【正文】 ???? （ 344） 無旋流動一定是有勢流動（簡稱為勢流），有勢流動一定存在一個速度勢函數(shù)。 （六）、液體微團運動形式與有勢流動 液體 微團運動的基本形式： 液 體微團（質(zhì)點）的運動與剛體不同，除了平動和旋轉(zhuǎn)外，同時還有線變形和角變形。 粘性流體的應力 粘性流體存在九個應力，包括三個壓應力和六個切應力，其中有六個獨立的分量 。伯努利方程的 物理意義為 ： 同一流線（元流）上的機械能守恒。 （ 3）伯努利方程的物理意義：位置水頭 z、壓強水頭 p/? 和測壓管水頭 z + p/? 的物理意義已在第二章中介紹過，而 u2/2g稱為 流速水頭， 是單位重量 液 體 所具有 的動能。為 了 確定一些未知參數(shù)， 在求解 動量方程 時， 往往要 與 連續(xù)性方程和能量方程 聯(lián)立求解 。動量方程的分量形式，即投影方程為： 入入入出出出 ???? xxx VQVQF ????? （ 319） 入入入出出出 ???? yyy VQVQF ????? （ 320）入入入出出出 ???? zzz VQVQF ????? （ 321） 例如圖 36 所示的水平放置三叉管段的動量方程可以寫為： 111333222 ?????? xxxx VQVQVQF ???? （ 321） 111333222 ?????? yyyy VQVQVQF ???? （ 322） 三叉管中水體受到的外力有斷面壓力 111 ApP? , 222 ApP ? ， 333 ApP ? ， 管壁對水流的作用力 xF 、 yF ， 力的 方向 和流速方向 見圖 36。一般漸變流 的 ? ＝～ ，工程上常近似取 ? ＝ 。 （四）、動量方程 恒定總流動量方程 實際工程中經(jīng)常需要計算水流與固體邊壁間的相互作用力，此時需要采用動量方程。在水力計算中，一般用相對壓強比較方便。過水斷面上的 代表 點原則上可 以 任 意選 取，為方便起見，對于管流 代表點 通常取在管軸線上，對于 明渠流 代表點 通常取在自由液面上。應將漸變流過水斷面取在已知參數(shù)較多的斷面上，并使能量方程含有所要求的未知數(shù)。其大小為： tmtNH Q??? （ 317） 式中 Nt 為水 輪機 的功率，單位為瓦特 Nm/s=w， η t 為水 輪機 的效率。其大小為： QNH ppm ??? （ 316） 式中 Np 為水泵的功率，單位為瓦特 （ Nm/s=w） ， η p為水泵的效率， γ 為水的重度，單位為N/m3， Q 為流量，單位為 m3/s。 hw是總流單位重量 液 體從斷面 11 到斷面 22 的平均水頭損失。 （三）、能量方程 能量方程的基本形式 恒定總流的能量方程為： whgvpzgvpz ?????? 22 2222221111 ???? （ 310） 式中 α 為動能修正系數(shù) ， 是 實際動能與按斷面平均流速計算的動能之比值。對于恒定均質(zhì)不可壓縮水流，流入某一控制體（管段）的流量之和等于流 出 這一控制體的流量之和。 （二）、連續(xù)性方程 連續(xù)性微分方程： 連續(xù)性微分方程可以由質(zhì)量守恒定律推導出來： 0???????????? zuyuxuu zyx? （ 36） 適用條件：均質(zhì)不可壓縮流體，恒定流動 或 非恒定流動，連續(xù)性微分方程說明 不可壓縮 流體體積膨脹率為零，流體微團的體積不變，質(zhì)量守恒。流量的單位是米 3/秒（ m3/s）。 圖 31 過水斷面、流量與斷面平均流速 （ 1）過水斷面 與流向 （流線） 正交的橫斷面稱為過水斷面。 13 Cpz ??? （ 33） 但是對于不同的過水斷面，上式中的常數(shù)一般是不同的。漸變流與急變流沒有明確的界限，往往由邊界條件決定。 漸變流和急變流 非均勻流 可分 為漸變流與急變流兩類。 非 恒定流的流管形狀 可 隨時間變化。將無數(shù)個元流疊加可構(gòu)成 具有一定邊界和尺度的實際流動（如 管道、河渠中的流動），稱為總流。 流管 、元流與總流 在流場中取一條與流動方向不同的微小的 封閉曲線 ，在同一時刻，通過這條曲線上的各點上作流線，由這些流線構(gòu)成的一個管狀曲面 稱為流管 。（ 2）一般情況下，同一時刻的流線不能相交，也不能是折線。流線微分方程為： ),(),(),( tzyxu dztzyxu dytzyxu dx zyx ?? （ 32） 積分求解時 t可作為常數(shù)看待。 跡線 跡線 是流體質(zhì)點運動的軌跡線，它是同一流體質(zhì)點在不同時間的 不同 位置形成的曲線，拉格朗日法給出的質(zhì)點坐標就是跡線的參數(shù)方程。 恒定流和非恒定流 若流場中各空間點上所有運動要素（速度、壓強等）都不隨時間改變，這種流動稱為恒 12 定流。 歐拉法的質(zhì)點加速度： 歐拉法的質(zhì)點加速度可以表示為： ? ?uutudtuda ????? ??????? （ 31） 上式右邊第一項時間偏導數(shù) ut?? 稱為當?shù)丶铀俣然驎r變加速度，是流速場隨時間變化而產(chǎn)生的加速度；右邊第二項空間偏導數(shù) ? ?uu?? 稱為遷移加速 度或位變加速度，是流速場在空間的 不 均勻分布所產(chǎn)生的加速度。 歐拉法 ： 歐拉法（又稱為 流場法），以固定的空間點為對象，研究任意時刻經(jīng)過各空間點的流體質(zhì)點的流動參數(shù)。 液體的運動微分方程比較復雜，只要了解其基本形式和適用條件即可，對于運動方程的積分形式，要區(qū)分歐拉積分方程和伯努利方程的應用條件和適用范圍。液體運動涉及許多概念和分類，例如，描述液體運動的歐拉法和拉格朗日法、流線和跡線、恒定流和非恒定流、均勻流和非均勻流、急變流和漸變流、有旋流和無旋流、總流和元流等，要正確理解這些流動的基本概念，區(qū)分不同流動類型的定義和特點。 圖 28 11 第三 章 水動力學基礎 五、 學習指導 水動力學基礎 是 將理論力學中物質(zhì)運動的普遍規(guī)律質(zhì)量守恒定律、能量守恒定 律、動量定理和牛頓第二定律等應用到液體運動 中 ， 從而 推導出水力學中重要的三大方程 ： 恒定總流連續(xù)性方程、能量方程、動量方程 。 （五）、曲面上的靜水總壓力 1．二 向曲面上的靜水總壓力 作用在二向曲面 EF 上 （圖 28） 的靜水總壓力 P 的水平分力 Px 等于作用于該曲面的鉛直投影面 E’ F’ 上的靜水總壓力，亦即投影面 E’ F’ 形心點的壓強 pcx乘以投影面面積 Ax： hD hC h0 yD yC y0 l b a x y D P C pa 0 10 Px= pcAx=γ hcAx (217) 作用在二向曲面 EF 上的靜水總壓力 P 的鉛直分力 Pz為 Pz＝ γ VP (218) 式中， VP 為壓力體的體積 。筆者推導出計算三角形、梯形、矩形和平行四邊形（圖 27）受壓面形心位置和作用點位置的統(tǒng)一公式為： C0 23l a byy ab??? ? (215) 000( 3 ) 2 ( 2 )2 ( 2 ) 3 ( )D l a b y a blyy l a b y a b? ? ??? ? ? ? (216) 此式可以直接計算梯形，對于三角形平面，取 a=0，對于倒三角形平面，取 b =0，對于矩形或平行四邊形平面，取 a=b。 圖 25 2．平 面 上的 靜水總壓力： 作用在任意平面上的靜水總壓力大小 P 等于受壓面形心點的壓強 Cp 乘以受壓面面積 A，即 9 AhApP CC ??? (212) 壓力的方向垂直指向受壓面，作用點的位置 D( Dx ， Dy )為： ? ? AyJyAy AyJyCCxCCCCxD ???? ???? s i ns i n 2 (213) AyJxx CCxyCD ?? (214) 式中， Jcx= AdyA?2為 平面 EF 對通過形心 ， 平行于 Ox 軸的直線為軸的慣性矩，xc， yc 為形心點坐標， Jcxy 為平面 EF 對通過形心 C 并與 Ox、 Oy 軸平行的軸的慣性積。 作用在平面上的靜水壓強分布圖是按直線分布的，因此，只要確定直線上兩個點的壓強，就可確定該壓強分布直線。例如，對圖 24 所示的水 A 8 銀比壓計， A、 B 兩點的壓強關(guān)系、測管水頭差分別為： A B B H Ap p z h h z? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? (210) hpzpz HBBAA ?????? ? ???? )()(= h (211) 圖 24 （四）、平面上的靜水總壓力 1．靜水壓強分布圖 靜水壓強分布圖可以直觀地用幾何圖形表示靜水壓強分布規(guī)律，即以線段長度表示點壓強的大小，以箭頭表示點壓強的作用方向。金屬測壓計根據(jù)使用說明書，可以直接讀出 壓強數(shù)值，要注意的是，壓力表一般給出的是相對壓強，真空表一般給出的是真空壓強。實際計算中，可以從已知點壓強開始，若向下經(jīng)過重度為 γ ，高度為 h的液體，壓強增加 h? ，向上經(jīng)過重度為 γ ，高度為 h的液體，壓強減小 h? ，若經(jīng)過一段氣體壓強不變，最后可以得出未知點壓強的大小。對于不連通或不相同的液體 (如液體被閥門隔開，見圖 22b，或者一個水平面穿過兩種及以上不同介質(zhì)，見圖 22c)，則位于同一水平面上 的各點壓強并不一定相等，水平面不一定是等壓面。 由式 (28)可以看出，淹沒深度相等的各點靜水壓強相等，因此，等水深面、水平面即為等壓面，它與質(zhì)量力 (即重力 )的方向垂直。對其中的任意兩點 1 及 2，上式可寫成 z1+?1p=z2+?2p (27) 圖 21 2．計算公式 計算靜水壓強的基本公式為： p=p0+γ h (28) 式中 h=z0z 表示該點在自由液面以下 的淹沒深度。 z+?p稱為測壓 管水頭，表示單位重量液體所具有的勢能。 （三）、重力作用下的靜水壓強 1．基本方 程式 6 在質(zhì)量力只有重力的靜止液體中，不可壓縮均質(zhì)液體 (ρ =const)所滿足的基本方程式為： z+?p=C (26) 式中 C 為積分常數(shù)， z 代表某點到基準面的位置高度，稱為位置水頭；它表示單位重量液體從某一基準面算起所具有的位置勢能 (簡稱單位位能 )。 4．量度壓強的單位 壓強的大小可以用應力單位、大氣壓強的倍數(shù)、液柱高等表示，相互換算關(guān)系見表 21，例如，一個工程大氣壓用水柱高可以表示為 h=?atp=980098000=10m(水柱 ) 如用水銀柱表示，則因水銀的重度取為 γH=133230N/m3，故有： h= atHp? =13323098000 =(水銀柱 ) 表 21 壓強單位換算表 用應力單位表示 千牛 /米 2（ kPa） 1 牛 /米 2（帕 kPa） 1000 1 101325 98000 9800 用大氣壓表示 標準大氣壓（ atm） 106 1 工程大氣壓（ at） 105 1 用液柱高表示 m水柱 104 10 1 mm汞柱 1 （二）、液體平衡微分方程式 1．微分方程式： X?1 xp??=0， Y?1 yp??=0， Z?1 zp??=0 (23) 或 dp=ρ (Xdx+Ydy+Zdz) (24) 液體平衡 微分方程式表明了處于平衡狀態(tài)的液體中表面力壓強的變化率和單位質(zhì)量力 (X， Y， Z)之間的關(guān)系，哪