【正文】 于是由 (3)式得 22z x y dVW +蝌 ? 2 1 100215rd r d r z r d zp qp==蝌 ? 利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 設(shè) ( , , )M x y z 、 ( , , )Mrjq 分別為直角坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系 上點(diǎn) M 的坐標(biāo)，點(diǎn)M 的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系為 16 c os c os si n ,si n si n si n ,c osx O P ry O P rzrq q jq q jj236。 特征 2 過 xyD 上任意點(diǎn)做平行于 z 軸的直線與 W的邊界曲面的交點(diǎn)不多于兩 個(gè) , 沿著 z 軸的方向 ,先交的點(diǎn)所在的曲面就是下邊界曲面 , 后交的點(diǎn)所在的曲面就是上邊界曲面 。 == 229。 201 ln 2 ln 22 pqp=? 三重積分的概念及其計(jì)算方法 三重積分的定義 定積分及二重積分作為和的極限的概念，可以很自然的推廣到三重積分 . 定義 設(shè) ( , , )f x y z 是空間有限閉區(qū)域 W上的有界函數(shù) .將 W任意分成 n 個(gè)小閉區(qū)域 12, , , ,nv v v鬃 ? 其中 iv 表示第 i 個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的體積 .在每個(gè) iv 上任取一點(diǎn) ( , , )i i ix h z ，作乘積 ( , , )i i i ifvx h z ( 1,2, , )in= 鬃 ? 并作和1 ( , , )ni i i ii fvx h z=229。 轉(zhuǎn)化 . 因?yàn)? yxD : ( 1 . 00 , 1 . 00 )O yx( 1 , 1 )O 9 110( ) ( )xI dx f x f y dy= 蝌 100( ) ( ) .ydy f x f y dx= 蝌 100( ) ( ) .yf y dy f x dx= 蝌 100( ) ( )xf x dx f y dy= 蝌 所以 1102 ( ) ( )xI f x dx f y dy= 蝌 100( ) ( )xf x dx f y dy= 蝌 11 200( ) ( )f x d x f y d y A==蝌 所以 22AI= 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 有些二重積分，積分區(qū)域 D 的邊界曲線 用極坐標(biāo)方程來表示比較方便，且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量 ,rq表示比較簡(jiǎn)單 .這時(shí)，我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來計(jì)算二重積分 ( , )D f x y ds蝌 假定區(qū)域 D 的邊界與過極點(diǎn)的射線相交不多于兩點(diǎn)，函數(shù) ( , )f xy 在 D 上連續(xù) .我們采用以極點(diǎn)為中心的一 族同心圓： r= 常數(shù)，以及從極點(diǎn)出發(fā)的一族射線： q= 常數(shù)，把區(qū)域 D 劃分 成 n 個(gè)小閉區(qū)域（見圖 14），設(shè)其中一個(gè)典型小閉區(qū)域 s （ s 同時(shí)也表示該小閉區(qū)域的面積）是由半徑分別為 r 和 rr+ 的同心圓和極角分別為 q 和 qq+ 的射線所確定，則 s 2211()22r r rqq= + ? ? 1 ( )( 2 ) r r rr r r rqq++= + ? ? rrq蛔 ? 于是，根據(jù)微元法可得到極坐標(biāo)下的面積微元 d rdrdsq= 注意到直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 c os , si nx r y rqq==， 從而得到在直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下二重積分的轉(zhuǎn)換公式為 ( , ) ( c o s , s in )DDf x y d x d y f r r r d r dq q q=蝌蝌 . 同樣的，極坐標(biāo)中的二重積分也可以化為二次積分來計(jì)算的 . DAO yxDrO 10 TU 圖 14 圖 15 例 1 計(jì)算221D dxdyxy++蝌，其中 D 是由 221xy+?所確定的圓域 . 解 積分區(qū)域 D 如圖 15 所示，它在極坐標(biāo)下積分限為 0 1, 0 2r qp＃＃ ，所以 221D dxdyxy++蝌212901rdrd rp q=+蝌2 12001 ln (1 )2 rdp q輊=+犏臌242。 中，由于 ()fy是抽象函數(shù)，故無法計(jì)算，可考慮交換積分次序，但交換積分次序后，0()y f xdx242。 2100()x ye f xdx dyx蝌 2 2100y yedy dxx= 蝌 2 2 211000 12 2 1y y ye x d y y e d y e= = = 蝌 3. 被積函數(shù)中若含有抽象函數(shù)，則一般應(yīng)交換積分次序 . 例 3 設(shè)函數(shù) ()fx在 []0,1 上連續(xù)，并設(shè) 10()f x dx A=242。 2100()x ye f xdx dyx蝌 ，其中 2ye dy242。 ，求 . 10()f x dxI x= 242。 29 yxDO 2x1 yxDO12y 8 點(diǎn)評(píng)：由 于 2y xydy242。 易于求解，因此積分次序應(yīng)該選為先 x 后 y，即 2D y xydxdy蝌= 1 200ydy y xydx蝌 = 1 3200 2 ()3 yy y x dy242。42218yy輊犏=犏臌118= 圖 10 圖 11 積分次序的正確選擇 一般說來，積分次序的確定有以下原則： 1. 當(dāng)兩種積分次序均可計(jì)算時(shí)，應(yīng)選擇使積分運(yùn)算更簡(jiǎn)單的積分次序 . 例子 2D y xydxdy蝌，其中 D是由直線 , 1, 0y x y x= = =所圍成的平面區(qū)域 . 解：積分區(qū)域如圖，顯然， 2y xydx242。 422184xx輊犏=犏臌118= 解法 2 如果將積分區(qū)域 視為 Y型 的（見圖 11），則積分區(qū)域 D 的積分限為1 2, 2y y x＃＃ ，所以 D xyds蝌= 221 y xydx dy????????221 y xydx dy輊= 犏犏臌蝌 22 21 2 yxy dy輊犏= 犏臌242。 ，這只是為幾何上說明方便而引入的條件，實(shí)際上，公式（ 2）的成立不受此條件的限制 . 類似地，如果積分區(qū)域 D 為 Y型區(qū)域： { }12( , ) , ( ) ( )x y c x d y x yyy＃＃， 則有 ( , )D f x y dxdy蝌21()() ( , )dycydy f x y dxyy= 蝌 上式右端的積分稱為先對(duì) x 后對(duì) y的二次積分 . 如果積 分區(qū)域 D 既不是 X型區(qū)域又不是 Y型區(qū)域，我們可以將它分割成若干塊 X型區(qū)域或 Y型區(qū)域（見圖 8）然后在每塊這樣的區(qū)域上分別應(yīng)用公式（ 2）或（ 3），再根據(jù)二重積分對(duì)積分區(qū)域的可加性，即可計(jì)算出所給二重積分 圖 8 圖 9 如果積分區(qū)域 D 既是 X型區(qū)域又是 Y型區(qū)域，即積分區(qū)域 D 既可用 不等式 12, ( ) ( )a x b x y xjj＃＃ 表示，又可用不等式 12, ( ) ( )c x d x x xyy＃＃ 表示（見圖 9），則有 21 ( , )ba dx f x y dy???? 21 ()() ( , )dycydy f x y dxyy= 蝌 上式表明，這兩個(gè)不同積分次序的二次積分相等，這個(gè)結(jié)果使我們?cè)诰唧w計(jì)算一個(gè)二重積分時(shí)，可以有選擇地將其化為其中一種二次積分，以使計(jì)算更為簡(jiǎn)單 . yxD 2D 3D 1O yxDOdca b 7 例 1[7] 計(jì) 算D xyds蝌，其中 D 是由直線 2, 1xy==及 yx= 所圍成的閉區(qū)域 . 解法 1 畫出積分區(qū)域 D 的圖形（見圖 10），易見積分區(qū)域 D 既是 X型的也是Y型的 .如果將積分區(qū)域視為 X型的，則積分區(qū)域 D 的積分限為 12x＃ ， 1 yx＃ ，所以 D xyds蝌2