[高考數(shù)學(xué)]抽象函數(shù)問題的求解策略-文庫吧資料
2025-01-13 19:45本頁面
【正文】 分析：因?yàn)? 及 均相當(dāng)于 中的 x，所以 (1)當(dāng) 時(shí)，則 (2)當(dāng) 時(shí)，則 2. 判斷奇偶性 根據(jù)已知條件，通過恰當(dāng)?shù)馁x值代換，尋求 與 的關(guān)系。 分析：因?yàn)? 相當(dāng)于 中的 x，所以 ，解得 或 。 1. 求定義域 這類問題只要緊緊抓?。簩⒑瘮?shù) 中的 看作一個(gè)整體，相當(dāng)于 中的 x 這一特性，問題就會(huì)迎刃而解。近年來抽象函數(shù)問題頻頻出現(xiàn)于各類考試題中，由于這類問題抽象性強(qiáng)，靈活性大，多數(shù)同學(xué)感到困惑，求解無從下手。 （ 2）設(shè) ，則 ， ，由條件（ 2）知 ，從而有 ，即 ，故 上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)性質(zhì)可知， 在（ 0， 1）上仍是單調(diào)減函數(shù)。 分析：這是一道以抽象函數(shù)為載體，研究函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，再以這些性質(zhì)為基礎(chǔ)去研究數(shù)列求和的綜合題。 若 ，當(dāng) 時(shí)，有 ，這與當(dāng) 時(shí)， 矛盾， 。 （ 1）證明 ； （ 2）證明： 在 R 上是增函數(shù)； （ 3）設(shè) ， ，若 ，求 滿足的條件。 五 . 綜合問題求解 抽象函數(shù)的綜合問題一般難度較大，常涉及到多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，抽象思維程度要求較高，解題時(shí)需把握好如下三點(diǎn)：一是注意函數(shù)定義域的應(yīng)用，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號(hào) “ ”前的 “負(fù)號(hào) ”，三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào) “ ”。 證明： 對(duì) 一切 有 。 上式對(duì)任意 都成立，因此 是周期函數(shù)，且周期為 6。 分析：這同樣是沒有給出函數(shù)表達(dá)式的抽象函數(shù)，其一般解法是根據(jù)所給關(guān)系式進(jìn)行遞推，若能得出 （ T 為非零常數(shù)）則 為周期函數(shù)，且周期為 T。 解：設(shè) 且 則 ， 即 ， 故 為增函數(shù)， 又 因此不等式 的解集為 。 解： 對(duì) 恒成立 對(duì) 恒成立 對(duì) 恒成立， 三 . 解不等式 這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值，再通過函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào) “ ”，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。 （ 2）當(dāng) 時(shí)， （ 3）當(dāng) 時(shí)， 綜上所述，所求 的取值范圍是 。 解： 是偶函數(shù)，且在（ 0， 1）上是增函數(shù)， 在 上是減函數(shù)， 由 得 。 解：設(shè) 且 ， 則 ， 由條件當(dāng) 時(shí)， 又 為增函數(shù)， 令 ，則 又令 得 ， 故 為奇函數(shù)， ， 上的值域?yàn)? 二 . 求參數(shù)范圍 這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算式中，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉 “ ”符號(hào)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。 例 1 定義在 R 上的函數(shù) 滿足： 且 ，求 的值。 抽象函數(shù)問題的題型綜述 一 . 求某些特殊值 這類抽象函數(shù)一般給出定義域，某些性質(zhì)及運(yùn)算式而求特殊值。 例 5 已知定義在 [2， 2]上的偶函數(shù)， f (x)在區(qū)間 [0， 2]上單調(diào)遞減，若 f (1m)f (m),求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 分析：根據(jù)函數(shù)的定義域， m， m∈ [2,2]，但是 1 m 和 m 分別在 [2， 0]和 [0，2]的哪個(gè)區(qū)間內(nèi)呢？如果就此討論，將十分復(fù)雜，如果注意到偶函數(shù)，則 f (x)有性質(zhì) f（ x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一場(chǎng)大 規(guī)模討論。 證明： f (x) = f (x) = f [2(x)] = f (2 + x)， ∴ T=2。從圖上直觀地判斷，然后再作證明。 例 4 f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，且 f(x)=f(2x)，證明 f(x)是周期函數(shù)。 抽象函數(shù)解題時(shí)常要用到以下結(jié)論： 定理 1：如果函數(shù) y=f(x)滿足 f(a+x)=f(bx)，則函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于 x= 對(duì)稱。 解：令 = 1， =x，得 f (x)= f (1)+ f (x) …… ① 為了求 f (1)的值，令 =1， =1，則 f(
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