【正文】 應(yīng)強(qiáng)度 的單位常常寫成 韋伯 /米 2 。 根據(jù)式 (),在 MKSA單位制中磁通量 的單位是 特斯拉 那么，上述磁感應(yīng)線的特點(diǎn)是否也可以精確地用數(shù)學(xué)公式 表述出來呢？下面就來解決這個問題。在第一章中我們已看到，把上 述的電力線的特點(diǎn)進(jìn)一步精確地表述成兩個定理 ,對于我們研究電場的分布是很有幫助 的。靜電場的電力線總是起始于正電荷，終止于負(fù)電荷 ,它們永遠(yuǎn)不形成 閉合曲線。 2中列舉的各種情形里可以看到，電流產(chǎn)生的磁場有一些共同特點(diǎn)： (1)磁感應(yīng)線都是閉合曲線或伸向無限遠(yuǎn)； (2)閉合的磁感應(yīng)線和載流回路象鎖鏈的各 環(huán)那樣相互套連在一起； (3)磁感應(yīng)線和電流的方向相互服從右手定則；若以右手伸直 的姆指代表電流的方向，則彎曲的四指沿磁感應(yīng)線方向 (圖 417)；反之 ,彎曲的四指沿 電流方向時 ,則姆指指向磁感應(yīng)線方向 (圖 423)。因 此 ,無限長的密繞螺線管是這樣一種理想的裝置 , 它產(chǎn)生一個均勻磁場 ,并把它全部限制在自己內(nèi)部。應(yīng)當(dāng)指出的是，除了端點(diǎn)附近，在 一個長螺線管外部的空間里，磁感應(yīng)線很稀疏， 這表示磁場在那里是很弱的。 對于有限長的螺線管來說，只要 ，上述式 ()和 ()也近似地適用。這結(jié)果是可以理解的，因 為我們可以設(shè)想將一個無限長的螺線管從任何地方截成兩半，這兩半在這里產(chǎn)生的磁場 的方向相同。其 實這結(jié)論不僅適用于軸線上，在整個無限長螺線管內(nèi)部的空間里都是均勻的 (見 )， 其磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 ，方向與軸線平行。 下面我們考慮兩個特殊情形： （ 1）無限長螺線管 ，因而 () 即 B大小與場點(diǎn)的坐標(biāo) 無關(guān)。 20 22 2 3 2224 [ ( ) ]LLR I nd lBR x l? ?? ?? ???22() si nRr R x l ?? ? ? ? cosx l r ??? ?cotxlR ?? ? 2sindl dR ???l ?2100 122 s i n 2 ( c o s c o s )44B n I d n I????? ? ? ? ? ???? ? ??1? 2? ? 2lL?? 1cos? 2cos?x1222c os()2LxLRx?????2222c os()2LxLRx????? 載流螺線管中的磁場 將上式代入式 (),即得螺線管軸線上任一點(diǎn) 的磁感應(yīng)強(qiáng)度。整個螺線管在 點(diǎn)產(chǎn)生 R LnxO dl ndlPdlndlx P P202 2 3 224 [ ( ) ]RId B n d lR x l? ??? ?? 載流螺線管中的磁場 的總磁場為 令 ， ， 角的幾何意義見圖 426b。取螺線管的軸線為 軸，取其中 點(diǎn) 為原點(diǎn) (圖 426b),則在長度 內(nèi)有 匝 , 每匝在場點(diǎn) 產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度都沿軸線方 向 ,其大小都可利用式 ()來計算。設(shè)螺線管的半徑為 ，總長度為 ，單 位長度內(nèi)的匝數(shù)為 。 02 2 2 200c o s , s i n , 2 ,rR d l RR r R r? ? ?? ? ??? ?22002 2 3 2 2 2 3 20024 ( ) 2 ( )R I R IBR r R r????????0 0r ? 00242 IIB RR??????0rR??22003300242RIRIBrr?????? 載流圓線圈軸線上的磁場 載流螺線管中的磁場 繞在圓柱面上的螺線形線圈 (圖 426a)叫 做 螺線管 。此外，為了便于記憶， 圖 423中還給出另一個右手定則，用它可以判斷載流線圈的磁感應(yīng)線方向。為 了給同學(xué)們一個較全面的印象，圖 422顯示了通過圓線圈軸線的平面上磁感應(yīng)線的分布 圖。對于整個圓周來 說也是一樣，由于每個直徑兩端的電流元產(chǎn)生的元 磁場在垂直軸線方向一對對地抵消，總磁感應(yīng)強(qiáng)度 Ｂ 將沿軸線方向，它的大小等于各元磁場沿軸線分 量 的代數(shù)和，即 根據(jù)畢奧 薩伐爾定律， ，對于軸上場點(diǎn) ， ， 。 1? 2? 1A 2A ?1 0? ? 2???0r002IBr???l0rl?? 載流圓線圈軸線上的磁場 設(shè)圓線圈的中心為 ,半徑為 ,其上任意點(diǎn) Ａ 處的電流元在對稱軸線上一點(diǎn) 產(chǎn)生 元磁場 ,它位于 平面內(nèi)且與 聯(lián)線垂直 ,因此 與軸線 的夾角 (見圖 421)。然而若在閉合回路中有一段長度為 的直導(dǎo)線， 在其附近 的范圍內(nèi)式 ()近似成立。 若導(dǎo)線為無限長， ， ，則 () 以上結(jié)果表明，在無限長直導(dǎo)線周圍的磁感應(yīng)強(qiáng)度 Ｂ 與距離 的一次方成反比。對于有限長的一 段導(dǎo)線 來說 從場點(diǎn) 作直線的垂線 ,設(shè)它的長度為 ,以垂足 為原點(diǎn) , 設(shè)電流元 到 的距離為 ,由圖 418可以看出： 。 根據(jù)畢奧 薩伐爾定律可以看出，任意電流元 產(chǎn)生的元磁 場 的方向都一致 (在 點(diǎn)垂直于紙面向內(nèi) )。 下面我們利用式 ()和它的積分形式 () 來計算一些特殊形式的載流回路產(chǎn)生的磁場。按照式 (), 垂直于 和 構(gòu)成的平面 (圖中有陰影的平面 ),所以它沿著以 方向為軸線的圓周切線 方向 ,或者說在每個垂直截面內(nèi)磁感應(yīng)線是圍繞喲軸線的同心圓。寫成微分形式 ,則有 () 整個閉合回路產(chǎn)生的磁場是各電流元所產(chǎn)生的元磁場 的矢量疊加。從磁感應(yīng) 線的方向規(guī)定可知，磁棒的磁感應(yīng)線是從Ｎ極出發(fā)走向Ｓ極的；螺線管在外部空間產(chǎn)生 的磁感應(yīng)線與磁棒的磁感應(yīng)線十分相似，它從螺線管的一端 (稱作等效Ｎ極 )出發(fā)走向另 一端 (稱作Ｓ極 ),但在內(nèi)部矛盾卻是從Ｓ極走向Ｎ極的。實驗上顯示磁感應(yīng)線要比電力線容易得多，只要把一塊玻璃板 (或硬紙 )水平放置 在有磁場的空間里，上面撒些鐵屑，輕輕地敲動玻璃板，鐵屑就會沿磁感應(yīng)線排列起來。 正象電場的分布可借助電力線來描述一樣 ,磁場的分布了也可用磁感應(yīng)線來描述。用此式計算各 種回路產(chǎn)生的磁場分布，正是下節(jié)要討論的內(nèi)容。 現(xiàn)在我們來看電流產(chǎn)生磁場的公式 ()。 目前在實際中不少人還習(xí)慣用另一個單位 —— 高斯，用 表示。 １特斯拉＝１牛頓／安培 米。一經(jīng)把式 ()拆 成式 ()和 ()中的 Ｂ 和 就可以有更廣的含義了 ,即此處 Ｂ 的場源可不再限于某 個載流回路 ,它可以是任何產(chǎn)生磁場的場源 (如磁鐵等 )。我們定義空間這一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 （ ） 這時， Ｂ 矢量的方向沿試探電流元不受力時的取向。將試探電流元 轉(zhuǎn) 90176。這就是說，當(dāng)我們把試探電流元放在磁場中某處時，它受到的力與試 22Idl 2dF 1dl22Idl1L? ? ? ?11001 2 2 1 12 1 1 122 2 22212 12? ?()44LLI I dl dl r I dl rdF I dlrr????? ? ?? ? ???2 2 2dF I dl B??? ?10 1 1 1 2212?4 LI d l rBr???? ?2 2 2 s indF I dl B ??? 22Idl 0??? 或 sin 0?? 2 0dF? 2???sin 1?? 2dF 磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量 B 探電流元的取向有關(guān)。 先看 Ｂ 的定義式。式 ()是閉合回路 在電 流元 所在位置產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的公式。 本是某個閉合回路 一部分，整個回路 對試探 121 2 1 220 1 21 ?4qqFrr???12F 1q 2q12r 12?r12 2F q E? 2E F q?1 1220 1 21 ?4qErr???1q 2q0 1 2 2 1 1 212 212?()4I I d l d l rdFr?????22Idl 1dl 1L 1L 磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量 B 電流元 的作用力 應(yīng)是上式 的積分： () 上式中后面一步的推導(dǎo)用到矢量矢積的分配率。 在磁場的情形里，相當(dāng)于靜電庫侖定律的基本規(guī)律是安培定律。出發(fā)點(diǎn)是庫侖定律： 式中 為點(diǎn)電荷 給點(diǎn)電荷 的力 , 為從電荷１到電荷２的矢量， 是沿此方向的單 位矢量。同樣，為了定量 地描述磁場的分布，我們也需引入一個矢量。 有了電流的單位安培之后，可以反過來定比例 系數(shù) 的量綱?；芈返男螤畈捎靡粚ζ叫械墓潭▓A線圈 A、 B 和一個動線圈 C，它們之間的作用力用圖 414所示的天平來測量。 實際中根據(jù)上述定義來測量時 ,當(dāng)然不能用兩個電流元，而是用閉合回路。我們可以用平行電流 元為例加以具體說明。米 /秒，長度 、 和 的單位為米。 “ 安培 ” 這個基本單位的定義和絕對測量 ,正是以安 培定律式 ()為依據(jù)的?？梢宰C明：若將 式 ()沿閉合回路積分 ,得到的合成作用力總是與反作用力相等、方向相反的。 以上例題表明 ,由式 ()確定的電流元之間的相互作用力不一定滿足牛頓第三定律。 【 解 】 計算電流元１給電流元２的作用力 時， ，故得 。 【 解 】 計算電流元１給電流元２的作用力 時， 式中 ， 垂直紙面向里， 沿聯(lián)線與 方向相反，即電流元 1給 電流元 2以吸引力，其大小為 12?r 12r1 2 2 1 1 212 212?()I I d l d l rd F kr???1 12?dl r? 1 1 2 1 1 1? s i n s i nd l r d l????n 2dl 1 12?dl r?2 1 1 2 2 2 1 1 2? s i n ( s i n ) s i nd l d l r d l d l? ? ?? ? ?2 1 1 2?()dl dl r??12dF12dF21dF12dF122 , 2? ? ? ??? 1 12?dl r?2 1 1 2?()dl dl r?? 12r 安培定律 同理可以得到電流元 ２ 給電流元１的作用力 ，我們發(fā)現(xiàn)這時 。將式 ()中的下標(biāo)１和２對調(diào) ,即可得電流元２給電流元１作用力 的表達(dá)式。雙重 矢積 的方向即為 的方向，我們已按矢積的右手定則標(biāo)在圖 411b中。式 ()中矢積 的大小為 ,按 照矢積的右手定則 ,它的方向沿著圖 411b所示法線 。這里還必須說明 1 12//dl r 1 0? ? 1 12dl r? 1 2???2dl 1dl 12r?2dl? n2?1 2 2sindF ??2dl?2 0? ? 2dl?2 2???1 2 1 2 1 212 212s i n s i nI I d l d ldFr???1 2 1 2 1 212 212s i n s i nI I d l d ld F kr???k12dF 1dl 12r?2dl 安培定律