【正文】 1/40 1/80 從上面的三個表我們可以看出本文格式 空間方 向具有 2 階精度 ,在時間方向具有 3階精度，這個理論和數(shù)值試驗相符合。 引理 2： Z=a+bi,， Z 實部小于等于 0，則262 164 zzz? ??? 證明：假設(shè) Z=a+bi,在這里 ,a Rb R??，又 0a? 22222 2 2 2 2 2621646 2 6 4( 6 2 ) 2 ( 6 4 ) ( 4 2 )( 6 2 ) ( 2 ) ( 6 4 ) ( 4 2 )zzzz z za bi a a b b ab ia b a a b b ab????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? .因此有 262 164 zzz? ??? 新疆大學學士學位論文 12 數(shù)值例子 1 給出下面的常系數(shù) 一維擴散方程初邊值問題 22 0 0 1( , 0) si n( ) 0 1( 0 , ) ( 1 , ) 0 0uu txtxu x x xu t u t t?? ??? ? ? ?? ????? ? ??? ? ? ???? （ 24） 該方程的準確解為 textxu 2)s in(),( ?? ?? 表 1：數(shù)值 例子 1當 h=。 下面來看 12232136nnIAuuI A A????????的特征值： 2232136IACI A A??????? （ 23） 寫成矩陣形式 ： 1nnu Cu? ? 則 C 的特征值為：221 321136icii? ???? ? ????? 新疆大學學士學位論文 11 它的譜半徑 1( ) m a x 1iinc??????。 隱式迎風格式及性質(zhì) 1）差分格式為： , 1 , 1 , 1 1 , 1 1 , 1 , 1 1 , 1211( ) ( ) ( 2 )j n j n j n j n j n j n j nu u u u u u uhh? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?（ 12） 2）截斷誤差為 ： )( 2hOE ?? ? 3) 穩(wěn)定條件為： 絕對穩(wěn)定 新疆大學學士學位論文 8 我們考慮如下對流擴散方程齊次邊值問題 22 , [ ] [ 0 ]( , 0) ( ) ,( , ) 0 , ( , ) 0 , 0u u u a x b t Tt x xu x f x a x bu a t u b t t T??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ???? ? ??? ? ? ? ???? (13) 作剖分，將區(qū)間 [a, b]作 m等分，將區(qū)間 [0， T]作 n 等分，且記 bah m?? , , 0 , , 0ikTr x ih i m t k k nn ?? ? ? ? ? ? ?．分別稱 h 和 ? 為空間步長和 時問步長，用兩簇平行直線 , 0 , 0 .ikx ih i mt k k n?? ? ?? ? ? 將 ? 分割成矩形網(wǎng)格，稱 ( , )ikxt 為網(wǎng)格結(jié)點，網(wǎng)格函數(shù) ( , )ikux t 己作 kiu ． 我們對這個方程 x 方向離散 ,t 方向保持不變，對流項和擴散項分別應用二階中心差分格式 21 1 1 122( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ),2i i i i iu x t u x t u x t u x t u x tuux h x h? ? ? ?? ? ????? 222 2 22 2 2222222222222h h hh h h h hAh h h h hh h h? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ???????? ? ????? ? ??????? () ()i idu t Au tdt ? （ 14） 新疆大學學士學位論文 9 用常數(shù)變易法解（ 14）得到 ( ) ( )At iu t e u t? 其中 1 2 1( ) ( ( ) , ( ) , , ( ) )iNu t u t u t u t?? 寫成迭代格式 : 1 Annu e u?? ? （ 15） 由 Ae? 的 pade[2/1][3]逼近得到 2232136AIAeI A A???????? （ 16） 把（ 15）代入 (16)得到 12232136nnIAuuI A A???????? （ 17） 2 2 11 21( ) ( )3 6 3nnu I A A I A u??? ?? ? ? ? ? （ 18） 定理 1： 本文差分格式（ 18）的精度為 32()oh? ? pade[2， 1]對時間是三階的，因此本文格式（ 15）是對時間變量是三階，對空間變量是二階的，即 32()oh? ? 。39。 新疆大學學士學位論文 5 LeapFrog/ DufortFrankel 差分方法及性質(zhì) 1 1 1 11 1 1 1222n n n n n n n nj j j j j j j ju u u u u u u uhh???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? （ 6） 其中 ,?? 為常數(shù)。下面對于 0?? 用 Fourier 方法討論該格式的穩(wěn)定性。 如果 0?? 那么式（ 1）就是對流方程的一個差分格式。 定理 3 如果存在常數(shù) 0,?K 使得 ?? KkG ?? 1),( ， 00 ???? ， 則差分格式是穩(wěn)定的。 推論 當 ),( kG? 為實對稱矩陣，酉矩陣， Hermite矩陣時， von Neumann 條件是差分格式穩(wěn)定的充分必要條件。 定理 1（ von Neumann條件） 微分方程（ 1）的差分格式穩(wěn)定的必要條件是當0??? ， Tn ?? ,對所有 Rk? 有 ??? MkGj ?? 1)),(( ， pj ,2,1 ?? 其中 ),( kG? 為增長因子（或增長矩陣）， )),(( kGj ?? 表示 ),( kG? 的特征值， M 為常數(shù)。 精度 ：如果一個差分格式的截斷誤差 )( pq hOE ?? ? ，就說差分格式對時間 t是 q 階精度的，對空間 x 是 p 階精度的。計算 nju 時的舍入誤差，必然會影響到 1?nju 的值，從而就要分析這種誤差傳播的情況。如果當時間步長 ? 以及空間步長 h 趨于 0 時， 0),( ??? njnjnj utxue ，我們稱差分格式是收斂的，即時間步長 ? 以及空間步長 h 趨于 0 時，差分格式的解逼近于微分方程的解。一個差分格式與一個微分方程相容，則表明當0, ?h? 時，差分算子與微分算子對任一光滑函數(shù)的作用是相同的，所以可用相容的差分格式近似相應的微分方程，而截斷誤差則是對這一近似程度的一個度量。將差分方程中的各個項同時用微分方程的解在相應點的值代入，利用泰勒展開，就會得到一個誤差項，這個誤差項就是截斷誤差。 文 [5]中用時間離散方法 對 對流擴散方程求解得到了空間方向具有 7階精度的差分格式 ,但是在時間方向具有 2階精度 。本文考慮采用差 分格式進行求解。 指導教師（簽名）： 2020 年 月 日新疆大學學士學位論文 新 疆 大 學 畢業(yè)論文（設(shè)計）任務(wù)書 班 級： 應數(shù) 081 姓 名 ： 買買提江 .卡熱 論文（設(shè)計）題目 : 求解對流擴散方程的 pade逼近格式 專 題： 畢業(yè)設(shè)計 要求完成的內(nèi)容： 學習和掌握一維對流擴散方程已有的各種差分格式的基礎(chǔ)上，對流擴散方程對對空間變量應用二階中心差分 格式離散，對時間變量應用 pade 逼近，構(gòu)造基于 pade 逼近的擴散方程 ? ?32Oh? ? 數(shù)值格式，討論穩(wěn)定性，最后數(shù)值例子來驗證。新疆大學學士學位論文 新疆大學畢業(yè)論文 (設(shè)計 ) 題 目 : 求解對流擴散方程的 pade 逼近格式 所屬院系： 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院 ____________________ 專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 ________________________