【正文】 （ 2）求 C、 A 之間的距離． （精確到 ，參考數(shù)據(jù)： 2 ≈ ， 3 ≈ ， 6 ≈ ） （第 24 題圖） 【解析】過 C 作 BP 的垂線，垂足為 G， 利用特殊 Rt△ PCG 和 Rt△ ABP 中的邊角關(guān)系，我們?nèi)菀子?jì)算出 CG（即 AB） 的長(zhǎng)，最后用 AC=BP+PG， 就是 C、 A 之間的距離． 【答案】（ 1）過 C 作 BP 的垂線，垂足為 G，在 Rt△ PCG 中， CG=PCsin450=30 22 =15 2 ，所以 AB=15 2 =（ m） （ 2） PG= PCcos450=30 22 =15 2 ， BP= 15 2 563 ?，所以 C、 A 之間的距離=BP+PG=15 2 +5 6 =（ m） 60176。＝ (x － 10) 3 （米） ………5 分[來 源 :中國(guó) 教育︿ %出版 ~網(wǎng) ] 由 AM+BN=46 米，得 x +(x － 10) 3 ＝ 46………………………6 分 解得， 46 10 313x ?? ? ， ∴ 點(diǎn) P 到 AD 的距離為 46 10 313??米 ．（結(jié)果分母有理化為 ? ?18 3 8? 米也可 ） ………8 分 【答案】 46 10 313??（結(jié)果分母有理化為 ? ?18 3 8? 米也可 ） 【點(diǎn)評(píng)】 本題綜合考查了直角三角形中的三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值及構(gòu)造出的方程思想 .解決本題的關(guān)鍵是作垂線 構(gòu)造出直角三角形從而再運(yùn)用三角函數(shù)解題 .難度中等 . （ 2022 江蘇泰州市， 24， 本題滿分 10 分） 如圖，一居民樓底部 B 與山腳 P 位于同一水平線上，小李在 P 處測(cè)得居民樓頂 A 的仰角為 60176。 NM=10 米 ……………………………1 分 （第 20 題圖） MPDCBA設(shè) PM=x 米 在 Rt△ PMA 中， AM=PMtan∠ APM=x tan45176。源 :中教網(wǎng) ] 【解析】ABC DPNM 連結(jié) PA、 PB，過點(diǎn) P 作 PM⊥ AD 于點(diǎn) M；延長(zhǎng) BC，交 PM 于點(diǎn) N 則 ∠ APM=45176。測(cè)得辦公大樓底部點(diǎn) B 的俯角為 60176。 = 級(jí)高級(jí)寬 ， ∴級(jí)高 =級(jí)寬 tan32176。斜邊 AB 的長(zhǎng)為 米 ，根據(jù) 銳角三角函數(shù)的定義即可求得一樓與二樓之間的高度 BC． （ 2）先計(jì)算 1 級(jí)電梯的高，再根據(jù) 10 秒鐘電梯上升了 20 級(jí)可 計(jì)算 10 秒后他上升的高度 ． 【答案】 解：（ 1）∵ sin∠ BAC= ABBC ，∴ BC=AB sin32176。 =， tan32176。 . （ 1）求一樓與二樓之間的高度 BC（精確到 米）； （ 2）電梯每級(jí)的水平級(jí)寬均是 米，如圖 ，該電梯以每少上升 2 級(jí)的高度運(yùn)行， 10 秒后他上升了多少米（精確到 米）？ 備用數(shù)據(jù)： sin32176。 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了直角三角形的解法。 可分別在直角三角形中利用正切值表示出水平線段的長(zhǎng)度，再利用移動(dòng)距離為 AB=100 米，可建立關(guān)于 h h2 的方程組，解這個(gè)方程組求得兩山峰高度。游船向東航行100 米后（ B 處），測(cè)得太婆尖、老君嶺的高度為多少米？（ 3 ? ，結(jié)果精確到米）。斜坡AB 長(zhǎng)為 12 米 .為方便學(xué)生行走，決定開挖小山坡，使斜坡 BD 的坡比是 1:3（即為 CD 與BC 的長(zhǎng)度之比）， A， D 兩點(diǎn)處于同一鉛垂線上，求開挖后小山坡下降的高度 AD. 【解析】：因?yàn)?AD=ACCD，故欲求 AD，只需先求 AC、 △ ABC，求出 BC，再根據(jù)坡比即可求出 CD. 【解】 ：在 Rt△ ABC 中，∠ ABC=30176。 =80 sin68176。 =34176。 , ∴ ∠ CAD=68176。 ,求 落差 AB.（測(cè)角儀高度 忽略不計(jì)，結(jié)果精確到 1m，可以使用計(jì)算器） 解析： 由已知可得△ ACD 是等腰三角形，故得 AC=CD=80,在 Rt△ ACB 中解直角三角A B C D 第 19題圖 形可求 AB. 解：∵∠ ACB=68176。 （ 2022 貴州貴陽， 19， 10 分）小亮想知道亞洲最大的瀑布黃果樹夏季洪峰匯成巨瀑時(shí)的落差 .如圖，他利用測(cè)角儀站在 C 點(diǎn)處測(cè)得∠ ACB=68176。 答案 ：由題意可知，四邊形 BCED 是平行四邊形， 所以 CE=BD=6米， CB=ED= 在 Rt△ ACE中， tan∠ AEC=ACEC 即 tan60176。所以 BC= 33 AB= 33 x，因?yàn)?BDBC=CD，所以 3 x 33 x=20，解得 x=10 3 ，即物體的高為 10 3 米 . 【答案】 A. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用， 分別在兩個(gè)直角三角形中，設(shè)出未知數(shù)，由銳角三角函數(shù)把與已知線段在同一條直線上的兩條未知線段表示出來，然后構(gòu)建方程，解方程即可求出未知線段的長(zhǎng)． （ 2022 四川成都， 17， 8 分） 如圖，在一次測(cè)量活動(dòng)中，小華站在離旗桿底部 (B 處 )6 米的D 處，仰望旗桿頂端 A，測(cè)得仰角為 60176。則物體的高度為（ ） 3 米 米 3 米 D. 2033 【解析】設(shè) AB 高為 x 米，在 Rt△ ABD中，∠ D=30186。 = PBPC ， ∴ PB= ???? inPC 289（ m） 答：小亮與媽媽相距約 289 米 . （ 2022 山東泰安 ， 13， 3 分） 如圖，為測(cè)量某物體 AB 的高度，在 D 點(diǎn)測(cè)得 A 點(diǎn)的仰角為30186。 . ∴ PC= 200 sin60176。的方向上，這時(shí)小亮與媽媽相距多少米（精確到 1 米）？ 解析：題目相當(dāng)求線段 PB 長(zhǎng)， 需要把圖形轉(zhuǎn)化 為解直角三角形來解決，過點(diǎn) P 作 PC⊥ AB 于 C，先解 Rt△ APC，求出 PC 長(zhǎng)，在解 Rt△ PBC 即可求出 PB 長(zhǎng) . 解：過點(diǎn) P 作 PC⊥ AB 于 C， 在 Rt△ APC 中， AP=200m，∠ ACP=90176。 (2022 山東 省 聊城， 22， 8 分）周末，小亮一家在東昌湖游玩，媽媽在湖心島 P 處觀看小亮與爸爸在湖中劃船（如圖），小船從 P 處出發(fā)，沿北偏東 60176。=176。 在 Rt△ AHB 中， ∠ BAH=∠ DAC－ ∠ DAB=176?！?。利用 Rt△ ABH 和 Rt△ BCH求線段 AH、 CH 的長(zhǎng)，利用 AH－ CH 確定 AC 的長(zhǎng)。≈， 176?！?， 176。求此時(shí) 貨輪與 A 觀測(cè)點(diǎn)之間的距離 AC 的長(zhǎng)（精確到 ） . (參考數(shù)據(jù)： 176。現(xiàn)測(cè)得 C 處位于Ａ觀測(cè)點(diǎn)北偏東 176。方向，且其到 A 觀測(cè)點(diǎn)正北方向的距離 BD 的長(zhǎng)為 16km。方向航行 32 小時(shí)到達(dá) B處，那么 tan∠ ABP= C. 55 D. 552 【解析】 如圖 6 所示，根據(jù)題意可知∠ APB=90176。 （ 2022 湖北黃石 ， 22， 8 分） 如圖（ 9）所示（左圖為實(shí)景側(cè)視圖，右圖為安裝示意圖），在屋頂?shù)男逼旅嫔习惭b太陽能熱水器：先安裝支架 AB 和 CD（均與水平面垂直），再將集熱板安裝在 AD 上．為使集熱板吸熱率更高，公司規(guī)定： AD 與水平線夾角為 1，且在水平線上的的射影 AF 為 1． 4m． 現(xiàn)已測(cè)量出屋頂斜面與水平面夾角為 2，并已知 tan 1＝ 1． 082，tan 2＝ 0． 412．如果安裝工人已確定支架 AB 高為 25cm，求支架 CD 的高（結(jié)果精確到 1cm） ？ 【解析】 如圖所示， 過 A 作 AE∥ BC 交 CD 于點(diǎn) E，則所求 CD 轉(zhuǎn)化為 CE＋ DE，而 CE＝AB＝ 25cm，只要求出 DE，而 DE＝ DF－ EF， 分別在 Rt△ DAF 與 Rt△ EAF 中表示出 DF與 EF． 【答案】如圖所示，過 A 作 AE∥ BC 交 CD 于點(diǎn) E，則∠ EAF＝∠ CBG＝ θ2， 且 EC＝ AB＝ 25cm ????????? 2 分 Rt△ DAF 中：∠ DAF＝ θ1， DF＝ AFtanθ1 ??? 1Fθ2θ1EDCBA分 Rt△ EAF 中：∠ EAF＝ θ2， EF＝ AFtanθ2 ∴ DE＝ DF－ EF＝ AF(tanθ1－ tanθ2) 又∵ AF＝ 140cm， tanθ1＝ 1． 082， tanθ2＝ 0． 412 ∴ DE＝ 140 (1． 082－ 0． 412)＝ 93． 8 ∴ DC＝ DE＋ EC＝ 93． 8＋ 25＝ 118． 8 cm≈ 119cm 答：支架 DC 的高應(yīng)為 119cm． 【點(diǎn)評(píng)】 本題著重考查了解直角三角形的應(yīng)用，難點(diǎn)在于作出輔助線，將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中及線段和差． （ 2022年四川省德陽市，第 6題、 3分．）某時(shí)刻海上點(diǎn) P處有一客輪，測(cè)得燈塔 A位于客輪 P的北偏東 30176。題目設(shè)置由易到難，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的考察，以及由理論到實(shí)踐的原則，比較全面地考察了學(xué)生對(duì)幾何基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況和對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力。背景情境的設(shè)置具有普遍性和公平性。 ； （ 3）解法一：小紅的連衣裙曬衣架后會(huì)拖落到地面． 在 Rt△ OEM 中，∴ 2 2 2 23 4 1 6 3 0O M O E E M? ? ? ? ?cm； 同（ 1）可證： EF∥ BD ，∴∠ ABD=∠ OEF， 過點(diǎn) A作 AH⊥ BD 于點(diǎn) H，則 Rt△ OEM∽ Rt△ ABH， ∴ OE OMAB AH? ， 3 0 1 3 6 1 2 0 c m34O M A BAH OE ??? ? ?． ∴小紅的連衣裙掛在曬衣架后總長(zhǎng)度 122cm＞曬衣架高度 AH=120cm． 解法二：小紅的連衣裙曬衣架后會(huì)拖落到地面． 同（ 1）可證： EF∥ BD ，∴∠ ABD=∠ OEF=176。 ∠ AOC）， 同理可證：∠ OBD=∠ ODB=12 （ 180176。 ）； (3)小紅的連衣裙穿在衣架后的總長(zhǎng)度達(dá)到 122cm，垂掛在曬衣架上是否會(huì)拖落到地面 ?請(qǐng)通過計(jì)算說明理由． （參考數(shù)據(jù)： si n , c os , t a n ? ? ? ? ? ?，可使用科學(xué)計(jì)算器） 圖 1 圖 2 解析：（ 1）利用等腰三角形的性質(zhì)或三角形相似，可得 AC∥ BD； （ 2）過點(diǎn) O作 OG⊥ EF交 EF于 G，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)可求得∠ OEF 的度數(shù)； （ 3）利用三角形相似或三角函數(shù)可求解。此題的關(guān)鍵是用小時(shí)來表示 AB間的距離。∴AD=CD= 3 x， AB= 3 x–x，依據(jù)題意， 3 x–x=， x= 314? ，答：再航行 314? 小時(shí)，離漁船 C 的距離最近。方向上．問漁政 310 船再航行多久，離我漁船 C的距離最近？（假設(shè)我漁船 C捕魚時(shí)移動(dòng)距離忽略不計(jì)，結(jié)果不取近似值．） 【解析】 解直角三角形的應(yīng)用 方向角問題． 【答案】作 CD⊥ AB 于 D，設(shè) BD=x，∵∠ BCD=30176。 ，則旗桿的高度是 米 。 （湖南株洲市 3,13） 數(shù)學(xué)實(shí) 踐探究課中，老師布置同學(xué)們測(cè)量學(xué)校旗桿的高度。 2=（米 /秒） 因?yàn)? 3600=43560, 所以該車速度為 千米 /小時(shí) 大于 40 千米 /小時(shí)，所以此校車在 AB 段超速 . 點(diǎn)評(píng)：本題考察了直角三角形的邊角關(guān)系，已知一邊和一銳角解直角三角形?！?CBD =60176?！?BDC=90176。問誰先到達(dá) B 處？請(qǐng)說明理由。甲在乙入海 10 秒后趕到海岸線上的 D處，再向 B處游去。他立即沿 AB方向徑直前往救援，同時(shí)通知正在海岸線上巡邏的救生員乙。 （ 2022浙江 省 溫州 市 ， 21， 9 分） 某海濱浴場(chǎng)東西走向的海岸線可近似看作直線 l （如圖） ?！?sinC=BCAB ∴ BC= CABsin =4, ∵ cosC=BCAC ∴ AC=BC∵∠ BAC=90176。 ,利用三角函數(shù)可求出答案。若 AB=2，求△ ABC的周長(zhǎng)。 AG=x， FG= 33 x，∵ DGFG=DF,DF=CE=8 ∴ 3 x 33 x=8,解得 x=4 3 ≈ , ∴ AB=AG+BG=+≈ . 答：大樹 AB 的高約為 米． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形的解法，首先構(gòu)造直角三角形，再借助角邊關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題． (2022重慶， 20， 6分 )已知：如圖，在 Rt△ ABC中，∠ BAC=90176。CBA第 19 題圖 【解析】在 Rt△ ADG 中，可設(shè) AG=x，利用已知角的三角函數(shù)可用 x 表示出 DG 的長(zhǎng)，在Rt△ AFG 中，根據(jù)∠ AFG 的正切函數(shù)可用 x 表示出 FG 的長(zhǎng)，因?yàn)?DGFG=DF，所以可列方程求出 x 的長(zhǎng)， AG 再加上儀器的高度即為大樹的高． 【答案】解：設(shè) AG=xm，在 Rt△ ADG 中，∠ ADG=30176。則 BD