【正文】 ＋ BF→ ＋ EH→ ＋ GH→ ＝ 0 B . EB ＋ FC→ ＋ EH→ ＋ GE→ ＝ 0 C . EF ＋ FG→ ＋ EH→ ＋ GH→ ＝ 0 D . EF － FB→ ＋ CG→ ＋ GH→ ＝ 0 答案 B 解析 如圖所示， EB ＋ FC→ ＋ EH→ ＋ GE→ ＝ (EB ＋ BF→ )＋ (GE→ ＋ EH→ ) = EF ＋ FE→ ＝ 0. 5. 在正方體 ABCDA1B1C1D1 中，如圖所示，下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為向量 1BD 的是（ ） ① ( 11AD － A1A→ )－ AB→ ； ② (BC ＋ BB1→ )－ D1C1→ ； ③ （ AD － AB→ )－ 2DD1→ ； ④ （ 11BD － A1A→ )＋ DD1→ . A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ①④ 答案 A ( 11AD － A1A→ )－ AB→ ＝ AD1→ － AB→ ＝ BD1→ . (BC ＋ BB1→ )－ D1C1→ ＝ BC1→ ＋ C1D1→ ＝ BD1→ .∴① 、 ② 正確 ． 二、填空題 6. 如圖所示 a， b是兩個(gè)空間向量，則 AC 與 A′ C′→ 與 A′ C′→ 是 ________向量 ， AB→ 與 B′ A′→ 是 ________向量 ． 答案 相等 相反 7. 在正方體 ABCDA1B1C1D1中 ,化簡(jiǎn)向量表達(dá)式 AB→ + CD + BC DA? 的結(jié)果為 ________． 答案 0 解析 AB→ ＋ CD→ ＋ BC→ ＋ DA→ ＝ (AB→ ＋ BC→ )＋ (CD→ ＋ DA→ ) =AC ＋ CA→ ＝ 0. 三、解答題 8． 如圖所示 ， 已知空間四邊形 ABCD， 連結(jié) AC， BD， E， F， G 分別是 BC， CD， DB 的中點(diǎn) ， 請(qǐng)化簡(jiǎn) （ 1） AB→ ＋ BC→ ＋ CD→ ， （ 2） AB→ ＋ GD→ ＋ EC→ ， 并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量 ． 解 （ 1） AB→ ＋ BC→ ＋ CD→ = AC ＋ CD→ ＝ AD→ . (2)∵ E， F， G 分別為 BC， CD， DB 中點(diǎn)． ∴ BE ＝ EC→ ， EF→ ＝ GD→ . ∴ AB→ ＋ GD→ ＋ EC→ = AB→ ＋ BE→ ＋ EF→ = AF 9. 已知 ABCD 是空間四邊形 ,M 和 N 分別是對(duì)角線 AC 和 BD 的中點(diǎn) . 求證 : MN = 1 ()2 AB CD? 證明 MN = MA AB BN?? 又 MN = AB MC DN??, ∴ 2MN = ( ) ( )M A M C A B CD B N D N? ? ? ? ? 由于 M,N 分別是 AC 和 BD 的中點(diǎn) , 所以 ． MA MC? = 0. ∴ MN ＝ 12(AB→ ＋ CD→ )． 10． 設(shè) A 是 △ BCD 所在平面外的一點(diǎn) ， G 是 △ BCD 的重心 ． 求證： 1 (3AG AB??AC→ ＋ AD→ )． 證明 連結(jié) BG，延長(zhǎng)后交 CD 于 E，由 G 為△ BCD 的重心， 知 23BG BE? ∵ E 為 CD 的中點(diǎn)， ∴ BE ＝ 12BC→ ＋ 12BD→ . ∴ AG ＝ AB→ ＋ BG→ = AB→ ＋ 23BE→ =AB→ ＋ 13(BC ＋ BD→ ) =AB→ + 1 ( ) ( )3 A C A B A D A B??? ? ??? = 13 (AC→ ＋ AC→ ＋ AD→ )． 二、 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 知識(shí)梳理 知識(shí)點(diǎn)一 空間 向量的運(yùn)算 【例 1】 已知 ABCD— A′ B′ C′ D′是平行六面體 . (1)化簡(jiǎn) 1239。 ； （ 2） 11AB CC DD??。),AB AD AA?? 又由于 AB ＝ CC′→ ， AD→ ＝ BC→ ， ∴ AB ＋ AD→ ＋ AA′→ = AB ＋ BC→ ＋ CC′→ =AC ＋ CC′→ ＝ AC′→ ， ∴ AC ＋ AB′→ ＋ AD′→ ＝ 2AC′→ . 【反思感悟】 在本例的證明過(guò)程中 ,我們應(yīng)用了平行六面體的對(duì)角線向量 AC′→ = 39。)AD AA? ? ?( ) ( 39。39。 39。 2 39。A B B C C D A D? ? ? 知識(shí)點(diǎn)三 向量加減法則的應(yīng)用 【例 3】 在如圖所示的平行六面體中，求證 ： 39。 39。 39。AA A D AD??A (2) 39。 39。AA CB? = 39。 39。 39。AA CB? (2) 39。 空間向量與立體幾何 一、 空間向量及其加減運(yùn)算 知識(shí)梳理 知識(shí)點(diǎn)一 空間向量的概念 【例 1】 判斷下列命題是否正確 ， 若不正確 ， 請(qǐng)簡(jiǎn)述理由 ． ① 向量 AB 與 AC 是共線向量，則 A、 B、 C、 D 四點(diǎn)必在一條直線上； ② ②單位向量都相等；③任一向量與它的相反向量不相等；④四邊形 ABCD 是平行四邊形的充要條件是 AB =DC ；⑤模為 0 是一個(gè)向量方向不確定的充要條件；⑥共線 的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同 . 解 ①不正確，共線向量即平行向量，只要求兩個(gè)向量方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量 AB ，CD 在同一條直線上 .②不正確，單位向量模均相等且為 1，但方向并不一定相同 .③不正確，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的 .④不正確，因?yàn)?A、 B、 C、 D 可能共線 .⑤正確 .⑥不正確，如圖所示， AC 與 BC 共線， 雖起點(diǎn)不同，但終點(diǎn)卻相同 . 【反思感悟】 解此類題主要是透徹理解概念，對(duì)向量、零向量、單位向量、平行向量 (共線向量 )、共面向量的概念特征及相互關(guān)系要把握好． 【跟蹤訓(xùn)練】 下列說(shuō)法中正確的是 ( ) A． 若 |a|＝ |b|， 則 a、 b 的長(zhǎng)度相同 ， 方向相同或相反 B． 若向量 a 是向量 b 的相反向量 ， 則 |a|＝ |b| C． 空間向量的減法滿足結(jié)合律 ABCD 中，一定有 AB +AD =AC 答案 B 解析 |a|=|b|，說(shuō)明 a 與 b 模長(zhǎng)相等，但方向不確定；對(duì)于 a 的相反向量 b=a 故 |a|=|b|，從而 B 正確；空AB + AD =AC ，只有平行四邊形才能成立 .故 A、 C、 D . 知識(shí)點(diǎn)二 空間向量的加、減 運(yùn)算 【例 2】 如圖所示，已知平行六面體 ABCD— A1B1C1D1， M 為 A1C1 與 B1D1 的交點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式． （ 1） 1AA + 11BA ； （ 2） 21 11BA + 21 11DA ； （ 3） 1AA +21 11BA + 11DA ； （ 4） AB +BC + 1CC + 11AC + AA1 。 解 （ 1） 11AA BB? = 1AB . （ 2）11 1 11122A B A D?? 11 1 11 ()2 A B A D??1 1 112 A C A M? （ 3）11 1 1 11122A A A B A D?? 11AA A M AM? ? ? （ 4） 1 1 1 0A B B C C C C A? ? ? ? 【 反思感悟 】 向量的加法利用平行四邊形法則或三角形法則，同平面向量相同，封閉圖形，首尾連續(xù)向量的和為 0.. 【跟蹤訓(xùn)練】 已 知長(zhǎng)方體 ABCD— A′ B′ C′ D′ ,化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式 : (1) 39。 39。 39。AB B C C D?? 解 (1) 39。AA BC? = 39。 39。 39。 39。 39。 39。A C A B A D A C? ? ? 證明 ∵ 平行六面體的六個(gè)面均為平行四邊形， ∴ ,AC AB AD?? 39。,AB AB AA?? AD′→ ＝ AD→ ＋ AA′→ . ∴ 39。AC AB AD? ? ?( 39。)A B A D A B A A? ? ?=2( 39。AB AD AA??,該結(jié)論可以認(rèn)為向量加法的平行四邊形法則在空間的推廣 (即平行六面體法則 ). 【跟蹤訓(xùn)練】 在長(zhǎng)方體 ABCDA1B1C1D1 中，畫(huà)出表示下列向量的有向線段 . （ 1） AB ＋ AD→ ＋ 1AA 。. 解 如圖， （ 1） AB ＋ AD→ ＋ 1AA = 11AC AA AC?? 。23A A B C A B?? (2) 設(shè) M 是底面 ABCD 的中心 ,N 是 側(cè) 面 BCC ′ B ′ 對(duì) 角 線 BC ′ 上 的 34 分點(diǎn) , 設(shè)39。39。 39。 39。AA + BC +23 AB = 39。39。DF = EF 方法二 取 AB 的三等分點(diǎn) P 使得 23PB AB? , 取 CC′的中點(diǎn) Q,則 12 39。 3C C B C A B? ? ? CQ BC PB? ? ? ,PB BC C Q PQ? ? ? (2) 13 39。)24D A A B B C C C? ? ? = 13( ) ( 39。2 4 4A B A D A A?? ∴ α＝ 12， β＝ 14， γ＝ 34. 【反思感悟】 化簡(jiǎn)向量表達(dá)式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則，遇到減法時(shí)可轉(zhuǎn)化為加法，也可按減法進(jìn)行運(yùn)算．本題第一問(wèn)是開(kāi)放式的表達(dá)式，形式不唯一，有多種解法． 【跟蹤訓(xùn)練】 如圖所示 ,平行六面體 A1B1C1D1 ABCD， M 分 AC 成的比為 12， N 分 A1D→ 成的比為 12， N 分 A1D→ 成的比為 2， 設(shè) AB ＝ a， AD→ ＝ b， AA1→ ＝ c， 試用a、 b、 c 表示 MN ， 解 1 1 1 11233M N M A A A A N C A A A A D? ? ? ? ? ? = 1112 ()33A C A A A A A D? ? ? ? ＝－ 13(a＋ b)＋ c＋ 23(－ c＋ b) ＝－ 13a＋ 13b＋ 13c 知識(shí)點(diǎn)二 共線問(wèn)題 【例 2】 設(shè)空間四點(diǎn) O， A， B， P 滿足 ,O P m O A nO B??其中 m+n=1，則（ ） A． 點(diǎn) P 一定在直線 AB 上 B． 點(diǎn) P 一定不在直線 AB 上 C． 點(diǎn) P 可能在直線 AB 上 ， 也可能 不在直線 AB 上 D. AB 與 AP→ 與 AP→ 的方向一定相同 答案 A 解析 已知 m+n=1，則 1,mn?? ( 1 )O P n O A nO B O A nO A nO B? ? ? ? ? ? ()O P O A n O B O A? ? ? ?AP nAB?? 因 AB ≠ 0 .所以 AP 和 AB 共線，即點(diǎn) A， P，B 共線，故選 A . 【反思感悟】（ 1）考察點(diǎn) P 是否在直線 AB 上，只需考察 AP 與 AB 是否共線； （ 2）解決本題的關(guān)鍵是利用條件 m+n=1 把證明三點(diǎn)共線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明 AP 與 AB 是否共線 . 【跟蹤訓(xùn) 練】 已知 A、 B、 P 三點(diǎn)共線， O 為空間任意一點(diǎn)， O P O A O B???? 求α +β的值 . 解 ∵ A、 B、 P 三點(diǎn)共線，由共線向量知， 存在實(shí)數(shù) t，使 AP = tAB 由 AP = OP ? OA ， AB = OB ? OA 代入得： (1 )O P t O A t O B? ? ?； 又由已知 O P O A O B????， ∴ α＝ 1－ t， β＝ t， ∴ α＋ β＝ 1. 知識(shí)點(diǎn)三 共面問(wèn)題 【例 3】 已知 E， F， G， H 分別是空間四邊形 ABCD 的邊 AB， BC， CD， DA 的中點(diǎn) ． (1)求證 ： E， F， G， H 四點(diǎn)共面 ； (2)求證 ： BD∥ 平面 EFGH. 證明 (1)由已知得 EF 綊 HG， ∴ ,EG EF FG FG H G? ? ? ? ∵ FG , HG 不共線， ∴ , , ,EG FG HG 共面且有公共點(diǎn) G， ∴ E， F， G， H 四點(diǎn)共面 . （ 2） B D B F F G G D E F E B E G? ? ? ? ? ?EF HD HG? ? ? ()EG AH AE H G EG EH H G? ? ? ? ? ? ? 22E G E G G H G H E G G H? ? ? ? ? ? ∵ EG 與 GH 不共線， ∴ BD→ ， EG→ ， GH→