【正文】 3 = 36(1 + ln 3). 例 4 求冪函數(shù) f (x) = x n (n∈ N) 的導(dǎo)數(shù) . 例 6 求指數(shù)函數(shù) y = a x 的導(dǎo)數(shù) . 答案 : (x n )? = n x n1。3 x ln 3. 所以 g? (2) = (2x3 x + x2(3x)? = 2x 例 2 設(shè) g(x) = x2 (x n )? = n x n1. 4x3 + 5 39 v(x))? = u? (x) 177。 38 37 v(x))? = u? (x) 177。 36 35 例 12 判斷分段函數(shù) 在點 x = 0 是否可導(dǎo)． 解 因為 j (0+ ) = j (0) = 0, j (0 ) = 1, 故 j (x) 在點 x = 0 不連續(xù) , 從而在點 x = 0 必不可導(dǎo)． 2 1 , 0 。|| 1 , 0 .xx x ??? ? ? ?? 33 () 2 , 1 .xxgx xx? ??? ? ??2 , 1 。 32 2 , 1 。 例 11 設(shè) 求 g? (x). 續(xù)解 當(dāng) x = 1 時 , g(1)=2, 所以 , g? (1) = g?+(1) = 2, 從而 g? (1) = 2. 綜上所述 , 有 或 2 1 , 1 。() 2 , xx? ??? ? ??22020[ ( ) 1 ] ( 1 )( ) l im2 ( )l im2.xxx x xgxxx x xxx????? ? ? ?? ??? ? ????02( ) 2( ) l im 2.xx x xgxx??? ? ? ??? 30 1 , 0 ,xyxx???? ? ? ? ?? ?00( 0) l im 1 , ( 0) l im 1.xxyyffxx??? ? ? ?????? ? ? ?? ? 1 , 0 。 29 28 27 26 例 9 求雙曲線 的平行于直線 L: x + 4y + 5 = 0 的切線方程． 解 問題的關(guān)鍵是要求出雙曲線上的一點 , 在該點曲線的切線與 L 平行 . 設(shè)點 是雙曲線上這樣的點 . 由于 故雙曲線在點 P0 的切線 P0T 的斜率為 由于 P0T∥ L, 而 L 的斜率為 故 即 從而 x02 = 4, 即 x0 = 177。 例 8 設(shè)函數(shù) f (x) 在 x = a 點可導(dǎo) , 且 求 f? (a). 解 設(shè) Δx = 2h, 則 h →0 即 Δx →0, 所以 01l im .( 2 ) ( ) 4hhf a h f a? ?000( ) ( ) ( 2 ) ( )( ) l i m l i m21 ( 2 ) ( )l i m214 2.2xhhf a x f a f a h f afaxhf a h f ah? ? ??? ? ? ????? ? ? 例 7 求正弦函數(shù) y = sin x 的導(dǎo)數(shù)． 解 即 (sin x)? = cos x. 同理可證 , (cos x)? = sin x. 000si nsi n( ) si n 2l i m l i m 2 c os2si n2l i m c os c os .22xxxxx x x xyxxxxxxxx? ? ? ????? ? ???? ? ? ????? ??????? ? ?????? 例 6 求指數(shù)函數(shù) y = a x 的導(dǎo)數(shù)． 解 由 小節(jié) , 故 即 (a x) ? = a x ln a. 特別 , (e x ) ? = e x. 0 0 0( l n )01l i m l i m l i me1l i m .x x x xxx x xaxxxy a a ayax x xax? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ???0e1lim 1 ,hh h? ?( l n )0e1l im l n l n ,( l n )axxxxy a a a aax???? ??? 例 5 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) . 解 對任意的 x, x≠0, 1yx?0002111l im l im1l im()1.xxxy x x xyx x xx x xx? ? ? ??????? ??? ? ? ??????????? 例 4 求冪函數(shù) f (x) = x n (n∈ N) 的導(dǎo)數(shù) . 解 對任意一點 x 和它的增量 h, 由于 n 是正整數(shù) , 由二項式定理 , 有 所以 即 (x n )? = n x n1. 1 2 21 2 2()( 1 )2!( 1 ),2!nnn n n n nn n ny x h xnnx nx h x h h xnnnx h x h h? ? ? ??? ? ? ? ? ????? ? ? ?LL1 2 1 100( 1 )( ) l im l im ,2!n n n n nhhy n nx n x x h h n xh ??? ??? ? ? ? ? ? ????? L 例 3 求函數(shù) f (x) = C（常數(shù)）的導(dǎo)數(shù) . 解 在任意一點 x, 由于 Δy = f (x +Δx) f (x) = C C = 0, 故 f ?(x) = 0. 所以常數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒等于零 , 即 (C )? = 0. 如果函數(shù) y = f (x) 在開區(qū)間 I 中的每一點都可導(dǎo) , 則稱 函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I 上可導(dǎo) ． 這時 , 對每一個 x∈ I, f? (x) (x∈ I ) 可以看成是定義在 I 上的一個新的函數(shù) , 稱它為原來的函數(shù) f (x) 的 導(dǎo)函數(shù) （或簡稱 導(dǎo)數(shù) ） , 也可以說成 y 對 x 的導(dǎo)數(shù) , 并記為 y? 或 或 也可記為 或 注意 , 在這里 或 是一個整體 , ― ‖表示對 x 求導(dǎo) , 表示 y 作為 x 的函數(shù)對 x 求導(dǎo)． 由此可見 , f (x) 在點 x0 的導(dǎo)數(shù) f? (x0) 就是導(dǎo)函數(shù) f? (x) 在點 x0 的值 , 即 或 0( ) ( )( ) l im .xf x x f xfxx??? ? ? ??ddyxd ,dfxdd yxd ( ).d fxxddyxddfxddxdd yx00( ) ( ) | xxf x f x ????00d( ) .d xxyyxx ?? ? 小 知 識 他由于 1672 年和 1675 年發(fā)表的兩篇光學(xué)論文曾遭到了不同觀點學(xué)者的嚴厲批評 , 所以直到 1687 年才在天文學(xué)家 E. 哈雷的鼓勵和資助下發(fā)表了他的巨著 《 自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理 》 （三卷） , 其中包含它在微積分學(xué)方面的工作 . 他分別于 1669 年、 1671 年和 1676 年完成的三本關(guān)于微積分的著作直到 18世紀才正式出版 . 從現(xiàn)在的觀點來看 , 牛頓關(guān)于微積分的基本概念的闡述和運算方法的證論是不很清晰和嚴密的． 18 世紀達朗貝爾 (J. L. R. D?Alembert, 1717—1783）指出微積分的基礎(chǔ)可建立在極限的基礎(chǔ)上 , 導(dǎo)數(shù)的這個定義是波爾察諾于 1817 年和柯西于 1823 年給出的 . 小 知 識 牛頓生于英格蘭的一個小村莊 , 出生前即喪父 , 在地方學(xué)校接受初等教育 , 除對機械設(shè)計有興趣外未顯示出有特殊的才華 . 1661年他進入劍橋大學(xué)三一學(xué)院 , 受教于數(shù)學(xué)家 I. 巴羅 , 并做實驗 , 研究笛卡兒的 “幾何” 以及哥白尼、開普勒、伽利略、沃利斯等人的科學(xué)著作 , 1665 年獲文學(xué)士學(xué)位． 此后二年因躲避倫敦的鼠疫回到家鄉(xiāng) , 開始他在機械、數(shù)學(xué)和光學(xué)方面的偉大工作 , 其中包括解決微積分問題的一般方法 , 但他沒有及時發(fā)表所獲得的成果 , 1667年回到劍橋 , 當(dāng)選為三一學(xué)院的研究員 , 次年獲碩士學(xué)位 . 1669 年被委任接替巴羅任教授直至 1701 年 , 由于需處理一些技術(shù)問題 , 以及嚴重的神經(jīng)衰弱和經(jīng)濟方面的原因 , 于1696 年受命任皇家造幣廠監(jiān)督 , 1703 年任英國皇家學(xué)會會長 , 1705年受女王封爵 , 晚年潛心于自然哲學(xué)和神學(xué)． 小 知 識 牛頓 (I. Newton, 1642—1727), 偉大的英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家 . 他給出了求一個變量對另一個變量的變化率的普遍方法 , 而且證明了求面積的問題可以作為求變化率的反問題而得到解決 , 這就是現(xiàn)在所稱的微積分基本定理 . 雖然他的先驅(qū)者在特殊的例子中觀察到了這一點 , 但并未認識到它的普遍意義 . 可以說正是牛頓在先前許多杰出的數(shù)學(xué)家作出的貢獻的基礎(chǔ)上 , 以他的敏銳和洞察力 , 完成最后最高的一步 , 成就了微積分學(xué)的創(chuàng)建工作．在他的著述中 , 用的是無窮小量的方法 , 他所說的“瞬” , 就是無窮小量 , 或者微元 , 或者不可分的量 . 他將現(xiàn)在所說的導(dǎo)數(shù)稱為“流數(shù)” , 牛頓關(guān)于微積分的工作有鮮明的力學(xué)和幾何色彩． 在力學(xué)中 , 導(dǎo)數(shù) s? (t0) 表示直線運動 s = s(t) 在時刻 t0 的瞬時速度 , 即 v(t0) = s? (t0). ()′ 在實際應(yīng)用中 , 通常把導(dǎo)數(shù) 稱為變量 y 對變量 x 在點 x0 的 變化率 , 它表示函數(shù)值的變化相對于自變量的變化的快慢 . 這樣 , 曲線的切線的斜率可以說成是曲線上點的縱坐標(biāo)對該點的橫坐標(biāo)的變化率 , 速度可以說成是行走的路程對于時間的變化率 . 變化率有廣泛的實際意