【正文】 → ＝ 23i＋ 13k， ∴ MN ＝ ?? ??23， 0， 13 . 【反思感悟】 空間直角坐標(biāo)系的建立必須尋求三條兩兩垂直的直線．在空間體中不具備此條件時(shí)，建系后要注意坐標(biāo)軸與空間體中相關(guān)直線的夾角． 【跟蹤訓(xùn)練】 在直三棱柱 ABO— A1B1O1 中，∠ AOB= 2? ， |AO| = 4， |BO| = 2， |AA1| = 4， D 為 A1B1的中點(diǎn)，則在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求 1,DOAB 的坐標(biāo) . 解 ∵ 11( ) ,D O O D O O O D? ? ? ? ?。)2 A B A D A A?? ＝ 12a＋ b＋ 12c； (3) AN = 12(AC′→ ＋ AD′→ ) ＝ 12[( 39。)2 A B A D A A??＝ 12(a＋ b＋ c)； (2)AM→ ＝ 12(AC→ ＋ 39。OC→ ＝ a， AD→ ＝ b， AA′→ ＝ c， P 是 CA′ 的中點(diǎn) ， M是 CD′ 的中點(diǎn) ， N 是 C′ D′ 的中點(diǎn) ， 點(diǎn) Q 是 CA′ 上的點(diǎn) ， 且 CQ∶ QA′ ＝ 4∶ 1， 用基底 {a， b， c}表示以下向量 ： （ 1） AP ； (2)AM→ ； (3) AN ； (4)AQ→ . 解 連結(jié) AC、 AD′ . （ 1） AP = 1 ( 39。BA→ ＝ 0，也可能是 CA→ AC→ ＝ 0 D． 任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底 答案 B 解析 使用排除法 ． 因?yàn)榭臻g中的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)不共面的向量來表示，故 A 不正確；△ ABC 為直角三角形并不一定是 AB |?||AC ACAC AC= 85285 cos60176。＋ 35c＋ b(a＋ b) ＝ a2＋ 2aAC 85 ∴由余弦定理可得 cosθ＝ AC′2＋ AC2－ CC′ 22AC′ AC | ＝ 85. (2) 方法一 設(shè) 39。 39。 39。AA |2 + 2 (AB AC |2 = (AB +AD + 39。AC = AB + AD + 39。. (1)求 AC′的長 (如圖所示 )； (2) 求 39。 52 m＝ 1010 . 10． 已知在平行六面體 ABCD—A′ B′ C′ D′ 中 ， AB＝ 4， AD＝ 3， AA′ ＝ 5， ∠ BAD＝ 90176。c＋ 12a2＋ 12a(c＋ 12a) ＝ aa＝ 0. 又∵ 11AC ＝ A1B1→ ＋ B1C1→ ＝ AB ＋ AD→ ＝ a＋ b， DE ＝ DD1→ ＋ D1E→ ＝ DD1→ ＋ 12D1C1→ ＝ c＋ 12a. ∴ 11AC b＝ bn＝ 0，得 (a＋ b)＝ a2＋ b2＋ c2＋ ab. |CD |＝ a2＋ b2＋ c2＋ ab.＝ a2＋ b2＋ c2＋ ab. 8． 已知 |a|＝ 3 2， |b|＝ 4， m＝ a＋ b， n＝ a＋ λb，〈 a， b〉＝ 135176。AC→ － 2BD→ ,線段 AC⊥α ,如果 AB=a,BD=b,AC=c,則 | CD |為____________． 答案 a2＋ b2＋ c2＋ ab 解析 |CD |2＝ |AB ＋ BD→ － AC→ |2 ＝ AB 2＋ BD→ 2＋ AC→ 2＋ 2AB cos〈 a， b〉－ |a|2＝ 0， 所以 4 2cos〈 a， b〉－ 4＝ 0? cos〈 a， b〉＝ 22 ， 所以 a 與 b 的夾角為 45176。(2b－ a)＝ 0. 即 2ab＝ 0 是 l⊥ α的 ( ) A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 答案 B 二、填空題 6． 已知向量 a、 b 滿足條件 ： |a|＝ 2， |b|＝ 2， 且 a 與 2b－ a 互相垂直 ， 則 a 與 b 的夾角為 ________． 答案 45176。OC→ 0， 則該四邊形為 ( ) A． 平行四邊形 B． 梯形 C． 平面四邊形 D． 空間四邊形 答案 D 5． 已知 a、 b 是平面 α 內(nèi)的兩個(gè)不相等的非零向量 ， 非零向量 c 在直線 l 上 ， 則 cDA→ 0， DA→ BC→ 0， BC→ c，不一定有 b＝ c. 4． 已知四邊形 ABCD 滿足 ：－ *6]b＝ 0，不一定有 a＝ 0， b＝ 0. C 中當(dāng) |a|＝ |b|時(shí)， a2＝ b2，此時(shí)不一定有 a＝ b 或 a＝－ b. D 中當(dāng) a＝ 0 時(shí)， ab＝ a＋ 9＝ 13. 3． 對(duì)于向量 a、 b、 c 和實(shí)數(shù) λ， 下列命題中真命題是 ( ) A． 若 ab＋ 9b2＝ 1＋ 6b＝ |a||b|cos〈 a， b〉＝ |a||b| ? cos〈 a， b〉＝ 1? 〈 a， b〉＝ 0， 當(dāng) a 與 b 反向時(shí)，不能成立 ． 2． 已知 a， b 均為單位向量 ， 它們的夾角為 60176。a， 求解有關(guān)線段的長度問題 ． 課后作業(yè) 一、選擇題 1． 若 a， b 均為非零向量 ， 則 ab|a|b＝ |a|b＝ |a||b|cos〈 a， b〉， 這里 〈 a，b〉 表示空間兩向量所成的角 (0≤ 〈 a， b〉 ≤ π)． 空間向量的數(shù)量積具有平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì) ． 應(yīng)用數(shù)量積可以判斷空間兩直線的垂直問題 ， 可以求兩直線夾角問題和 線段長度問題 ． 即 (1)利用 a⊥ b? a (AB ＋ BO→ )＝ BC→ CB→ ＋ BC→ CB→ ＋ BC→ AC→ ＋ BC→ AC→ ＋ OB→ AB ＝ (OB +BC ) BC = 0， OB n＝ 0， 所以 ln. 因?yàn)?lg＝ xl| |?||AP ANAP AN＝ 22 ， 即異面直線 PA 與 MN 所成角為 45176。AP→ ＋ 12AP→ AB ＝ 0， ∴ MN⊥ AB. (3)解 設(shè) AP＝ a， 由 (2)得 MN ＝ 12AD ＋ 12AP→ AP . （ 2）證明 PC ＝ PD→ ＋ DC→ ， PN ＝ 12PC→ ＝ 12PD→ ＋ 12DC→ ＝ 12(AD→ － AP→ )＋ 12DC→ ， AN ＝ PN→ － PA→ ＝ PN→ ＋ AP→ ， ∴ AN ＝ 12AD ＋ 12AP→ ＋ 12DC→ ， MN ＝ AN→ － AM→ = 12AD ＋ 12AP→ ＋ 12DC→ － 12DC→ = 12AD ＋ 12AP→ ， ∵ AD⊥ AB， AP⊥ AB ∴ AD→ BC→|OA→ ||BC→ |. ＝ 24－ 16 28 5 ＝ 3－ 2 25 . 即 OA 與 BC 所成角的余弦值為 3－ 2 25 . 【反思感悟】 在異面直線上取兩個(gè)向量，則兩異面直線所成角的問題可轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角問題 ．需注意的是：轉(zhuǎn)化前后的兩個(gè)角的關(guān)系可能相等也可能互補(bǔ)． 【跟蹤訓(xùn)練】 在二面角 α－ l－ β 中 ， A， B∈ α， C， D∈ l， ABCD 為矩形 ， P∈ β， PA⊥ α， 且 PA＝ AD， M、N 依次是 AB、 PC 的中點(diǎn) ． (1)求二面角 α－ l－ β 的大小 ； (2)求證 ： MN⊥ AB； (3)求異面直線 PA 與 MN 所成角的大小 ． (1)解 ∵ PA⊥α， l? α ∴ PA⊥ l，又∵ AD⊥ l， PA∩ AD=A， ∴ l⊥平面 PAD，∴ l⊥ PD， 故∠ ADP 為二面角α lβ的平面角， 由 PA=AD 得∠ ADP=45176。 ? 8 6 cos120176。 AC ? OA 求OA 與 BC 所成角的余弦值 ． 解 . 因 BC AC AB??, 所以 OA (12b＋ a)＝－ 12|a|2＋ 14|b|2＝ 2. 知識(shí)點(diǎn)二 利用數(shù)量積求角 【例 2】 如圖 ， 在空間四邊形 OABC 中 ， OA＝ 8， AB＝ 6， AC＝ 4， BC＝ 5， ∠ OAC＝ 45176。 1FC = [12(c－ a)＋ 12b] 1AB = （ c ? a +12 b ） 1ED = bc＝ c 1FC . 解 如圖所示，設(shè) AB ＝ a， AD→ ＝ b， AA1→ ＝ c，則 |a|＝ |c|＝ 2， |b|＝ 4， a 1ED ； （ 2） BF 時(shí)，〈 AB ， CA→ 〉＝ 120176。 ? a2cos120176。 OA AB? OC = AB OC . . 解 由題意知 | AB | = |AC | = | AO | = a，且〈 AB ， AO 〉 = 120 AB ， CA 〉 = 120176。)24A D A B A D A A? ? ? ?= 1 1 3 39。24M N M B B N D B B C? ? ? ? = 13( ) ( 39。AA + BC +23 AB =12 239。AD + 39。EA + 39。,AB D C? 取 F為 D′ C′的一個(gè)三等分點(diǎn) (D′ F= 23 D′ C′ ),則 D′ F =23 AB ∴ 12 39。,BC A D? 39。2 AA EA? 又 39。M N AB AD AA? ? ?? ? ?,試求α ,β ,γ的值 . 解 (1)方法一 取 AA′的中點(diǎn)為 E,則 1 39。 (2) 11AB CC DD?? = 1 1 1 1 1 1AB BB AA AB AA A B? ? ? ? ? 圖中 1AC ， 11AB 為所求 . 課堂小結(jié) ： 1． 在掌握向量加減法的同時(shí) ， 應(yīng)首先掌握有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)向量的和或差 ， 如共線 、 共起點(diǎn) 、 共終點(diǎn)等 ． 2． 通過掌握相反向量 ， 理解兩個(gè)向量的減法可以轉(zhuǎn)化為加法 ． 3． 注意向量的三角形法則和平行四邊形法則的要點(diǎn) ． 對(duì)于向量加法運(yùn)用平行四邊形法則要求兩向量有共同起點(diǎn) ， 運(yùn)用三角形法則要求向量首尾順次相連 ． 對(duì)于向量減法要求兩向量有共同的起點(diǎn) ． 4． a－ b 表示的是由減數(shù) b 的終點(diǎn)指向被減數(shù) a 的終點(diǎn)的一條有向線段 ． 課后 作業(yè) 一、選擇題 1． 判斷下列各命題的真假 ： ①向量 AB 的長度與向量 BA→ 的長度與向量 BA→ 的長度相等 ； ② 向量 a 與 b 平行 ， 則 a 與 b 的方向相同或相反 ； ③ 兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量 ， 其終點(diǎn)必相同 ； ④ 兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量 ， 一定是共線向量 ； ⑤向量 AB 與向量 CD→ 是共線向量 ， 則點(diǎn) A、 B、 C、 D 必在同一條直線上 ； ⑥ 有向線段就是向量 ， 向量就是有向線段 ． 其中假命題的個(gè)數(shù)為 ( ) A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 答案 C 解析 ① 真命題； ② 假命題，若 a 與 b 中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是不確定的； ③ 真命題； ④ 假命題，終點(diǎn)相同并不能說明這兩個(gè)向量的方向相同或相反； ⑤ 假命題，共線向量所在直線可以重合，也可以平行； ⑥ 假命題，向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段 ． 2. 已知向量 AB ， AC→ ， AC→ ， BC→ 滿足 |AB→ | ＝ |AC→ |＋ |BC→ |， 則 ( ) A． AB ＝ AC→ ＋ BC→ B． AB ＝－ AC→ － BC→ C． AC→ 與 BC→ 同向 D． AC→ 與 CB→ 與 CB→ 同向 答案 D 解析 由 |AB | = |AC→ | + |BC→ | = |AC→ | + |CB→ |,知 C 點(diǎn)在線段 AB 上，否則與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾，所以 AC→ 與 CB→ 與 CB→ 同向 3. 在正方體 ABCDA1B1C1D1中，向量表達(dá)式 1DD AB BC?? 化簡后的結(jié)果是（ ） A .1BD B . 1DB C . 1BD D . 1DB 答案 A 解析 如圖所示， 因 1DD ＝ AA1→ ， DD1→ － AB→ ＝ AA1→ － AB→ ＝ 1BA ， 1BA ＋ BC→ ＝ BD1→ ， ∴ 1DD － AB→ ＋ BC→ ＝ BD1→ . 4． 空間四邊形 ABCD 中 ， 若 E、 F、 G、 H 分別為 AB、 BC、 CD、 DA 邊上的中點(diǎn) ， 則下列各式中成立的是 ( ) A . EB