (丙對一半 ) ? (172。p∧ 172。r∧ 172。q∧ 172。p∧ r)? (172。p∧ 172。p∧ 172。A ↑ 172。A∧ 172。(A∨ B)? 172。B? (A↓ A)↓ (B↓ B)或 A∨ B? 172。B) ? 172。(172。172。(A↓ B) ? (A↓ B)↓ (A↓ B)使用德172。(A∧ B)? 172。(A∨ A)? A↓ A∧ B? 172。(A∧ A)? A↑ A, 17 或 172。,∧ ,∨ }中的公式 . (2) 使用 172。(p↓ q)↓ 172。(p↓ q)∨ 172。((p↓ q)∧ r ? 172。(p∨ q)∧ r ? (p↓ q)∧ r ? 172。p∧ 172。q) ? p↓ 172。p∧ q) ? 172。172。r∨ r) ? (172。p∧ q∧ r) ? (172。p∧ q∧ 172。(p↓ q) ? 172。172。r∨ r) ? (p∧ 172。q)∧ (172。q∧ r))∨ (p∧ q∧ 172。q∧ 172。 設(shè) r:C 輸入 。q ? m0. 由于 p↑ q 與 p↓ q 的主析取范式不同 .因而它們不等值 ,即 p↑ q? p↓ q. 設(shè) p:A 輸入 。(p∧ q) ? 172。p∧ q)∨ (p∨ 172。p∧ 172。p)∨ (p∧ 172。p∧ q))∨ ((172。p∧ 172。p∨ p)∧ 172。p∧ (172。p∨ 172。q∧ r)∨ (p∧ q∧ r) ? m1∨ m31∨ m5∨ m7 p→ (q→ r)? m0∨ m1∨ m2∨ m3∨ m4∨ m5∨ m7 類似地 ,可求出 q→ (p→ r)主的析取范式也為上式 ,由于公式的主析取范式的唯一性 ,可知 , (p→ (q→ r))? (q→ (p→ r)). (2) ① p↑ q ? 172。p∧ 172。p∧ 172。p∨ p)∧ (172。r)∨ (p∧ 172。p∧ 172。p∧ 172。q∧ 172。r∨ r) ? (172。p∨ p)∧ 172。q∧ r) ? m0∨ m1∨ m2∨ m3 172。r)∨ (172。q∧ r) ∨ (172。q∧ r)∨ (172。r∨ r) ? (172。p∧ (172。q,r 派生的極小項 .注意 ,本公式中含 3 個命題變項 ,所以 ,極小項長度為 3. 14 172。q∨ r). 由于演算過程較長 ,可以分別先求出由 172。q∨ r) ? 172。 A的主析取范式中極小項角標(biāo)的二進(jìn)制表示即為 A的成真賦值 .在 (1)中 ,由于主析取范式中的極小項角標(biāo)分別為 0,1,2,7,它們的二進(jìn)制表示分別為 000,001,010,111,所以 ,A 的成真賦值為以上各值 .類似地 ,A 的主合取范式中所含極大項角標(biāo)的二進(jìn)制表示 ,即為 A 的成假賦值 . (1) 首先求 p→ (q→ r)的主析取范式 . p→ (q→ r) ? 172。q∧ q)∧ r ? p∧ 0∧ r ? 0. 所以 ,C 的主析取范式為 0. C 的主合取范式為 M0∧ M1∧ M2∧ M3 C 的成假賦值為 00,01,10,11 C 無成真賦值 ,C 為矛盾式 . 分析 1176。(p→ q)∧ q∧ r ? (p∧ 172。q)∨ p∧ (p∧ 172。q∧ p) ? (172。p∨ q)∧ 172。q∧ p ? 172。p∨ 172。(p∨ q)∨ (172。q∧ p) ? (p∨ q)→ (172。172。p→ q)→ (172。p∧ q∧ 172。p∧ q∧ r)∧ 172。q∧ (172。r)∨ (p∧ q∧ r) A? (172。q)∨ (172。r)∨ (p∧ q∧ r) A? (172。p∧ (172。B) ? B (雙重否定律 ) 所以 A? B (1) 設(shè) (1)中公式為 A. A? (p∨ (q∧ r))→ (p∧ q∧ r) A? 172。B (172。A (雙重否定律 ) ? 172。B,則 A? : A? 172。 表 11 p q A B C AVC BVC 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 (2) 對 C 是否為重言式進(jìn)行討論 : 若 C 為重言式 ,則 A∧ C? A,C? B,于是 A? A∧ C? B∧ C? B. 因而有 A? B 當(dāng) C 不是重言式時 ,請讀者舉反例說明 , A∧ C? B∧ C 時 , 不一定有 A? B. (3) 若 172。 （ 1）對 C 是否為矛盾式進(jìn)行討論。,∨ }中公式 ) D=(q↑ q)↑ (q↑ q). ({↑ }中公式 ) E=(q↓ q)↓ (q↓ q). ({↓ }中公式 ) 則 G? A? B? C? D? E,對于同一個真值函數(shù) G，找到與它等值的形式各異的公式。,→ }中公式 ) B=q∧ q. ({172。例如，取 A=172。 3176。p∧ q)∨ (p∧ q) ? (172。 開始找一個與某真值函數(shù)等值的公式的方法，除觀察法外，就是根據(jù) 10 該真值函數(shù)的真值表，求它的主析取范式，而后進(jìn)行等值演算即可。p∨ q) ? 172。(A∨ A)? A↓ A. C=172。,∨ ,用↓取代，在演算中注意，對于任意的公式 A 172。(p∧ (q↑ q)) ? 172。q ? p∧ (q↑ q) ? 172。A ? 172。再對 B 進(jìn)行演算，消去 172。p∨ q)記為 C. 則 C 為 {172。(p→ q) ? 172。再對 A 進(jìn)行等值演算，消去→，用 172。q 記為 B. 則 B 為 {172。(172?！娜〈?，得 9 A=172。進(jìn)行以下演算，就可以找到 F 等值的其他聯(lián)結(jié)詞集中的公式。(p→ q)是 {172。 只要找到一個聯(lián)結(jié)詞集中與 F 等值的公式，經(jīng) 過等值演算就可以找出其他聯(lián)結(jié)詞集中與 F 等值的公式。p∨ q)，易知 C 是 {172。,∧ }中公式且與 F 等值，即 F? B. （ 3）設(shè) C=172。,→ }中公式且與 F 等值，即 F? A. （ 2）設(shè) B=p∧ 172。 （ 1）設(shè) A=172。給出的 5 個聯(lián)結(jié)詞集都是全功能集，可以用觀察法或等值演算法尋找與真值函數(shù)等值的公式。q. （交換律） 由最后一步容易觀察到， 11 為該公式成假賦值，因而它不是重言式，又 00， 01， 10 為成真賦值，因而它不是矛盾式，它是非重言式的可滿足式。p （吸收律） ? 172。摩根律） ? 172。q∨ 172。p) （蘊含等值式） ? (172。(p∨ q)∨ (172。q∨ 172。p→ q)→ (q→ 172。(p∧ q)∨ p) （蘊含等值式） 由于較高層次等價號兩邊的公式相同，因而此公式無成假賦值，所以，它為重言式。 （ 2） ((p→ q)∧ (q→ p))→ (p?q) ? 172。p （結(jié)合律、交換律） ? (p∧ 172。(p∧ q)∨ p) （德(p∧ q)∨ p （蘊含等值式） ? 172。((p∧ q)→ p) ? 172。(p?q). 讀者填上每步所用的基本的等值式。q∨ p)∧ 1 ? 172。q∨ q))? 172。p∨ q)∧ (172。((172。p∨ 172。(p∧ q)) ? 172。(p∨ q)∨ 172。(p∧ q) ? 172。172。本題也可以從右邊開始演算 (p∨ q)∧ 172。q)∨ (p∧ q)) ? (p∨ q)∧ 172。((172。p∧ )∨ (q∧ 172。((172。p∨ q)∨ (172。(p?q) 7 ? ((p→ q)∧ (q→ p)) ? 172。p∨ q)∧ (172。q) （分配律） ? p∧ 1 （排中律） ? p. （同一律） （ 2）從右邊開始演算 p→ (q∧ r) ? 172。 （ 1）從左邊開始演算 (p∧ q)∨ (p∧ 172。 用主合取范 式判斷公式的類型也是萬能的。 A 為重言式當(dāng)且僅當(dāng) A 的主析取范式含 2n（ n 為 A 中所含命題變項的個數(shù)）個極小項； A 為矛盾式當(dāng)且僅當(dāng) A 的主析取范式中不含任何極小項，記它的主析取范式為 0； A 為非重言式的可滿足式當(dāng)且僅當(dāng) A 的主析取范式中含極小項，但不是完全的。 由此可知，無論 p 取 0 或 1 值，只要 q 取 0 值，原公式取值為 1，即 00 或 10 都為原公式的成真賦值，而 01， 11 為成假賦值，于是公式為非重言式的可滿足式。q （零律） 6 ? 172。q∨ 0) （蘊含等值式） ? (1∨ q)∧ 172。p)?q ? 0?q （矛盾律） ? (p→ q)∧ (q→ 0) （等價等值式） ? (172。例如，對（ 6）用等值演算判斷它的類型。真值表法不易出錯，但當(dāng)命題變項較多時，真值表的行數(shù)較多。 分析 1 真值表法判斷公式的類別是萬能。q)