【正文】 ? ? = 13( ) ( 39。 1FC . 解 如圖所示，設(shè) AB ＝ a， AD→ ＝ b， AA1→ ＝ c，則 |a|＝ |c|＝ 2， |b|＝ 4， a ? 8 6 cos120176。n＝ 0， 所以 lb＝ |a||b|cos〈 a， b〉， 這里 〈 a，b〉 表示空間兩向量所成的角 (0≤ 〈 a， b〉 ≤ π)． 空間向量的數(shù)量積具有平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì) ． 應(yīng)用數(shù)量積可以判斷空間兩直線的垂直問題 ， 可以求兩直線夾角問題和 線段長度問題 ． 即 (1)利用 a⊥ b? ab＝ 0，不一定有 a＝ 0， b＝ 0. C 中當(dāng) |a|＝ |b|時(shí)， a2＝ b2，此時(shí)不一定有 a＝ b 或 a＝－ b. D 中當(dāng) a＝ 0 時(shí)， a ,線段 AC⊥α ,如果 AB=a,BD=b,AC=c,則 | CD |為____________． 答案 a2＋ b2＋ c2＋ ab 解析 |CD |2＝ |AB ＋ BD→ － AC→ |2 ＝ AB 2＋ BD→ 2＋ AC→ 2＋ 2AB 52 m＝ 1010 . 10． 已知在平行六面體 ABCD—A′ B′ C′ D′ 中 ， AB＝ 4， AD＝ 3， AA′ ＝ 5， ∠ BAD＝ 90176。 ∴由余弦定理可得 cosθ＝ AC′2＋ AC2－ CC′ 22AC′ 答案 A 解析 當(dāng) OA→ 、 OB→ 、 OB→ 、 OC→ 不共面時(shí) ， PA→ ， PB→ ， PC→ 也不共面 ， PA→ ， PB→ ， PC→ 能構(gòu)成空間的一個(gè)基底 ，當(dāng) OA→ ， OB→ ， OC→ 共面時(shí) ， 則 PA→ ， PB→ ， PC→ 也共面 ， 故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底 ． 2. 設(shè) OABC 是四面體， G1 是△ ABC 的重心， G 是 OG1上的一點(diǎn)，且 OG=3GG1，若 OG ＝ xOA→ ＋yOB→ ＋ zOC→ ， 則 (x， y， z)為 ( ) A． (14， 14， 14) B． (34， 34， 34) C． (13， 13， 13) D． (23， 23， 23) 答案 A 解析 ， 因?yàn)?OG ＝ 34OG1→ ＝ 34(OA→ ＋ AG1→ )＝ 34OA→ ＋ 34 23[12(AB ＋ AC→ )]＝ 34OA→ ＋ 14[(OB→ － OA→ )＋ (OC→ － OA→ )]＝ 14OA→ ＋ 14OB→ ＋ 14OC→ ， 而 OG→ ＝ xOA→ ＋ yOB→ ＋ zOC→ ， 所以 x＝ 14， y＝ 14， z＝ A. 3． 在以下 3 個(gè)命題中 ， 真命題的個(gè)數(shù)是 ( ) ① 三個(gè)非零向量 a， b， c 不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底 ， 則 a， b， c 共面 ； ② 若兩個(gè)非零向量 a， b 與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底 ， 則 a， b 共線 ； ③ 若 a， b 是兩個(gè)不共線向量 ， 而 c＝ λa＋ μb(λ， μ∈ R 且 λμ≠ 0)， 則 {a， b， c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底 ． A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 答案 C 解析 命題 ① ， ② 是真命題，命題 ③ 是假命題 ． 4． 若 {a， b， c}是空間的一個(gè)基底 ， 則下列各組中不能構(gòu)成空間一個(gè)基底的是 ( ) A． a,2b,3c B． a＋ b， b＋ c， c＋ a C． a＋ 2b,2b＋ 3c,3a－ 9c D． a＋ b＋ c， b， c 答案 C 解析 － 3(a＋ 2b)＋ 3(2b＋ 3c)＋ (3a－ 9c)＝ 0. ∴ 3a－ 9c＝ 3(a＋ 2b)－ 3(2b＋ 3c) 即三向量 3a－ 9c， a＋ 2b,2b＋ 3c 共面 ∴ 選 C. 5． 已知點(diǎn) A 在基底 {a， b， c}下的坐標(biāo)為 (8,6,4)， 其中 a＝ i＋ j， b＝ j＋ k， c＝ k＋ i， 則點(diǎn) A 在基底 {i， j，k}下的坐標(biāo)是 ( ) A． (12,14,10) B． (10,12,14) C． (14,12,10) D． (4,3,2) 答案 A 解析 設(shè)點(diǎn) A 在 基底 {a， b， c}下對應(yīng)的向量為 p， 則 p＝ 8a＋ 6b＋ 4c＝ 8i＋ 8j＋ 6j＋ 6k＋ 4k＋ 4i ＝ 12i＋ 14j＋ 10k，故點(diǎn) A 在基底 {i， j， k}下的坐標(biāo)為 (12,14,10)． 二、填空題 6. 已知正方體 ABCD－ A1B1C1D1中，點(diǎn) O 為 AC1 與 BD1 的交點(diǎn)， AO ＝ xAB→ ＋ yBC→ ＋ zCC1→ ， 則 x＋ y＋ z＝ ________. 答案 32, 解析 AO ＝ 12AC1→ ＝ 12( AB ＋ BC→ ＋ CC1→ )． 7. 從空間一點(diǎn) P 引出三條射線 PA， PB， PC，在 PA， PB， PC 上分別取 PQ ＝ a， PR→ ＝ a， PR→ ＝ b， PS→ ＝ c， 點(diǎn) G 在 PQ 上 ， 且 PG＝ 2GQ， H 為 RS 的中點(diǎn) ， 則 GH→ ＝__________________. 答案 － 23a＋ 12(b＋ c) 8. 在長方體 ABCD—A1B1C1D1 中，下列關(guān)于 1AC 的表達(dá)式中 ： ① 1AA ＋ A1B1→ ＋ A1D1→ ； ② AB ＋ DD1→ ＋ D1C1→ ； ③ AD ＋ DD1→ ＋ D1C1→ ； ④11(2AB ＋ CD1→ )＋ A1C1→ 正確的個(gè)數(shù)是 ________個(gè) ． 答案 3 , 解析 AB ＋ DD1→ ＋ D1C1→ ＝ AB ＋ DC1→ ＝ AB ＋ AB1→ ≠ AC1→ ， ② 不正確； 11(2AB ＋ CD1→ )＋ A1C1→ ＝11(2AB ＋ 1BA )＋ A1C1→ = 1AA ＋ A1C1→ ＝ AC1→ . ④ 正確； ① ， ③ 明顯正確 ． 三、解答題 9． 已知 {e1， e2， e3}是空間的一個(gè)基底 ， 試問向量 a＝ 3e1＋ 2e2＋ e3， b＝－ e1＋ e2＋ 3e3， c＝ 2e1－ e2－ 4e3是否共面 ？ 并說明理由 ． 解 由共面向量定理可知，關(guān)鍵是能否找到三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù) x， y， z，使得 xa＋ yb＋ zc＝ 0，即 x(3e1＋ 2e2＋ e3)＋ y(－ e1＋ e2＋ 3e3)＋ z(2e1－ e2－ 4e3)＝ (3x－ y＋ 2z)e1＋ (2x＋ y－ z)e2＋ (x＋ 3y－ 4z)e3＝ 0. 由于 e1， e2， e3不共面， 故得????? 3x－ y＋ 2z＝ 0 ①2x＋ y－ z＝ 0 ②x＋ 3y－ 4z＝ 0 ③ ① ＋ ② 求得 z＝－ 5x，代入 ③ 得 y＝－ 7x，取 x＝－ 1， 則 y＝ 7， z＝ 5，于是－ a＋ 7b＋ 5c＝ 0，即 a＝ 7b＋ 5c， 所以 a， b， c 三向量共面 ． 10． 在平行六面體 ABCD—A1B1C1D1 中 ， 設(shè) － *6] cosBD a=21 ， |a|=|b|=|c|=1， OE =21 (a+b),BF = 21 cb, OE a + 21 (|b|2 | a |2 OA1 ( b – a ) = c b=b |BD |BA = 21 |BD |12(AB ＋ AC→ )＋ 13AD→ ＝ 13( AB ＋ AC→ ＋ AD→ )． 知識點(diǎn)三 求空間向量的坐標(biāo) 【例 3】 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面 ， M、 N 分別是 AB， PC 的三等分點(diǎn)且 PN＝ 2NC， AM＝2MB， PA＝ AB＝ 1， 求 MN 的坐標(biāo) ． 解 ∵ PA=AB=AD=1， 且 PA 垂直于平面 ABCD， AD⊥ AB， ∴可設(shè) AD ＝ i， AB→ ＝ i， AD ＝ j， AP→ ＝ k. 以 i， j， k 為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ． ∵ MN ＝ MA→ ＋ AP→ ＋ PN ＝－ 23 AB ＋ AP→ ＋ 23PC→ ＝－ 23AB ＋ AP→ ＋ 23(－ AP→ ＋ AD→ ＋ AB ) = 13AP ＋ 23AD→ ＝ 13k＋ 23AD→ ＝ 23i＋ 13k， ∴ MN ＝ ?? ??23， 0， 13 . 【反思感悟】 空間直角坐標(biāo)系的建立必須尋求三條兩兩垂直的直線．在空間體中不具備此條件時(shí)，建系后要注意坐標(biāo)軸與空間體中相關(guān)直線的夾角． 【跟蹤訓(xùn)練】 在直三棱柱 ABO— A1B1O1 中，∠ AOB= 2? ， |AO| = 4， |BO| = 2， |AA1| = 4， D 為 A1B1的中點(diǎn)，則在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求 1,DOAB 的坐標(biāo) . 解 ∵ 11( ) ,D O O D O O O D? ? ? ? ?。cos60176。AC | ＝ 85. (2) 方法一 設(shè) 39。c＋ 12a2＋ 12acos〈 a， b〉－ |a|2＝ 0， 所以 4 2cos〈 a， b〉－ 4＝ 0? cos〈 a， b〉＝ 22 ， 所以 a 與 b 的夾角為 45176。b＝ a (AB ＋ BO→ )＝ BC→ n. 因?yàn)?l AC ? OA 1ED ； （ 2） BF AA + BC +23 AB =12 239。 ； （ 2） 11AB CC DD??。 39。 解 （ 1） 11AA BB? = 1AB . （ 2）11 1 11122A B A D?? 11 1 11 ()2 A B A D??1 1 112 A C A M? （ 3）11 1 1 11122A A A B A D?? 11AA A M AM? ? ? （ 4） 1 1 1 0A B B C C C C A? ? ? ? 【 反思感悟 】 向量的加法利用平行四邊形法則或三角形法則，同平面向量相同，封閉圖形，首尾連續(xù)向量的和為 0.. 【跟蹤訓(xùn)練】 已 知長方體 ABCD— A′ B′ C′ D′ ,化簡下列向量表達(dá)式 : (1) 39。 39。23A A B C A B?? (2) 設(shè) M 是底面 ABCD 的中心 ,N 是 側(cè) 面 BCC ′ B ′ 對 角 線 BC ′ 上 的 34 分點(diǎn) , 設(shè)39。)24D A A B B C C C? ? ? = 13( ) ( 39。b＝ b 16 2 24,?? ? cos〈 OA , BC 〉 = OA→ g＝ 0, 所以 l⊥ l⊥ g. 這就證明了直線 l 垂直于平面 α 內(nèi)的任意一條直線， 所以 l⊥ α. 【反思感悟】 證明兩直線垂直可轉(zhuǎn)化為證明兩直線的方向向量垂直，即證明兩向量數(shù)量積為零． 【跟蹤訓(xùn)練】 已知 ： 在空間四邊形 OABC 中 ， OA⊥ BC， OB⊥ AC， 求證 ： OC⊥ AB. 證明 ∵ OA⊥ BC， OB⊥ AC，∴ OA b＝ 0證線線垂直 (a， b 為非零向量 )． (2)利用 ab＝ aBD→ － 2AB ∠ BAA′＝ ∠ DAA′ ＝ 60176。AC ＝85＋ 25－ 252| 39。OC→ ＝ a， AD→ ＝ b， AA1→ ＝ c， E， F 分別是 AD1， BD 的中點(diǎn) ． （ 1）用向量 a， b， c， 表示 1 ,DBEF ； （ 2）若 1DF= x a +y b +z c，求實(shí)數(shù) x,y,z. 解 （ 1） 1DB = 1DD + DB = ? 1AA + AB ? AD = a? b? c， EF = EA + AF = 12 1DA + 12 AC = 11 1 1( ) ( ) ( )2 2 2A A A D A B A D a c? ? ? ? ? (2) 1DF = 111 ()2 A A A B A D? ? ? 111 ()2 A A A B D D? ? ? ? ＝ 12(a－ c－ b－ c)＝ 12a－ 12b－ c， ∴ x＝ 12， y＝－ 12， z＝－ 1. 五、總結(jié) 知識點(diǎn)一 空間向量概念的應(yīng)用 【例 1】 給出下列命題 ： ① 將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn) ， 則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓 ； ② 若空間向量 a、 b 滿足 |a|＝ |b|， 則 a＝ b； ③在正方體 ABCDA1B1C1D1中，必有 AC= 11CA 。 BA 60 =41 , 所以EF BF =21 (a+b) OG = { c + 21 a +21 b} – { 21 a + 21 b 21 c}