【正文】 y c x e?? 可得： 222 xye? 基本方法 V 求解 39。 0y xy??的通解為 22xy ce?? 設(shè)原方程的通解為： 22()xy c x e?? 代入原方程可得 2239。2()() xcxecx?，積分得： 1() xc x e c? ?? ? 即 1( ) ( )xc x c e ??? 所以原方程的通解為 1[ ( )]xy x c e ??? 基本方法 IV 求解 39。10y yx???的通解為 cy x? 設(shè)原方程的通解為 ()cxy x? 代入原方程可得： 39。2() 1()cxcx??積分得： 1 ()c x x c?? ? ? ? 即 1( ) ( )c x x c ??? 所以原方程的通解為 1cos [ ( )]y x x c ??? 基本方法 Ⅲ 求解 39。 1( c os ) c os 0y y x y???的通解為 1cosy cx?? 設(shè)原方程的通解為 1cos ( )y c x x?? 代入原方程可得： 1 39。 1 2( c os ) c os c osy y x y x y?? ? ?（即為一的形式） 39。 1 2si n c os c osy y x y x y?? ? ? 即 39。1 c osy x ctyy x y ctyy?? ? ?的通解。2( ) ( ) ( )c x c x c x? 即 ()()dcx dxcx?，積分得： ln ( ) lnc x x c?? 即 () xc x ce? 所以原方程的通解即為： 2 2 2 2xx y c e?? 。 1 2 2 1()y xy x y y??? ? ? 39。 基本方法 Ⅰ 求解 39。若不能通過這八種方法來求解，可以按照一的方法進行求解，先將方程轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠蹋?2）的形式，如若可以，即可用常數(shù)變異法進行求解，不然則只有另尋它途。 以上只列舉了八種求解方法，當(dāng)然還有其他的一些方法。 二，一階常微分方程 dy ( ) ( , )dx M x y N x y??可用常數(shù)變異法求解 的一個充分條件是： 1( ) , ( , ) ( )yM x N x y gxx??，其中 N（ x， y）在所考慮的區(qū)間上連續(xù)， N（ x， y） ? 0。 基本類型 VI[12] 若非線性常微分方程的形式為： dy ( ) ( , )dx M x y N x y?? 假設(shè) M（ x）， N（ x， y）在所考慮的區(qū)間上連續(xù)， N（ x， y） ? 0。 0yy x??的通解為： y cx? 設(shè)原方程的通解為 ()y c x x? 代入原方程可得： 39。 基本類型 V 39。 ( ) ( )nnc x c x g c xxx? ????可知其為可分離變量的常微分方程，可求出 c（ x）。 ()nyy y g xyx?? 39。 ( ) ( ) ( )M x d x n M x d xnc x e c x e N x????? 因其為可分離變量常微分方程，所以可求出 c（ x），伯努利方程可用常數(shù)變異法來求解。 ( ) ( )ny M x y y N x?? 可知這是伯努利方程 39。 ( ) ( ) ( )M x d x n M x d xnc x e c x e N x????? 這是一個可分離變量的常微分方程，其通解為： ? ? 11( 1 ) ( )( ) 1 ( ) nn M x d xc x n N x e d x ???????????? （ 6） 將（ 6）代入（ 5）中即可得（ 4）的通解。( ) ( ) ( ) 0f y y f y M x??是可分離變量的常微分方程，其通解為 ? ? ()M x dxf y ce??? （此為隱函數(shù)的形式，不用解出 y）。( ) ( ) ( ) ( ) ( )nf y y f y M x f y N x?? （ 4） 顯而易見，方程 39。 基本類型 II 39。 由上可見，常數(shù)變異法可以用來求解非線性常微分方程，但是并不是所有的非線性方程都可以用常數(shù)變異法來求解。 39。 方程 dy/dx=M（ x） N（ y）是可分離變量的常微分方程，則我們分離變量可得：dy/N（ y） =M（ x） dx，兩邊積分可得出其通解，不妨設(shè)其通解為 G（ y） = ? ?xc? ， ，其中 c 為任意實常數(shù)。其中 M（ x）， N（ y）， f（ x， y）在所考慮的區(qū)間上是連續(xù)的，且 f（ x， y） ? 0。 一階非線性常微分方程的常數(shù)變易法 基本類型 Ⅰ 我們知道可以通過常數(shù)變異法求解一階線性常微分方程，而對于一階非線性常微分方程的求解，還沒有很統(tǒng)一，確切的解法，那我們是不是可以將常數(shù)變異法從線性常微分方程推廣到非線性常微分方程上面呢？這一章我將會對這個問題進行探討研究。 第 2 章 一階非線性常微分方程的常數(shù)變易法與舉例 本章分兩節(jié)，第一節(jié)著重介紹關(guān)于一階非線性常微分方程的常數(shù)變易法，第二節(jié)進行舉例，以便能夠更加了解解題得方法。 最后， 我們可以得出我們做非線性常微分方程的方法可歸結(jié)為：線性化，可積化，降階化 。 另外，關(guān)于 兩類非線性常微分方程的常數(shù)變易法的證明使得解法更加的容 易理解，思路清晰 。其次 ， 本文初步探討了關(guān)于高階非線性常微分方程的常數(shù)變易法 問題 。在一般的教材中， 往往僅限于對于線性常微分方程的常數(shù)變易法，在此基礎(chǔ)上，本文深入 探討 了關(guān)于一階非線性常微分方程和二階非線性常微分方程 的 常數(shù)變易法，將所探討的結(jié)果 進行系統(tǒng) 地 分析、比較、歸納 和 總結(jié) 并給出了每種解法的特點和使用條件。特別的，對于二階齊線性方程，如果能夠知道它的一個非零特解，則可通過降階求得與它線性無關(guān)的另一個特解，從而得到方程的通解，對于非齊次性方程，就需要再運用常數(shù)變易法求出它的一個特解，問題自然輕松地被解決了，因此，對于高階常微分方程的求解問題的關(guān)鍵就在于尋找齊線性方程的一個非零特解。 這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，我們就稱之為常數(shù)變異法。 從上面的一步步推導(dǎo)，可以總結(jié)為 [4]： 對于 一階線性微分方程： dy/dx=M（ x） y+N（ x） （ 1） 若 Q（ x） =0，則（ 1）變?yōu)椋? dy/dx=M（ x） y （ 2） 可知（ 2）為變量分離方程，所以可求得其通解為： ()M x dxy ce?? （ 3） 在（ 3）中，將常數(shù) c 變易為 x 的待定函數(shù) c（ x）使它滿足（ 1），從而求出 c（ x）。 常數(shù)變易法在這里并沒有顯出比變量代換法更好的優(yōu) 勢（因為就是變量變換與常數(shù)變易法的正逆推導(dǎo)而已），但在解決高階線性微分方程時就會方便得多。 ()M x dxu e N x?? ? 。那我們可以這樣子做：把（ 8）式的那個 C 換成 u，再把這個 u 解出來，那么問 題不就簡單了嗎？所謂的“常數(shù)變易法”就是這么來的，即把常數(shù) C硬生生地變成了 u。因此這里的 ()M x dxCe?? 并不是我們要的 y，因此還要繼續(xù)。而最終答案是 u ( ) 0y M x y??的解來。所以，我們可以直接先把非齊次方程當(dāng)作齊次方程來解。 ( ) 0v M x v??）其實就是求39。 v代換了 y。 v 也迎刃而解： ( ) ( )2111[ ( ) ] [ ]M x d x M x d xy u v e N x d x C C eC ???? ? ?? ( ) ( )[ ( ) ]M x d x M x d xe N x d x C e ?????? (這里 12C CC? ) (7) 這個方法看上去增加了復(fù)雜度，實際上卻把一個不能直接分離變量的微分方程化成了兩個可以直接分離變量的微分方程。 1 ()M x dxu C e N x?? ? 而這也是一個可以分離變量的微分方程。 ()v M x v? 這一項便被消掉了。 ( ) 0dv M x vdx ?? ()1 M x dxv C e???? (5) 現(xiàn)在 v解出來了 ，接下來該處理 u了，實際上當(dāng) v解出來后 u 就十分好處理了。令 39。( ( ) )u v M x v? 就是我們剛剛遇到的沒法把 u 單獨分離出來的那一項，既然分不出來，那么干脆把這一項變?yōu)榱愫昧恕?9。有人可能會 覺得把一個函數(shù)關(guān)系問題變成兩個函數(shù)關(guān)系問題，這簡直是把問題復(fù)雜化了，不然 ,其實 u 和 v都非常有用，看到下面就知道了。其中 u和 v都是關(guān)于 x的函數(shù)。但結(jié)果是很簡單的。當(dāng)然這些假設(shè)都是不可能的，因為 x 和 M(x)等于幾是你無法干預(yù)的。因為這樣“變量 分離不出”這個矛盾就自然而然的消失了 —— 整個都消失了，那也就不需要分什么了。( ) ( )(1 ( ) ) ( )( ) (1 ( ) )u x u M x u x N xu x u M x x N xdu x N x u M x xdx? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 1[ ( ) (1 ( ) ) ]d u N x u M x x d xx? ? ? ? (3) 這時 u又不能單獨除到左邊來，所以還是不行。這時想想以前解決“齊次方程”時用過的招數(shù)：設(shè) y ux? y ux?? .將 y ux? 代入 (1)式 : 39。所以我們的思路就是如何將（ 1）式的 x 和 y分離開來。 我們先來看下面的式子： 39。 second—order nonlinear differential equation。 the method of constant variation。 39。 Abstract Constant variation method is a special method of solving diferential equation． It is simpler to use constant variation method to get some special solutions． Several constant variation methods different from those in textbooks are listed here to find out their advantages and disadvantages in some aspects． The method of constant variation is an effective way to solve the first order non homogeneous linear ordinary differential equation. This paper studies the first order ordinary differential equation in a special form, and proves that the equation of variable divided, Bernoulli equation, some non homogeneous equations and the first order non – linear ordinary differential equation in another form can all be solved with this method, and then popularizes the method of constant variation. Reading the six obtained by the first integral theorem and corollary, With six types of equations and constant variation, I use the constant variation to prove, to solve theorems. Solutions to some kinds of secondorder differenfial equations by using variab