【正文】 ? 是 X 上嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)偏好關(guān)系。 第 3次作業(yè) 1. 設(shè)消費(fèi)集合 X 是凸集， ? 是 X 上的偏好關(guān)系。本來，序數(shù)效用不具有量的含義，偏好關(guān)系只是表達(dá)了一種排序。 (三 ) 序數(shù)效用的基數(shù)意義 ： 偏好梯度 既然效用梯度具有方向不變性，我們便可引入只與偏好關(guān)系有關(guān)，而與效用函數(shù)的具體選擇無關(guān)的偏好梯度概念。 )()(1)()(1 xuxuxvxv ????? 定義 設(shè) u : X ? R 是偏好關(guān)系 ? 的 效用函數(shù)，且在 X 內(nèi)部一階連續(xù)可微，在 X 內(nèi)部各點(diǎn)處的各個(gè)一階偏到數(shù)不同時(shí)全為零 。然而，下述定理表明，同一點(diǎn)處的這無數(shù)多個(gè)效用梯度之間僅僅是長度差別，它們的方向都一樣。 這樣 ， 對任何 x?int X ， 便都有 。 (二 ) 效用梯度的方向不變性 定理 設(shè) u 和 v 是等價(jià)的效用函數(shù)，它們都在消費(fèi)集合 X 內(nèi)部一階連續(xù)可微，并且在 X 內(nèi)部各點(diǎn)處的各個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)不會同時(shí)全為零。 令 d x = (d x1,d x2,? ,d x?)，則 d u = u1?(x)d x1+ u2?(x)d x2+? + u??(x)d x? = ?u(x)d x。 ?u(x) [x] x ? 效用梯度 ?u(x) 是通過點(diǎn) x 的無差異曲線在點(diǎn) x 處的法向量 ， 其大小與效用函數(shù) u 有關(guān) 。 ? x?X ? 處的 效用梯度 是指向量 ?u(x) = (u1?(x), u2?(x), ? , u??(x))。 ? 定理 設(shè) u: X ? R 是效用函數(shù)， ? 是 u 誘導(dǎo)的偏好關(guān)系。設(shè) u: X ? R 是 偏好關(guān)系 ? 的 效用函數(shù) 。 }:),{( yxRRyx ?? ?? ????2R類似地，可給出一系列概念： u 弱擬凹 是指 ? 弱凸； u 嚴(yán)格擬凹 是指 ? 嚴(yán)格凸； u 內(nèi)部嚴(yán)格擬凹 是指 ? 內(nèi)部嚴(yán)格凸； u 弱單調(diào) 是指 ? 弱單調(diào)； u 單調(diào) 是指 ? 單調(diào)； u 嚴(yán)格單調(diào) 是指 ? 嚴(yán)格單調(diào)； u 強(qiáng)單調(diào) 是指 ? 強(qiáng)單調(diào)。 (1) 函數(shù)的奇點(diǎn) ：是指該點(diǎn)處函數(shù)的各個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都為零。 ? 具有無奇點(diǎn)的 k 階連續(xù)可微效用函數(shù) 當(dāng)且僅當(dāng) ? 是 k 階光滑偏好關(guān)系 。所謂 k階 光滑超曲面 ，是指該超曲面是通過一個(gè) k階連續(xù)可微的 11映射，從一張超平面變換而來的。這就定義了一個(gè)函數(shù) u : X?R。另外， ? 的連續(xù)性保證了 A 和 B 都是閉集； D 的道路連通性保證了 A? B ?? ； ? 的嚴(yán)格單調(diào) 性保證了 A? B 是單點(diǎn)集。 可以證明，這個(gè)函數(shù) u : X?R 就是偏好 ? 的連續(xù)效用函數(shù)。易見， D是道路連通的閉集， 0?D， 且 (?x?X)(? y?D)(0 ? x ? y)。 w x x 1 2 r r 例 5. 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)偏好的效用函數(shù)構(gòu)造 設(shè) ? 是消費(fèi)集合 上嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)偏好關(guān)系。 ? ? ? ?))()(()(, yuxuyxXyx ???? ?u?(二 ) 連續(xù)效用函數(shù)存在定理 ? 定理 商品空間 的任何道路連通子集上的連續(xù)偏好關(guān)系都有連續(xù)的效用函數(shù) 。這些表示相同偏好的效用函數(shù)，叫做 等價(jià)效用函數(shù) ，可以等同看待?？梢钥闯觯?如果 u : X?R 是偏好關(guān)系 ? 的效用函數(shù) ， 那么 u 在任何嚴(yán)格遞增變換 ? : R?R 下的結(jié)果 v = ? (u) 也是 ? 的效用函數(shù) 。 函數(shù) u : X?R 叫做是 ? 的 效用函數(shù) ， 是指 u 滿足如下條件 ： ? 當(dāng) u 是 ? 的效用函數(shù)時(shí) ， 也稱 u 是 ? 的 效用表示 ， 或稱 ? 是 u 的誘導(dǎo)偏好 (induced preference， 即 u 誘導(dǎo)的偏好關(guān)系 ， 記作 )。由于基數(shù)效用論的合理性與正確性已被否決，因此今后凡提到效用函數(shù)，如無特殊說明，均指序數(shù)效用函數(shù)。德布羅在效用函數(shù)方面的這些研究工作，為效用理論奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，讓我們可以在偏好關(guān)系和效用函數(shù)之間自由選擇使用。 直到 1954年，才由 德布羅對序數(shù)效用函數(shù)的存在性問題給出了肯定的答案，也 直到 1964年才真正對這一答案做出了正確證明。 一、效用函數(shù)的存在性 效用函數(shù)的存在性是經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)重大基礎(chǔ)問題，它包含兩層含義：一是基數(shù)效用函數(shù)是否存在？二是序數(shù)效用函數(shù)是否存在？ 序數(shù)效用論者否定基數(shù)效用論，就等于否定了基數(shù)效用函數(shù)的存在性。 總之，基數(shù)效用論與序數(shù)效用論的共同特點(diǎn)是用實(shí)值函數(shù)來表達(dá)效用。 然而， 人們對基數(shù)效用論提出了諸多批評，認(rèn)為作為主觀感受的效用是 序數(shù)效用， 無法計(jì)量多少，只可比較大小。偏好關(guān)系與效用函數(shù)理論是經(jīng)濟(jì)理論的重要組成部分，人們對它們的研究從未停止過。 167。 z y I X xU局部無滿足性意味著無差異曲線 “ 很薄 ” ，偏好連續(xù)性意味著生活水平較高。注意， I ?U ? ?。偏好 ? 的無滿足性保證了存在 y?X 使得 y ? x。 y?證明中用到的有關(guān)概念與定理 ?R M (二 ) 特點(diǎn)之二 ： 局部無滿足 ?理性消費(fèi)者 ( X, ? ) 局部無滿足 ， 從而他的任何無差異曲線都不會包含開球在其中 (即無差異曲線的內(nèi)部是空的 )。 (3) M 是緊集 ?M 中任何具有有限交性質(zhì)的閉集族都有非空的交集。 (一 ) 特點(diǎn)之一 ： 在非空有界閉集中有滿足 (1)集族 {Ft}t?T 具有有限交性質(zhì)，是指對 T 的任意有限子集 A，都有?t?A Ft ? ? 。對于這個(gè) y，顯然有 (?z?M )( y ? z)成立。 ?R證明： 令 P(z) = {x?M : x ? z}，則 {P(z)}z?M是 M 的具有 有限交性質(zhì) 的閉子集族。 ? 假設(shè) HC 消費(fèi)集合 X 是商品空間 的非空下有界凸閉子集 。比如，假設(shè)HP就要求消費(fèi)者偏好是嚴(yán)格凸的。 注意，這個(gè)定義表述的是消費(fèi)行為的基本理性。根據(jù)以上對消費(fèi)集合和偏好關(guān)系的研究，我們可以對這種 “ 良好性 ” 作出解釋。 消費(fèi)集合 X 和偏好關(guān)系 ? 完全刻畫了消費(fèi)者的個(gè)人特征，因此可用 ( X, ? ) 表示消費(fèi)者。 ))())(()(( XyxyRyXx ???????? ?))())(()(( XyxyRyXx ???????? ?四、理性消費(fèi)者 ? 定義 理性消費(fèi)者 ( X, ? ) 是滿足如下條件的效用最大化追求者： (1) 具有非空、下有界、閉、凸的消費(fèi)集合 X 。單調(diào)性也有不同的強(qiáng)弱程度，對此，我們給出如下定義。 ?如果 ，則對于連續(xù)的嚴(yán)格凸偏好來說，這四種單調(diào)性相互等價(jià)。 ?對 X 上連續(xù)的偏好關(guān)系來說，嚴(yán)格單調(diào)性隱含著單調(diào)性。 ? 嚴(yán)格凸偏好不但是凸的 ， 而且是弱凸的 ， 并且嚴(yán)格凸偏好下的無差異曲線不會包含直線段 ， 更不會 “ 厚 ” ， 而是既薄又彎 。 ? 對兩種有差異的方案進(jìn)行加權(quán)平均時(shí)，嚴(yán)格凸偏好與凸偏好的效果一致：加權(quán)平均方案比原方案中最差的那個(gè)要好。嚴(yán)格凸偏好具有如下兩個(gè)特點(diǎn)： 我們將會看到，要使消費(fèi)者需求能夠唯一確定，離不開偏好的嚴(yán)格凸性 (至少要求內(nèi)部嚴(yán)格凸， 即在消費(fèi)集合內(nèi)部的嚴(yán)格凸的 )。 2??? RXx4. 嚴(yán)格凸偏好 為什么會存在連續(xù)的弱凸但非凸的偏好關(guān)系呢？仔細(xì)分析可發(fā)現(xiàn)，原因在于無差異曲線較厚。另外，也確實(shí)存在著連續(xù)的弱凸但非凸的偏好關(guān)系。則 對于任何 x, y?X ， x ? y， 要么對任意的實(shí)數(shù) t?(0, 1) 都有 x + (1 t ) y ? y ， 要么對任意的實(shí)數(shù) t?(0, 1) 都有 x + (1 t ) y ? y 。這就是下述定理所表述的事實(shí)。這個(gè)偏好關(guān)系是連續(xù)、弱凸的，但不是凸的，如右圖所示。 2, ??? RXyx2, ??Ryx例 4. 對 ，當(dāng) x1+x2 ?1時(shí)， u(x)=1； 當(dāng) x1+x2 1時(shí)，u(x)= x1+x2。從這個(gè)意義上講，弱凸性強(qiáng)于凸性。從這個(gè)意義上講，偏好的凸性強(qiáng)于弱凸性。則 偏好 ? 凸但非弱凸 。 : 0 ? t ? 1}， z = (, )。則這個(gè)偏好關(guān)系 ? 弱凸但非凸 。這個(gè)偏好 既凸又弱凸 。 (2) ? 弱凸當(dāng)且僅當(dāng)對任何 z?X ，集合 Q(z)={ x?X : x ? z}是凸集 。 ? 1. 弱凸偏好 ? 定理 設(shè)消費(fèi)集合 X 是凸集， ? 是 X 上的偏好關(guān)系。于是 w?P( y)， 即 w ? y。記w = t x+(1 t ) y，欲證 w ? y。這就證明了 P(z) 是凸集 (因?yàn)?x, y, t是任意的 )。根據(jù)偏好的完全性， x ? y 或 y ? x。 (1)的證明 ((2)的 證明留作練習(xí) )： 必要性 (?). 設(shè) z?X ， x, y?P(z)， t?(0, 1)。 ? 定義 設(shè)消費(fèi)集合 X 是凸集， X 上的偏好關(guān)系 ? 叫做是： (1) 弱凸的：是指 (?x, y?X )(?t?(0,1))(( x ? y )?(x+(1? t)y ? y))； (2) 凸的，是指 (?x, y?X )(?t?(0,1))(( x ? y )?(x+(1? t)y ? y))； (3) 嚴(yán)格凸的，是指對任何 x, y?X , 只要 x ? y 且 x ? y, 那么對任何實(shí)數(shù) t?(0, 1)，都有 t x + (1? t ) y ? y ； (4) 內(nèi)部嚴(yán)格凸的，是指 ? 是凸的，且 對任何 x, y?X ?，只要 x ? y 且 x ? y，那么對任何實(shí)數(shù) t?(0, 1)，都有 t x + (1? t ) y ? y。那么綜合消費(fèi)的效果如何 ? 一般來講，綜合消費(fèi)方案會比原來較差的方案要好，這種現(xiàn)象叫做偏好的凸性。則 A 不是 X 的 相對開 集， B 也不是 X 的 相對閉 集。因此， 偏好的連續(xù)性是消費(fèi)者生活水平較高的表現(xiàn) 。在食物、衣服和住宅的消費(fèi)上，他的偏好可用 字典序 來表示。他首先要解決吃飯問題，其次才考慮穿著問題。反映在偏好上，就是 偏好的連續(xù)性 ，這正是下述定理揭示的事實(shí)。例如，被評價(jià)為 “ 壞人 ” 的人，這頂 “ 壞人 ” 帽子很難摘掉：若又發(fā)生了什么類似的壞事，肯定懷疑是他干的。 則下述命題相互等價(jià) ： (1) ? 是連續(xù)的偏好關(guān)系 ； (2) 對任何 x?X ， { y?X : y ? x}和 { y?X : y ? x}都是 X 的相對閉子集； (3) 對任何 z, x, xn?X (n = 1, 2, ? )， x = lim n?? xn， 若 xn ? z (n = 1, 2, ? )，則 x ? z ； 若 xn ? z ( n = 1, 2, ? )， 則 x ? z 。 ?偏好的連續(xù)性類似于實(shí)數(shù)的連續(xù)性 。 對任何 x?X，集合 {y?X: y ? x}和 {y?X: y ? x}都是 X 中的開集。 x2 2?? RXx1 1][ 21 ?xxx U 無 差 異 曲 線 很 厚 o 對任何 x?X , { y?X : y ? x} 和 { y?X : y ? x} 都是 X 中的開集 這里， N(z)表示 z 的鄰域系，即商品空間 中包含 z 的所有開集。 ? 無差異曲線很厚。但該人并不斤斤計(jì)較，他對于兩種商品消費(fèi)量乘積的小數(shù)位忽落不計(jì)：只要消費(fèi)向量的分量乘積的整數(shù)位相同，效用就相同。 x w z y (?x, y?X )(( x ? y) ? ([x1x2]? [ y1 y2])) 其中 x = ( x1, x2), y = ( y1, y2), [r] 表示不小于實(shí)數(shù) r 的最小整數(shù)。 ? 局部無滿足性 ：消費(fèi)者在 x?X 處局部無滿足，是指對 x 的任何鄰域 U，都存在 y?U ? X 使得 x ? y。 子集中有滿足 子集中無滿足 W W w2. 局部無滿足性 ? 局部無滿足性 ? 無滿足性 ，即局部無滿足性比無滿足性更強(qiáng)。 (4) 全局滿足消費(fèi) ：如果消費(fèi)者在消費(fèi)集合 X 中有滿足，則把消費(fèi)者在 X 中的滿足消費(fèi)叫做消費(fèi)者的 全局滿足消費(fèi) 。 (3) 子集中無滿足 ：設(shè) W ? X 。 (2) 子集中有滿足 ：設(shè) W ? X 。 ))()(( yxXyXx ?????欲 望 無 止 境 xyzX 1. 子集中有滿足與無滿足 (1) 子集中的滿足消費(fèi) ：設(shè) W ? X 且 w ?W 。 與無滿足性概念相關(guān)聯(lián)的還