【正文】 00 ( 1 4 ) ( ) ( 1 4 ) ( 1 4 )m Nm Nxm m m xg x d x P x x x d x x d x?????? ? ? ? ? ? ?? ? ?110)1()1(2??????????????nmnmnmNNl mn2 132411 ( 1 )1mm N Ng?? ?????????1mm Nx ??? ?10 ()m n m nl L T x x d x????? ?1 110 ( ) ( 1 ) ( ) 2 ( ) ( )m n n nP x x N x x x x x x d x? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ??情況 1： N=1 考慮到對比： 則有 和 的對比如圖 51713所示。 試用以三角函數(shù)作為展開函數(shù)，脈沖函數(shù)作為權(quán)函數(shù)的矩量法求解。 (51732) 有了以上基礎就可以把三角形函數(shù)的導數(shù)用階梯函數(shù) H表示，具體為 (51733) [ ( ) ] ( )iid H x x x xdx ?? ? ?? ?1 1 1 11 1 1 111()( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i i iii i i ix x x x x x x xdT x xdxH x x H x x H x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ?( ) 1ix x dx???????( ) ( ) ( )iif x x x d x f x???????圖 51712給出形象的幾何表示。引入如圖 51710所示的階梯函數(shù) H(xxi)，其定義為 ? ?)(01{)(1,11,11??????????? ?iiiixxxxi xxxxxxxxT iii)()(1nNnn xxTxu ?? ???圖 5179 分段三角形函數(shù)所得的折線包絡 圖 51710 H(xxi) 函數(shù) 121()0iiiixxH x x x xxx???? ? ??? ?? (51728) 再引入大家熟悉的 Diracδ函數(shù)，也即脈沖函數(shù)，其定義為 (51729) ()0iiixxxxxx?????? ???如圖 51711所示。 若采用三角形函數(shù)展開未知函數(shù) ｕ (x)，則有 (51727) 所得的 解的合成相當于折線連接 ，分段三角形函數(shù)所得的折線包絡如圖 5179所示。 一般的脈沖函數(shù)可以表述為 112 ( 1 ) 2 ( 1 )112 ( 1 ) 2 ( 1 )( , )1( ) {0 ( , )ii NNiii NNx x xP x xx x x????? ? ???? ? ?(51726) 式 (51726)表示以 ｘ i為中點，密度為 1/(N+1)的脈沖函數(shù)，在實際情況下，密度可以根據(jù)問題靈活改變，如圖 5177所示。因為大多數(shù)良態(tài)函數(shù) (不做高速振蕩 )均可以采用有限段直線或樣條加以逼近，如圖 5176所示。但是，隨之而來的如何確保解的收斂性的問題卻值得人們重視。所以在矩量法中，研究最佳點選配將是一個十分有意義的課題 。這一點可以從數(shù)值積分看出。因此當 N逐漸變大時計算量無法節(jié)約。 [解 ] 設 ，可得到 在這個例子中取 函數(shù)為權(quán)函數(shù)即 其中， 是這個問題的選配點，于是有 222d ( ) 1 4 , ( 0 ) ( 1 ) 0dux x u ux? ? ? ? ?1() nnu x x x ???21221d[ ( ) ] 1 4dNnnnx x xx? ??? ? ? ???(), 1 , 2 , .. .,1mmmxxmx m NN?? ??????????mx121[ ( 1 ) ] 1 4Nnnnn n x x? ??? ? ??1110, ( ) ( 1 ) ( ) d ( 1 ) ( )1nnm n m n mml L u n n x x x x n nN?? ??? ? ? ? ? ? ? ???1220, ( 1 4 ) ( ) d 1 4( )1m m mmg g x x x xN??? ? ? ? ? ? ? ???歸結(jié)起來，可寫出 1( 1 ) ( )1nmnml n nN????21 4( )1mmgN?? ?情況 1: N=1 1 1 1122 , 2()uxlgxx?? ???? ? ?????? ? ????????情況 2: N=2 121322 92 4 259???????????????????? ?? ??????121 3 1421 9 1 82 2 2 6 2493??? ? ? ?? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ??? ?????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 3 2 31 2 13 1 2( ) ( ) ( )18 3 18 18 3u x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ?情況 3: N=3 1233 3 522 4 42 3 3 29 2 7 1 322 4 4???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?可以得出 ??????????????????????????????????????????????3121413452921549427427321023631292???)(312165)(31)(21)( 04242 xuxxxxxxxxu ????????對于點選配情況 N=3，又一次回復到精確解。 , ( )m n m nl L u?? ? ?D irac ?? [例 3] 任研究 。 點選配是一種最簡單而最典型的選配函數(shù)。 矩量解的曲線如圖 5175所示。在 = 的特殊情況下，可稱為 Galerkin(伽略金 )法 ， 于是矩量法也稱為廣義 Galerkin法。 如果展開函數(shù)的數(shù)目與權(quán)函數(shù)數(shù)目相等，則可把式(51720)寫成矩陣形式 (51721) 其中 (51722) 于是可以解出 (51723) ,g?12, , , N? ? ?1, ( ) ,NnnnmmL u g? ?????1 , 2 , ,mN?g ()nLum n n mlg? ?, ( )m n nml L u??1n m n mlg? ??若規(guī)定函數(shù)矩陣 (51724) 于是待求的函數(shù)為 (51725) 矩量法的一般過程的數(shù)學表示如圖 5174所示。 ? ?T現(xiàn)在規(guī)定適當?shù)膬?nèi)積 。這里且寫出 (51719) 而 1Nuuu???????????為 展 開 函 數(shù)1Nnnnu??? u1()NnnnL u g????從算子方程 (51717)到式 (51719)即構(gòu)成離散化過程。一般來說，基函數(shù)是一無限展開。式 (51717)中 是已知的 激勵函數(shù) ， 為 未知函數(shù) 。這一點在概念上十分重要。 (2) 電磁理論中計算的矩陣單元，一般均表示某個源在一個區(qū)域所產(chǎn)生的場，而實際產(chǎn)生的場往往都隨著源的距離增加而減少。因此，原問題必須屬于線性算子范疇。但必須能抽象成 算子方程 。 1S1S2S2S11l22l12l21l11( , )xy11( , )xy22( , )xy22( , )xy121122011122201121220221 ( 5 17 10)4 ( ) ( )1 ( 5 17 11)4 ( ) ( )1 4 ( ) ( )