【正文】 E=0+0+2πrh =Σqint/ε0 當 rR: Σqint=0 E=0 當 rR: Σqint=λh E=λ/(2πε0 r) 方向垂直軸線并沿徑向 . 無限長均勻帶電圓柱面 在 柱 面 內(nèi)的場強為零 ,在 柱面 外的 場強等效于將電荷集中在軸 線的 無限長均勻 線電荷產(chǎn)生 的場強 .其 E–r關系如圖 . 例 R帶電線密度為 λ 的 無限長均勻帶 電圓柱體在柱 內(nèi)外產(chǎn)生的電 場強度 . R r S 38 ? ?S SE d = ?上底 + ?下底 + ?側面 SE d?r O R E E=0+0+2πrh =Σqint/ε0 當 rR: Σqint=0 E=0 當 rR: Σqint=λh E=λ/(2πε0 r) 方向垂直軸線并沿徑向 . 無限長均勻帶電圓柱面 在 柱 面 內(nèi)的場強為零 ,在 柱面 外的 場強等效于將電荷集中在軸 線的 無限長均勻 線電荷產(chǎn)生 的場強 .其 E–r關系如圖 . 例 R帶電線密度為 λ 的 無限長均勻帶 電圓柱體在柱 內(nèi)外產(chǎn)生的電 場強度 . R 解 :因電荷柱 對稱 , 電場柱 對稱 : E 沿徑 向 , 且距軸線 r S ?1/r R r S r 相等處 E 大小等 . 過場點 作 同軸柱面 ,其高為 ? ?S SE d = ?上底 + ?下底 + ?側面 SE d?=0+0+2πrhE =Σqint/ε0 當 rR: Σqint =ρ(πr2h) =[λh/(πR2h)](πr2h) =λhr2/R2 電通量 高斯定理 39 r O R E R 解 :因電荷柱 對稱 , 電場柱 對稱 : E 沿徑 向 , 且距軸線 r S ?1/r r 相等處 E 大小等 . 過場點 作 同軸柱面 ,其高為 ? ?S SE d = ?上底 + ?下底 + ?側面 SE d?=0+0+2πrhE =Σqint/ε0 當 rR: Σqint =ρ(πr2h) =[λh/(πR2h)](πr2h) =λhr2/R2 電通量 高斯定理 當 rR: E=λr/(2πε0R2) Σqint=λh E=λ/(2πε0 r) 方向垂直軸線并沿徑向 . 無限長均勻帶電圓柱體 在 柱 體 內(nèi)場強與 r成正比 ,在 柱面 外場強等效于將電荷集中在 軸線的 無限長均勻 線電荷產(chǎn) 生的場強 .其 E–r關系如圖 . 例 σ 的無限大均勻帶電薄平板在空間產(chǎn)生的電場強度 . 解 : 因電荷面對稱 ,電場面對稱 : E 垂直帶電面 ,指向外 , 距帶電 面等距處 E大小等 . 過場點作柱 形高斯面如圖 40 當 rR: E=λr/(2πε0R2) Σqint=λh E=λ/(2πε0 r) 方向垂直軸線并沿徑向 . 無限長均勻帶電圓柱體 在 柱 體 內(nèi)場強與 r成正比 ,在 柱面 外場強等效于將電荷集中在 軸線的 無限長均勻 線電荷產(chǎn) 生的場強 .其 E–r關系如圖 . 例 σ 的無限大均勻帶電薄平板在空間產(chǎn)生的電場強度 . 解 : 因電荷面對稱 ,電場面對稱 : E 垂直帶電面 ,指向外 , 距帶電 面等距處 E大小等 . 過場點作柱 形高斯面如圖 σ E S ΔS O x σ/(2ε0) –σ/(2ε0) ? ?S SE d = ?左底 + ?右底 + ?側面 SE d?=EΔS+EΔS+0 =2EΔS Σqint=σΔS 電通量 高斯定理 41 σ E S ΔS O x σ/(2ε0) –σ/(2ε0) ? ?S SE d = ?左底 + ?右底 + ?側面 SE d?=EΔS+EΔS+0 =2EΔS Σqint=σΔS 電通量 高斯定理 由 ? ?S SE d =Σqint/ε0 得 E=σ/(2ε0) 考慮方向 ,有 x0, E=iσ/(2ε0)。 ? ?S SE d(3) 用高斯定理列方程 , 解方 程 ,指出場的方向 . 對稱性與對應高斯面 : 球對稱 :球電荷 柱對稱 :無限長柱電荷 面對稱 :無限大面電荷 柱 形 高斯面 球形高斯面 高斯面上的 E : ① 大小處處等 , E ?? dS。 rR: E=Qr/(4πε0r3) 均勻帶電球面在 球內(nèi)的 場強 為零 ,在球外的場強等效于將 電荷集中在球心 的 點電荷產(chǎn) 生的場強 .其 E–r關系如圖 . 用 高斯定理求場強的步驟 (1) 分析電荷與場的對稱性 。 (2) 選取合適的高斯面 (其目 的能將 寫成 ES )。 三 .高斯定理的應用 方程 2. 用高斯定理求電場強度 例 R帶電量為 Q的均勻帶電球面在球內(nèi)外產(chǎn)生的場強 . R Q 解 :由于電荷球對稱 ,必然電場球對稱 : E沿徑向 , 且距球心 r相等處 E大小等 . 過場點作與帶電球同心的球面 , S r 依高 斯定理 ,有 ? ?S SE d =Σqint/ε0 Q 4πε0R2 ?1/r2 r O R E 電通量 高斯定理 33 三 .高斯定理的應用 方程 2. 用高斯定理求電場強度 例 R帶電量為 Q的均勻帶電球面在球內(nèi)外產(chǎn)生的場強 . R Q 解 :由于電荷球對稱 ,必然電場球對稱 : E沿徑向 , 且距球心 r相等處 E大小等 . 過場點作與帶電球同心的球面 , S r 依高 斯定理 ,有 ? ?S SE d =Σqint/ε0 Q 4πε0R2 ?1/r2 r O R E 電通量 高斯定理 ? ?S SE d = ?S SEd =E ?S Sd=4πr2E 當 rR: Σqint=0 E=0 當 rR: Σqint=Q E=Q/(4πε0 r2) 考慮方向 E=Qr/(4πε0 r3) 故 rR: E=0。 (2)當 Σqint0, 有 Φe0. 表明有 電場線進入 S面 , 面內(nèi)有 負源 。 (3)當 Σqint=0, 有 Φe=0. 表明電 場線進入又穿出 S, 電場線連續(xù) 。d S=Σqint/ε0 ?S這說明通過閉合曲面的電通 電通量 高斯定理 量 只與曲面內(nèi)所包圍電荷的 代數(shù)和有關 , 與曲面的形狀 , 曲面外的電荷無關 . 注意 : 曲面上的電場強度與 面內(nèi)外所有電荷有關 . 靜電場是有源場 . (1)當 Σqint0, 有 Φe0. 表明有 電場線從 S穿出 , 面內(nèi)有 正源 。d S ?S=Σ[ Ed S ??S =0 將其分成若干點電荷 q=Σqi q激發(fā)電場 E是每個點電荷激 發(fā)電場 Ei 的矢量和 E=ΣEi Φe= Ed S] ?S=Σqint/ε0 Σqint是高斯面 S所包圍的電荷 . Ed S ?S = ΣEd S ?S =Q/ε0 (3)閉合曲面不包圍點電荷 S 電場線進入高斯 面又穿出高斯面 Φe= Ee= Ed S ?S= [Q/(4πε0r2)]dS ?S=[Q/(4πε0R2)] dS ?S =Q/ε0 (2)閉合曲面是包圍點電荷的 任意曲面 S 39。d S ??S =Φe= E Φ39。d S=EdScosθ =2πxQrdr/[4πε0(x2+r2)3/2] =xQrdr/[2ε0(x2+r2)3/2] Φe=dΦe= xQrdr/[2ε0(x2+r2)3/2] ?R0=[xQ/(4ε0)] d(r2+x2)/(x2+r2)3/2 ?R0=[xQ/(2ε0)][1/(x2+r2)1/2] R0=Q[1–x/(x2+R2)1/2]/(2ε0) 或用 通過圓面對應球冠面的電通 量來計算 : S=2πR0h =2π(R2+x2)1/2[(R2+x2)1/2–x] =2π [R2+x2–x(R2+x2)1/2] E=Q/(4πε0R02) =Q/[4πε0(R2+x2)] Φe=ES=Q[1–/(x2+R2)1/2]/(2ε0) 電通量 高斯定理 29 Φe=dΦe= xQrdr/[2ε0(x2+r2)3/2] ?R0=[xQ/(4ε0)] d(r2+x2)/(x2+r2)3/2 ?R0=[xQ/(2ε0)][1/(x2+r2)1/2] R0=Q[1–x/(x2+R2)1/2]/(2ε0) 或用 通過圓面對應球冠面的電通 量來計算 : S=2πR0h =2π(R2+x2)1/2[(R2+x2)1/2–x] =2π [R2+x2–x(R2+x2)1/2] E=Q/(4πε0R02) =Q/[4πε0(R2+x2)] Φe=ES=Q[1–/(x2+R2)1/2]/(2ε0) 電通量 高斯定理 三 .高斯定理 求過閉合曲面的電通量 1. 點電荷激發(fā)的電場 (1)閉合曲面是以 電荷為心的球面 S Φe= Ed S=EdScosθ =2πxQrdr/[4πε0(x2+r2)3/2] =xQrdr/[2ε0(x2+r2)3/2] 28 (1)電通量 ?e是標量 ,不是矢量 。dS (2)過某曲面 S的電通量 ?e ?e= ??S SE c o sd ? ?? S SE d 電通量 高斯定理 (1)電通量 ?e是標量 ,不是矢量 。dS (2)過某曲面 S的電通量 ?e ?e= ??S SE c o sd ? ?? S SE d 電通量 高斯定理 27 (1)起于正電荷終于負電荷； (2)不閉合 ,不相交 ,連續(xù) . E dS 39。 負 ,收斂 . (球對稱 ): (3)無限大帶電平面 平行 ,等距 (2)兩點電荷 起于正終于負 . (1)起于正電荷終于負電荷； (2)不閉合 ,不相交 ,連續(xù) . E dS 39。 電通量 高斯定理 E=d?e/dS ? dS?⊥ E, 即 dS ?∥ E. 3. 幾種特殊電場的電場線 (1)點電荷 正 ,發(fā)散 。 大小 : 用疏密表示 疏 ,E小 . 密 ,E大 。 電場線數(shù)密度 d?e/dS ? dS n dS39。 R/ 2 電場和電場強度 例 3求半徑為 R帶電為 Q的均勻圓盤軸線上的場強 . O P 解 : 取中心軸為 x x軸 ,圓環(huán)元電荷 r dr dq=?2?rdr dE dE=dqx/[4??0(x2+r2)3/2] dE= x?rdr/[2?0(x2+r2)3/2] ?R0E=? = ? xd(x2+r2)/[4?0(x2+r2)3/2] ?R0=[? /(2?0)][1–x/(x2+R2)1/2] =[Q/(2??0R2)][1–x/(x2+R2)1/2] 當 x?R,無限大帶電平面 E=?/(2?0) 20 例 3求半徑為 R帶電為 Q的均勻圓盤軸線上的場強 . O P 解 : 取中心軸為 x x軸 ,圓環(huán)元電荷 r dr dq=?2?rdr dE dE=dqx/[4??0(x2+r2)3/2] dE= x?rdr/[2?0(x2+r2)3/2] ?R0E=? = ? xd(x2+r2)/[4?0(x2+r2)3/2] ?R0=[? /(2?0)][1–x/(x2+R2)1/2] =[Q/(2??0R2)][1–x/(x2+R2)1/2] 當 x?R,無限大帶電平面 E=?/(2?0) 例 R的半球面 ,均勻地帶有電荷 ,電荷面密度為 ?.求球心處的電場強度 . O 解 : x 取環(huán)帶微元 ? dq=?dS =?2?(Rsin?)Rd? =2??R2sin?d? dE dE=dqx/[4??0(r2+x2)3/2] ? ?3024c o sds i n2RRR????????=?sin?cos?d?/(2?0) ? ??? /23 2 02dc o ss i n?? ?????E ? ?04/ ??? 電場和電場強度 21 例 R的半球面 ,均勻地帶有電荷 ,電荷面密度為 ?.求球心處的電場強度 . O 解 : x 取環(huán)帶微元 ? dq=?dS =?2?(Rsin?)Rd? =2??R2sin?d? dE dE=dqx/[4??0(r2+x2)3/2] ? ?3024c o sds i n2RRR????????=?sin?c