20xx年高中數(shù)學(xué)121常數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)測試3新人教b版選修2－2-文庫吧資料
2025-03-09 22:26本頁面
【正文】 點可作曲線的三條切線，證明：．答案：解：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：． 曲線在點處的切線方程為： ， 即 ．（2）如果有一條切線過點，則存在，使 ．于是，若過點可作曲線的三條切線，則方程 有三個相異的實數(shù)根．記 ，則 ．當(dāng)變化時，變化情況如下表：000極大值極小值由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時，方程最多有一個實數(shù)根；當(dāng)時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根；當(dāng)時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根．綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數(shù)根，則即 ．第12題. (2007陜西理)設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù)．（I）若的定義域為，求的取值范圍；（II）當(dāng)?shù)亩x域為時，求的單調(diào)減區(qū)間．答案：解：（Ⅰ）的定義域為，恒成立，即當(dāng)時的定義域為．（Ⅱ），令，得．由，得或，又，時，由得；當(dāng)時，；當(dāng)時，由得，即當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為．第13題. (2007浙江理)設(shè)，對任意實數(shù)，記．（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）求證：（?。┊?dāng)時，對任意正實數(shù)成立；（ⅱ）有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立．答案：（I）解：．由，得．因為當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．（II）證明：（i）方法一：令，則，當(dāng)時，由，得．當(dāng)時，當(dāng)時，所以在內(nèi)的最小值是．故當(dāng)時，對任意正實數(shù)成立．方法二：對任意固定的，令，則，由，得．當(dāng)時，．當(dāng)時，所以當(dāng)時，取得最大值．因此當(dāng)時，對任意正實數(shù)成立．（ii）方法一：．由（i）得，對任意正實數(shù)成立．即存在正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立．下面證明的唯一性：當(dāng)，時，由（i）得，再取，得，所以，即時，不滿足對任意都成立．故有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立．方法二：對任意，因為關(guān)于的最大值是，所以要使對任意正實數(shù)成立的充分必要條件是：，即， ①又因為，不等式①成立的充分必要條件是，所以有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立．第14題. (2007湖北理)已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，其中．設(shè)兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：（）．答案：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．解：（Ⅰ）設(shè)與在公共點處的切線相同．，由題意，．即由得：，或（舍去）．即有．令，則．于是當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，．故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為．（Ⅱ）設(shè)，則．故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是．故當(dāng)時，有，即當(dāng)時，第15題. (2007安徽文)設(shè)函數(shù)，其中，將的最小值記為．（I）求的表達式；（II）討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性并求極值．答案：解：（I）我們有 ．由于，故當(dāng)時，達到其最小值，即． （II）我們有．列表如下：極大值極小值由此可見，在區(qū)間和單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減小，極小值為，極大值為．第16題. 設(shè)，．（Ⅰ）令，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（Ⅱ）求證：當(dāng)時，恒有答案： （Ⅰ）解：根據(jù)求導(dǎo)法則有，故，于是，列表如下：20極小值故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值．（Ⅱ）證明：由知，的極小值．于是由上表知，對一切，恒有．從而當(dāng)時，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加．所以當(dāng)時，即．故當(dāng)時，恒有．第17題. (2007天津理)已知函數(shù)
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