【正文】 （ 2） 由于 x =0 是 )(xf 的連續(xù)點(diǎn)，所以上式兩邊可劃等號(hào)。于是由（ 1）與（ 2）式分別得 01( ) ~ c o s s in2 nnna n x n xf x a bll????????????? (3） 與 1 ( ) c o sln l nxa f x d xll??? ? , n=0,1,2… (4) 1 ( ) s inln l nxb f x d xll??? ? , n=1,2… 這里（ 4）式是以 2l 為周期的函數(shù) f 的傅里葉級(jí)數(shù)，（ 3）式是 f 的傅里葉級(jí)數(shù) . 傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì) 收斂性 定理 傅里葉級(jí)數(shù)的收斂準(zhǔn)則 —— 狄利克雷（ Dirichlet）定理 若 （ 1） )(xf 在 ? ?ll,? ? ?ll,? 上或者連續(xù)，或者只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，在間斷處函數(shù)的左、右極限都存在； （ 2） )(xf 在 ? ?ll,? 上只有有限個(gè)極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)； （ 3） )(xf 在 ? ?ll,? 外是周期函數(shù)，其周期為 2l ，則級(jí)數(shù) 滁州學(xué)院本科畢業(yè)論文 7 ? ?在連續(xù)處 在間斷處)?，F(xiàn)在對(duì)級(jí)數(shù)（ 14）逐項(xiàng)求積，有 ( ) cosf x txdx???? = 01c o s ( c o s c o s s in c o s )2 nnna tx d x a n x tx d x b n x tx d x? ? ?? ? ??? ? ?????? ? ? 由三角函數(shù)的正交性，右邊除了以 ta 為系數(shù)的那一項(xiàng)積分 2cos txdx?? ?? ??外，其他各項(xiàng)積分都等于零，于是得出 ( ) c o s ( 1 , 2 , )tf x tx d x a t?? ?? ? ? ???? 即 1 ( ) c o s ( 1 , 2 , )ta f x tx d x t??? ?? ? ???? 同理，（ 12）式兩邊乘以 sintx ，并逐項(xiàng)求積，可得 1 ( ) s in ( 1 , 2 , )tb f x tx d x t??? ?? ? ???? 一般的說(shuō)，若 f 是以 2? 為周期且在 [ , ]??? 上可積分的函數(shù)，則按公式 （ 13） 計(jì)算出的 na 和 nb叫做函數(shù) f 的傅里葉級(jí)數(shù)，記作 01( ) ~ c o s s in )2 nnnaf x a n x b n x????? 這里的“ ~”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。從后面的推導(dǎo)我們也看到，三角函數(shù)系 (6)的正交性在三角級(jí)數(shù)研究中扮演了重要的角色。 我們通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算可知，三角函數(shù)系 1 , c osx , si nx , c os 2 x, si n 2 x, , c osn x, si nn x,??? ??? (6) 具有以下性質(zhì) c o s sin 0n x d x n x d x???????? (7) c o s c o s 0 ( )m x n x d x m n??? ??? (8) sin sin 0 ( )m x n x d x m n??? ??? (9) c o s sin 0m x nxdx??? ?? (10) 即三角函數(shù)系（ 6）中任何兩個(gè)不同函數(shù)的乘積在 ? ?,??? 上積分為 0，我們稱這一性質(zhì)為三角函數(shù)系 (1)的正交性。于是，我們自然提出以下問(wèn)題：什么條件下我們可以將一個(gè)周期為 2? 的函數(shù) ()fx表示成如 (1)式那樣簡(jiǎn)單，標(biāo)準(zhǔn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加 ?即什么條件下 (3)式成立 ?更一般地，什么條件下可以將一個(gè)周期為 T 的函數(shù)表示成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加？設(shè) g(t)周期為 T，則只要令 2Ttx?? ,就有 ( ) ( ) ( )2Tg t g x f x??? 則 ()fx周期為 2? ，所以我們只要討論前一個(gè)問(wèn)題就行了。 傅里葉級(jí)數(shù)的定義 傅里葉級(jí)數(shù)是一類特殊的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，對(duì)周期性現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，其在理論和應(yīng)用上都有重要價(jià)值 。通常這個(gè)周期命名為函數(shù)系的周期。如下形式的函數(shù)系： 1， xl?cos ， xl?sin ， xl?2cos ， xl?2sin ，?， xlk?cos ， xlk?sin ，? （ ） 稱為基本三角函數(shù)系。 周期 定義 ： （ 1） 滿足式（ ）的 T 值中的最小正 數(shù)，即為該函數(shù)的周期； （ 2） 一個(gè)常數(shù)以任何正數(shù)為周期。 傅里葉級(jí)數(shù)針對(duì)的是周期性函數(shù)，傅里葉變換針對(duì)的是非周期性函數(shù)，它們?cè)诒举|(zhì)上都是一種把信號(hào)表示成復(fù)正選信號(hào)的疊加，存在相似的特性。很多波形可以作為信號(hào)的成分，例如余弦波，方波，鋸齒波等等，傅里葉變 換作為信號(hào)的成分。傅里葉 原理 表明：對(duì)于任何 連續(xù)測(cè)量的 數(shù)字 信號(hào)，都可以 用 不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加 來(lái)表示 。除此之外， 傅里葉變換 還 是 處理 信號(hào) 領(lǐng)域 的 一種很重要的算法。所謂積分變換，就是把某函數(shù)類 A 中的函數(shù) ()fx乘上一個(gè)確定的二元函數(shù) ( , )kxs ，然后計(jì)算積分，即 ( ) ( ) ( , )baF s f x k x s dx? ? 這樣變成了另一個(gè)函數(shù)類 B 中的函數(shù) ()Fs，這里的二元函數(shù) ( , )kxs 是一個(gè)確定的二元函數(shù)，通常稱為該積分變換的核， ()fx稱為象原函數(shù)， ()Fs稱為 ()fx的象函數(shù)，當(dāng)選取不同的積分 域和核函數(shù)，就得到不同名稱的積分變換。 Periodic 滁州學(xué)院本科畢業(yè)論文 1 1 緒論 傅里葉級(jí)數(shù)是 法國(guó)數(shù)學(xué)家 ，從而極大的推動(dòng)了偏微分方程理論的發(fā)展，在數(shù)學(xué)物理以及工程中都具有重要的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞 ： 傅里葉級(jí)數(shù) ； 傅里葉變換；周期性 Fourier series And Fourier Transforms Abstract: Fourier series is made mathematical analysis to cyclical phenomenon, and Fourier transform can be seen as the limit form of Fourier series, it also can be regarded as a mathematical analysis of cycle phenomenon. In addition, the Fourier transform is a kind of very important in the field of signal processing algorithms. Fourier transform is a method of signal analysis, it can analyze signal ponent, also can use these ingredients synthetic signal. Many waveform can be used as a signal of ingredients, such as cosine wave, square wave, sawtooth wave, etc., the Fourier transform as a signal of position. In electronics disciplines, physics, signal processing disciplines etc many fields have a wide range of applications. Fourier seri