【正文】 ∴ AF=PM， BE=NQ， ∵ 在正方形 ABCD 中， AB=AD， ∠ BAE=∠ D=90176。 ∴∠ DAF+∠ BAF=90176。 DC=CB， ∵ E、 F 為 DC、 BC 中點(diǎn)， ∴ DE= DC， BF= BC， ∴ DE=BF， 在 △ ADE 和 △ ABF 中， ， ∴△ ADE≌△ ABF（ SAS）； （ 2）解：由題知 △ ABF、 △ ADE、 △ CEF 均為直角三角形， 且 AB=AD=4， DE=BF= 4=2， CE=CF= 4=2， ∴ S△ AEF=S 正方形 ABCD﹣ S△ ADE﹣ S△ ABF﹣ S△ CEF =4 4﹣ 4 2﹣ 4 2﹣ 2 2 =6． 【點(diǎn)評】本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的證明 ，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理，此題難度不大． 19．如圖 1，在正方形 ABCD 中， E、 F 分別是邊 AD、 DC 上的點(diǎn)，且 AF⊥ BE． （ 1）求證： AF=BE； （ 2）如圖 2，在正方形 ABCD 中， M、 N、 P、 Q 分別是邊 AB、 BC、 CD、 DA 上的點(diǎn)，且 MP⊥ NQ． MP與 NQ 是否相等？并說明理由． 第 30 頁（共 51 頁） 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】（ 1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得 AB=AD， ∠ BAE=∠ D=90176。 AB=BC， 第 28 頁（共 51 頁） 又 ∵∠ ABE+∠ FBC=∠ BCF+∠ FBC， ∴∠ ABE=∠ BCF， ∵ 在 △ ABE 和 △ BCF 中， ， ∴△ ABE≌△ BCF（ AAS）， ∴ AE=BF， ∴ AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16 為常數(shù)； （ 2）設(shè) AP=x，則 PD=4﹣ x， 由已知 ∠ DPM=∠ PAE=∠ ABP， ∴△ PDM∽△ BAP， ∴ = ， 即 = ， ∴ DM= =x﹣ x2， 當(dāng) x=2 時(shí)，即點(diǎn) P 是 AD 的中點(diǎn)時(shí)， DM 有最大值為 1． 【點(diǎn)評】本題主要考查正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知識(shí)，此題有一定的難度，是一道不錯(cuò)的中考試題． 18．如圖正方形 ABCD 的邊長為 4， E、 F 分別為 DC、 BC 中點(diǎn)． （ 1）求證： △ ADE≌△ ABF． （ 2）求 △ AEF 的面積． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 第 29 頁（共 51 頁） 【分析】（ 1）由四邊形 ABCD 為正方形，得到 AB=AD， ∠ B=∠ D=90176。 ∴ EF=AF=3， ∵△ EFC 的周長為 12， ∴ FC=12﹣ 3﹣ EC=9﹣ EC， 在 Rt△ EFC 中， EC2=EF2+FC2， ∴ EC2=9+（ 9﹣ EC） 2， 解得 EC=5． 故答案為： 5． 【點(diǎn)評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是找出線段的關(guān)系．運(yùn)用勾股定理列出方程． 三、解答題（共 15 小題） 16．如圖，在正方形 ABCD 中，點(diǎn) M 是對角線 BD 上的一點(diǎn)，過點(diǎn) M 作 ME∥ CD 交 BC 于點(diǎn) E，作 MF∥ BC 交 CD 于點(diǎn) F．求證： AM=EF． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】過 M 點(diǎn)作 MQ⊥ AD，垂足為 Q，作 MP 垂足 AB，垂足為 P，根據(jù)題干條件證明出 AP=MF， PM=ME，進(jìn)而證明 △ APM≌△ FME，即可證明出 AM=EF． 【解答】證明：過 M 點(diǎn)作 MQ⊥ AD，垂足為 Q，作 MP⊥ AB，垂足為 P， ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， 第 27 頁（共 51 頁） ∴ 四邊形 MFDQ 和四邊形 PBEM 是正方形，四邊形 APMQ 是矩形， ∴ AP=QM=DF=MF， PM=PB=ME， ∵ 在 △ APM 和 △ FME 中， ， ∴△ APM≌△ FME（ SAS）， ∴ AM=EF． 【點(diǎn)評】本題主要考查正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及矩形的性質(zhì)等知識(shí)，此題正確作出輔助線很易解答． 17．如圖， P 為正方形 ABCD 的邊 AD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， AE⊥ BP， CF⊥ BP，垂足分別為點(diǎn) E、 F，已知 AD=4． （ 1）試說明 AE2+CF2 的值是一個(gè)常數(shù)； （ 2）過點(diǎn) P 作 PM∥ FC 交 CD 于點(diǎn) M，點(diǎn) P 在何位置時(shí)線段 DM 最長，并求出此時(shí) DM 的值． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì) ；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（ 1）由已知 ∠ AEB=∠ BFC=90176。 又 ∵ EF⊥ AC， 第 26 頁（共 51 頁） ∴∠ AFE=90176。又因?yàn)?EF⊥ AC，得到 ∠ AFE=90176。 ∴△ ADE 是等腰直角三角形， ∴ AD=DE， ∴ 第二個(gè)正方形的邊長 CE=CD+DE=2AB， 第 24 頁（共 51 頁） …， 后一個(gè)正方 形的邊長等于前一個(gè)正方形的邊長的 2 倍， 所以，第 n 個(gè)正方形的邊長 =2n﹣ 1AB= a?2n﹣ 1． 故答案為： a?2n﹣ 1． 【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，判斷出后一個(gè)正方形的邊長等于前一個(gè)正方形的邊長的 2 倍是解題的關(guān)鍵． 14．如圖，正方形 ABCD 的邊長是 1，點(diǎn) M， N 分別在 BC， CD 上，使得 △ CMN 的周長為 2，則 △ MAN的面積最小值為 ﹣ 1 ． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】如圖，延長 CB 至 L，使 BL=DN，則 Rt△ ABL≌ Rt△ AND，故 AL=AN，進(jìn)而求證 △ AMN≌△AML，即可求得 ∠ MAN=∠ MAL=45176。﹣ 90176。 ∴∠ DAE=180176。 ∴ 直線 y=x 與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形， ∵ A（ 8， 4）， ∴ 第四個(gè)正方形的邊長為 8， 第三個(gè)正方形的邊長為 4， 第二個(gè)正方形的邊長為 2， 第一個(gè)正方形的邊長為 1， …， 第 n 個(gè)正方形的邊長為 2n﹣ 1， 由圖可知， S1= 1 1+ （ 1+2） 2﹣ （ 1+2） 2= ， S2= 4 4+ （ 4+8） 8﹣ （ 4+8） 8=8， …， Sn 為第 2n 與第 2n﹣ 1 個(gè)正方形中的陰影部分， 第 21 頁（共 51 頁） 第 2n 個(gè)正方形的邊長為 22n﹣ 1，第 2n﹣ 1 個(gè)正方形的邊長為 22n﹣ 2， Sn= ?22n﹣ 2?22n﹣ 2=24n﹣ 5． 故答案為： 24n﹣ 5． 【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，依次求出各正方形的邊長是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于求出陰影 Sn 所在的正方形和正方形的邊長． 11．如圖，點(diǎn) G 是正方形 ABCD 對角線 CA 的延長線上任意一點(diǎn)，以線段 AG 為邊作一個(gè)正方形 AEFG，線段 EB 和 GD 相交于點(diǎn) H．若 AB= ， AG=1，則 EB= ． 【考 點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】首先連接 BD 交 AC 于 O，由四邊形 ABCD、 AGFE 是正方形，即可得 AB=AD， AE=AG， ∠ DAB=∠ EAG，然后利用 SAS 即可證得 △ EAB≌△ GAD，則可得 EB=GD，然后在 Rt△ ODG 中，利用勾股定理即可求得 GD 的長，繼而可得 EB 的長． 【解答】解：連接 BD 交 AC 于 O， ∵ 四邊形 ABCD、 AGFE 是正方形， ∴ AB=AD， AE=AG， ∠ DAB=∠ EAG， ∴∠ EAB=∠ GAD， 在 △ AEB 和 △ AGD 中， 第 22 頁（共 51 頁） ， ∴△ EAB≌△ GAD（ SAS）， ∴ EB=GD， ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， AB= ， ∴ BD⊥ AC， AC=BD= AB=2， ∴∠ DOG=90176。 ∴∠ BAE=∠ ADF， 在 △ ABE 和 △ DAF 中， ， ∴△ ABE≌△ DAF（ AAS）， ∴ AF=BE， DF=AE， ∵ 正方形的邊長為 2， B（ ， ）， ∴ BE= ， AE= = ， ∴ OF=OE+AE+AF= + + =5， ∴ 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ ， 5）， 第 19 頁（共 51 頁） ∵ 頂點(diǎn) D 在反比例函數(shù) y= （ x＞ 0）的圖象上， ∴ k=xy= 5=8． 故選： C． 【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出點(diǎn) D 的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵． 9．如圖，將 n 個(gè)邊長都為 2 的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn) A1， A2， …An 分別是正方形的中心，則這 n 個(gè)正方形重疊部分的面積之和是（ ） A． n B． n﹣ 1 C．（ ） n﹣ 1 D． n 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】規(guī)律型． 【分析】根據(jù)題意可得，陰影部分的面積是正方形的面積的 ，已知兩個(gè)正方形可得到一個(gè)陰影部分，則n 個(gè)這樣的正方 形重疊部分即為（ n﹣ 1）個(gè)陰影部分的和． 【解答】解：由題意可得一個(gè)陰影部分面積等于正方形面積的 ，即是 4=1， 5 個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為： 1 4， n 個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為： 1 （ n﹣ 1） =n﹣ 1． 故選： B． 【點(diǎn)評】此題考查了正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到 n 個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和的計(jì)算方法，難點(diǎn)是求得一個(gè)陰影部分的面積． 第 20 頁（共 51 頁） 二、填空題（共 6 小題） 10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長不等的正方形依次排列，每個(gè)正方形都有一個(gè)頂點(diǎn)落 在函數(shù) y=x 的圖象上，從左向右第 3 個(gè)正方形中的一個(gè)頂點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 8， 4），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為 S S S …、 Sn，則 Sn 的值為 24n﹣ 5 ．（用含 n 的代數(shù)式表示， n 為正整數(shù)） 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征． 【專題】壓軸題；規(guī)律型． 【分析】根據(jù)直線解析式判斷出直線與 x 軸的夾角為 45176。 ∴∠ BAE+∠ DAF=90176。角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)． 第 18 頁（共 51 頁） 8．如圖，邊長為 2 的正方形 ABCD 的頂點(diǎn) A 在 y 軸上，頂點(diǎn) D 在反比例函數(shù) y= （ x＞ 0）的圖象上，已知點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 （ ， ），則 k 的值為（ ） A． 4 B． 6 C． 8 D． 10 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】數(shù)形結(jié)合． 【分析】過點(diǎn) B 作 BE⊥ y 軸于 E，過點(diǎn) D 作 DF⊥ y 軸于 F，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得 AB=AD， ∠ BAD=90176。 ∠ DCE=30176。 ∴ 四邊形 OMEN 是矩形， ∴∠ MON=90176。再求出 ∠ COM=∠ DON，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得 OC=OD，然后利用 “角角邊 ”證明 △ COM 和 △ DON 全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 OM=ON，然后判斷出四邊形 OMEN 是正方形，設(shè)正方形 ABCD 的邊長為 2a，根據(jù)直角三角形 30176。 ∠ DCE=30176。 2≠ 60176。 ∴∠ CGF≠ 180176。 △ CGF 不是等邊三角形， FG≠ FC，判斷 ②錯(cuò)誤；先求出 △CGE 的面積，再求出 EF： FG，然后根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊長的比求解即可得到 △ FGC 的面積，判斷 ③正確． 【解答】解： ∵ 正方形 ABCD 中， AB=3， CD=3DE， ∴ DE= 3=1， CE=3﹣ 1=2， ∵△ ADE 沿 AE 對折至 △ AFE， ∴ AD=AF， EF=DE=1， ∠ AFE=∠ D=90176。再利用 “HL”證明 Rt△ ABG 和 Rt△ AFG 全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 BG=FG，再設(shè) BG=FG=x，然后表示出EG、 CG，在 Rt△ CEG 中，利用勾股定理列出方程求出 x= ，從而可以判斷 ①正確；根據(jù) ∠ AGB 的正切值判斷 ∠ AGB≠ 60176。