【正文】 數(shù)求導(dǎo)規(guī)則，還 有 ,其中 為任何常數(shù) . Cz? .0?zezei?2ziz ee ?? ?2? ? zz ee ???? ie x ??? ? xixe z ??????? ??azaz aee ??)( a ? 既然指數(shù)函數(shù)可以推廣到復(fù)指數(shù)情形，自然想到三角函數(shù)也可以推廣到復(fù)變元情形 .事實(shí)上，利用 的泰勒展式，我們定義 （ ） 易證這兩個級數(shù)對任何 是絕對收斂的，所以確有意義 .由此還可把歐拉公式 推廣為 ， .（ ） 由此出發(fā)，也可定義 等等 xx sin,co sCzzzzzzzzz??????????????????!5!3s i n!4!1c o s5342z? ?39。???? ? 2zzf ? z0???zf zzf 2??? 2z? ? zz 239。 ?f 22 yxxu ??22 yxyv ?? ? ?0,0f 0z? ?zf D D? ?zf D ? ?zfD ? ?zf 我們指出一種方便的記號 .一個復(fù)函數(shù) （不一定要求其解析）實(shí)際上也可看成兩實(shí)變元 的復(fù)值函數(shù) .因?yàn)? ， ， （ ） 所以 又可看作 的復(fù)值函數(shù)，因此我們可作形式的運(yùn)算定義如下： ， （ ） ? ? ? ?iyxfzf ????yx,? ? ??yxf ,:? ?zzx ?? 21 ? ?zziy ?? 21f zz,??????????????????????????yfixfzyyfzxxfzf21..??????????????????????????yfixfzyyfzxxfzf21.. 由于 ，故有 . 因此， ， （ ） . 由此可見，如果 （在某區(qū)域內(nèi)）解析，由 件（ ），可得 . ivuf ??xvixuxf???????? yviyuyf ??????????????????????????????????????yuxviyvxuzf221??????????????????????????????yuxviyvxuzf221? ?zf0???zf 反之，如果 ，則 .這樣，函數(shù) 解析的充要條件為 可微且 .另一方面，如果 解析，由 .可見， 如果 解析，則 . 以上這種形式運(yùn)算對檢驗(yàn)函數(shù)的解析性和求導(dǎo)非常方便 . 例如，設(shè) ，則由于表達(dá)式中不出現(xiàn) ， 故 ， .因此得知 在全平面解析， 且 ，這我們早知道 . 0???zf ? ?zfvu, 0???zf? ?zf ? ?zfxvixuzf 39。千萬不要和 在 處可導(dǎo)混淆。 zf? ?zf 0z? ? 0039。 zf ? ?039。arg zf 例如從 出發(fā)的一條曲線 L如經(jīng)映射成為 平面上從 出發(fā)的一條曲線 C，則 L在 處的切線方向經(jīng)旋轉(zhuǎn) 后就是 C在 處的切線方向 .由此還可推知，從 處出發(fā) 的兩條曲線 經(jīng)映射成 平面上從 出發(fā)的兩條 曲線 時，它們之間的夾角不變 .此性質(zhì)稱為映射 在 處的保角性 . 0z? 0?0z ? ?039。arg zf ?? ? z??? ? ? ?039。 zf ? ?zf?? 0z? ?039。 zfz ??? ?0z zz ??0 z?0? ?? ??0 ?? ??? ?039。 zfz ??? ? z? z 0z? ?039。 zf ? ?039。 oyxivyxu xx ??? ?039。 ,???zf ? ? ? ? ? ?1, 0039。 ,viuf ?????? ? ? ?? ?? ? ? ?zoyixyxivyxu xx ??????? 0039。 ,? ? ? ? ? ?zoyyxvxyxvv yx ??????? 0039。 , yxuyxv yx ?? 充分性 設(shè) 在 處可微，且（ ）成立 .這時，可寫 ， . 于是由（ ）知， . 因而 ， 亦即 存在 .證畢 . 02 vu, ? ?00 , yx? ? ? ? ? ?zoyyxuxyxuu yx ??????? 0039。 , yxvyxu yx ? ?? ? ? ? ?0039。? ? ? ?zozif ?????? ?? ? ?0??z? ?? ? ? ?zoyixiviu ?????????? ??? ?zoyxu ??????? ??? ?zoyxv ??????? ??vu, ? ?00 , yx dydxdvdydxdu ???? ???? ,?? ? ? ? ?0039。 , yxvyxu xy ??? 這時， 可由（ ）或（ ）表出，條件（ ）稱為 柯西 黎曼 （ CauchyRiemann）條件，簡記為 件 . ? 由此可見，隨便取兩個一階偏導(dǎo)數(shù)存在的二元實(shí)函數(shù) ，不能配成可導(dǎo)的 . ? 可導(dǎo)和 的可微性有密切關(guān)系 .事實(shí)上，我們有： ? 定理 函數(shù) 在 處可導(dǎo)（或即可微）的充要條件為 在 處可微，且 （ ）成立 . ? ?039。 , yxvyxu yx ? ? ? ? ?0039。 zf ? ?yxu , ? ?yxv ,? ?00, yx? ? ? ?0039。039。 , yxivyxuzf xx ??0???? yiz? ? ? ? ? ?0039。0039。 ,l i m? ? ? ? ? ? ? ?xyxvyxxvixyxuyxxuxx ??????????????0000000000,l i m,l i m? ?039。 ?? nn nzz n? ?zf 0z ? ?zf 0z? 另一方面，可導(dǎo)的定義（ ）其內(nèi)容比實(shí)分析中導(dǎo)數(shù)的定義復(fù)雜的多，對函數(shù)的要求也高得多 .因?yàn)椋趯?shí)分析中，求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)時，只要求左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等即可，而現(xiàn)在（ ）式是一個全面極限： 實(shí)際上就是 ；又因 ，所以（ ）實(shí)際上是有關(guān)兩個二元函數(shù) 和 的全面極限 . ? 從 的存在，立即可推知 和 在 處的一階偏導(dǎo)數(shù)存在，這是因?yàn)椋喝绻冢?）中令 以特殊方式趨于 0時，可知 0??z 0,0 ???? yx? ? ? ? ? ?yxivyxuzf , ??? ?yxu , ? ?yxv ,? ?039。0 ? ?dzzf 039。 zz??0??z 0??z 也稱 或 為在 處的 微分 ，故也稱 在 處 可微 . 由于（ ）和（ ）與實(shí)分析中的相似，且極限運(yùn)算法則也相似，因此實(shí)分析中有關(guān)求導(dǎo)的一些運(yùn)算法則這里也成立，例如有關(guān)兩復(fù)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，復(fù)合函