【正文】 ∴新拋物線的表達式是y＝(x＋1)2－1.【點睛】本題為二次函數綜合運用題，涉及到二次函數基本知識、梯形基本性質，此類新定義題目，通常按照題設順序，逐次求解即可.13．如圖，拋物線經過x軸上的點A（1，0）和點B及y軸上的點C，經過B、C兩點的直線為．①求拋物線的解析式．②點P從A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個單位的速度向B運動，同時點E從B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個單位的速度向C運動．當其中一個點到達終點時，另一點也停止運動．設運動時間為t秒，求t為何值時，△PBE的面積最大并求出最大值．③過點A作于點M，過拋物線上一動點N（不與點B、C重合）作直線AM的平行線交直線BC于點Q．若點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的橫坐標．【答案】①；②當時，△PBE的面積最大，最大值為；③點N的橫坐標為：4或或．【解析】【分析】①點B、C在直線為上，則B（﹣n，0）、C（0，n），點A（1，0）在拋物線上，所以，解得，因此拋物線解析式：；②先求出點P到BC的高h為，于是，當時，△PBE的面積最大，最大值為；③由①知，BC所在直線為：，所以點A到直線BC的距離，過點N作x軸的垂線交直線BC于點P，交x軸于點H．設，則、易證△PQN為等腰直角三角形，即，Ⅰ．，所以解得（舍去），Ⅱ．，解得，（舍去），Ⅲ．，解得（舍去），．【詳解】解：①∵點B、C在直線為上，∴B（﹣n，0）、C（0，n），∵點A（1，0）在拋物線上，∴，∴，∴拋物線解析式：；②由題意，得，由①知，∴點P到BC的高h為，∴，當時，△PBE的面積最大，最大值為；③由①知，BC所在直線為：，∴點A到直線BC的距離，過點N作x軸的垂線交直線BC于點P，交x軸于點H．設，則、易證△PQN為等腰直角三角形，即，∴，Ⅰ．，∴解得，∵點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，∴；Ⅱ．，∴解得，∵點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，∴，Ⅲ．，∴，解得，∵點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，∴，綜上所述，若點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，點N的橫坐標為：4或或．【點睛】本題考查了二次函數，熟練掌握二次函數的性質、平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．14．如圖，拋物線交軸于點，交軸于點，已知經過點的直線的表達式為．（1）求拋物線的函數表達式及其頂點的坐標；（2）如圖①，點是線段上的一個動點，其中，作直線軸，交直線于，交拋物線于，作∥軸，交直線于點，四邊形為矩形．設矩形的周長為，寫出與的函數關系式，并求為何值時周長最大；（3）如圖②，在拋物線的對稱軸上是否存在點，使點構成的三角形是以為腰的等腰三角形．若存在，直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．圖① 圖②【答案】（1）拋物線的表達式為y=x22x+3，頂點C坐標為（1,4）；（2）L=4m212m=4（m+）2+9；當m=時，最大值L=9；（3）點Q的坐標為（1，），（1，），（1，3+），（1，3）．【解析】試題分析：（1）由直線經過A、B兩點可求得這兩點的坐標，然后代入二次函數解析式即可求出b、c的值，從而得到解析式，進而得到頂點的坐標；（2）由題意可表示出D、E的坐標，從而得到DE的長，由已知條件可得DE=EF，從而可表示出矩形DEFG的周長L，利用二次函數的性質可求得最大值；（3）分別以點A、點B為圓心，以AB長為半徑畫圓，圓與對稱軸的交點即為所求的點．試題解析：（1）直線y=x+3與x軸相交于A（3,0 ），與y軸相交于B（0,3）拋物線y=x2+bx+c經過A（3,0 ），B（0,3），所以，,∴，所以拋物線的表達式為y=x22x+3，∵y=x22x+3=（x+1）2+4,所以，頂點坐標為C（1,4）． （2）因為D在直線y=x+3上，∴D（m,m+3）．因為E在拋物線上，∴E（m，m22m+3）．DE=m22m+3（m+3）=m23m．由題意可知，AO=BO,∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45176。∠FPN+∠PFN＝90176。∴MN==，∴拋物線需要向下平移的距離==．②如圖，當點A′在平行于x軸的D點的特征線時，設A′（p，3），則OA′=OA=4，OE=3，EA′==，∴A′F=4﹣，設P（4，c）（c＞0），在Rt△A′FP中，（4﹣）2+（3﹣c）2=c2，∴c=，∴P（4，），∴直線OP解析式為y=x，∴N（2，），∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣=．綜上所述：拋物線向下平移或距離，其頂點落在OP上．點睛：此題是二次函數綜合題，主要考查了折疊的性質，正方形的性質，解答本題的關鍵是用正方形的性質求出點D的坐標．10．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A（﹣1，0）和點C（0，4），交x軸正半軸于點B，連接AC，點E是線段OB上一動點（不與點O，B重合），以OE為邊在x軸上方作正方形OEFG，連接FB，將線段FB繞點F逆時針旋轉90176。9． 閱讀：我們約定，在平面直角坐標系中，經過某點且平行于坐標軸或平行于兩坐標軸夾角平分線的直線，叫該點的“特征線”．例如，點M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．問題與探究：如圖，在平面直角坐標系中有正方形OABC，點B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經過B、C兩點，頂點D在正方形內部．（1）直接寫出點D（m，n）所有的特征線；（2）若點D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；（3）點P是AB邊上除點A外的任意一點，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點A落在點A′的位置，當點A′在平行于坐標軸的D點的特征線上時，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點落在OP上？【答案】（1）x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）；（3）拋物線向下平移或距離，其頂點落在OP上．【解析】試題分析：（1）根據特征線直接求出點D的特征線；（2）由點D的一條特征線和正方形的性質求出點D的坐標，從而求出拋物線解析式；（2）分平行于x軸和y軸兩種情況，由折疊的性質計算即可．試題解析：解：（1）∵點D（m，n），∴點D（m，n）的特征線是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）點D有一條特征線是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1．∵拋物線解析式為，∴，∵四邊形OABC是正方形，且