【正文】 W h tr H U V W H W U V n? ? ?? ? ? ? ? ?且。 表 1. 模型 (1)模擬研究的結果 k k? 0k? 1k? 2k? 1 True values Mean of estimates MADEs 2 True values Mean of estimates MADEs 3 True values Mean of estimates MADEs 表 2. 模型 (II)模擬研究的結果 k k? 0k? 1k? 2k? 1 True values Mean of estimates MADEs 2 True values Mean of estimates MADEs 3 True values Mean of estimates MADEs 畢業(yè)論文外文翻譯 10 表 3. 模型 (A)模擬研究 的結果 k k? 0k? 1k? 1 True values Mean of estimates MADEs 2 True values Mean of estimates MADEs 使用 AIC或 BIC選擇 K是有點不標準， 因此 我們專注于每個組的 階數 選擇。Fong 等 人 ，2021)。在我們的模型中 進行 模型選擇 有 兩個方面，分量 的數量和每個 INARCH 分量 的順序。這些實驗表明， EM 估計方法具有合理的估計和絕對 小的 偏差錯誤。 這里的 k? 初始值都是從均勻分布隨機 選取 的，所有 分量 都假定 在 估計 前 具有相等的概率 ；換句話說，所有 分量 的初始值都是 1 除以 分量 的個數。 隨機初始化方法 被用來 選擇 EM 算法的初始值。2,2）模型 1 2 3 1 0 1 1 1 2 2 0 2 1 2 2( , , , , , , , , ) ( 0 .4 , 0 .3 5 , 0 .2 5 , 0 .8 , 0 .5 , 0 .3 , 0 .4 , 0 .3 , 0 .1 , 0 .5 , 0 .3 , 0 .4 )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在第二節(jié)中的 MINARCH(2； 1， 1)模型 (A) 被用于其他的模擬實驗。模型（ I）是 帶有以下 參數值 的 MINARCH（ 3。 我們已經做了一些模擬研究， 用 以評估 EM 估計方法的性能。 但觀察到的信息矩陣的推導類似于 Wong and Li (2021, 2021)，很難處理， 所以在此省略。 設 j? 是 ? 的第 j 個分量， 然后用于 檢驗 EM 過程收斂 的依據 是 ( 1) ( ) 5() 10iijjij???? ?? ? 其中 ()ij? 是第 i 次重復的值。 | ikiikkk k kll??? ? ? ??? ?????? ??? ? ??? 其中 ()ik? 是第 i 次迭代的值。 畢業(yè)論文外文翻譯 8 值得注意的是，因為 , 1, ,k k K? 且 **2, / ( ) 0k kk k l ??? ? ? ? ?，所以我們能夠分別從每一組 分量 來考慮參數 k? 的估計值。這 可以通過等同的表達式 ()減 ()為零來實現。設 kt? 是ktZ 的條件期望，那么 1t ktt ktXk ktkt K Xk ktke e????? ?? ???? ? M 步驟：假設缺失的數據是已知的。它包括如下面描述的一個 E 步驟和一個 M 步驟 E 步驟：假設 ? 是已知的，缺失的數據 Z 由參數 ? 和觀察數據 X 的條件期望來代替。因為 X 和 Z 是相互獨立的，并且 tZ 之間是相互獨立的， 給定 tZ ，完備 的 數據 ( , )ttXZ 的分布是 畢業(yè)論文外文翻譯 7 1 ()!t ktkt ktXK ZZktkk teX??? ??? 并在 t 時刻 的（條件）對數似然函數為 1 1 1l o g ( ) l o g ( ) l o g ( ! )K K Kt k t k t k t k t k t k t tk k kl Z X Z Z X? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? 整體的 對數 似然由下式給出 1 1 1 1 1l o g ( ) l o g ( ) l o g ( ! )n n K K Kt k t k t k t k t k t k t tt p t p k k kl l Z X Z Z X? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?????? ? ? ? ? () 對數似然 函數 關于 ? 的一階導數由下式給出： 1 ( ) , 1 , , 1 ,n k t K ttpk k kZZl kK? ? ???? ? ? ? ?? ? () 1 ( , ) , 0 , 1 , , , 1 , ,n t k tk t t ktpk i k tXl Z u X i i p k K????? ?? ? ? ?? ? () 其中當 0i? 時 ( , ) 1tu X i ? ，當 0i? 時， ( , )t t iu X i X ?? 。 設 1( , , )nZ Z Z? ，其中 tZ 是 一個 K維不可觀測的隨機向量 ，如果 tX 是 來自第 k 個條件分布函數 的 分量 ，那么 其第 k 個分量 ktZ 等于 1，否則為 0。 在本節(jié)中，我們使用 EM 算法來估計參數。 , , )KM IN A R C H K p p模型的過程 tX 是 m階平穩(wěn)的， 1Q? ，其中 11()kpK mk kikiQ ??????? 畢業(yè)論文外文翻譯 6 圖 1. 模型 (A)模擬序列的時序圖 ，樣本自相關 ，樣本偏自相關 圖 2. 模型 (A)模擬序列的直方圖 備注 ( 。下面，我們將導出一個使過程 tX 成為 m階平穩(wěn)的必要條件。 使服從 1( 。這可以通過對 K分量 每一個用 限制方程 1110kk pk kpzz?? ??? ? ? ?的一個根為 1 來實現。 可能的自相關范圍 與 標準 的 INARCH 過程 是 一樣大的， 因為 INARCH 模型是 MINARCH 模型 的 一種極限情況。特別的，對于 ( 。注意，這些方程和普通的 INARCH(p)過程 (見 Wei223。 當 MINARCH 模型是一個 INARCH 混合模型時， 由 MINARCH 模型生成的時間序列的自相關的范圍應是 與 INARCH 模型相似。時序圖 ，樣本自相關，樣本偏自相關 和模擬 序列的 直方圖 分別顯示在 圖 1 和 2。 用一個 服從 MINARCH(2。一階和二階平穩(wěn)的條件分別是 1 11 2 21 1? ? ? ???和221 11 2 21 1? ? ? ???。當 2p? 時， 其 二階平穩(wěn)的條件是 211????，其中 1 2 122111 1 2 211 21( ) ( )2,1KKKKk k k k kkkk k k kKkkk? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??????? ?? ? ??????? 以 MINARCH(2。 , , )M IN AR C H k p p模型 的過程 tX 是一階平穩(wěn)的。 下面給出 定理 2 的 兩個特例。 , , )KM IN A R C H K p p模型 的 過程 tX 是一階平穩(wěn)的 。 假設 服從 1( 。 , , )M IN AR C H K p p模型平穩(wěn)的充分必要條件是方程 111 ( ) 0p K ik kiik z?? ??????? 的根 位于單位圓內。 定理 1 的證明類似于 Le 等人（ 1996）和 Wong