【正文】 內的角，再擴充到任意角，相應地，銳角三角函數(shù)概念也必須有所擴充．任意角三角函數(shù)概念的出現(xiàn)是角的概念擴充的必然結果．比較銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)這兩個概念，共同點是，它們都是“比值”，不同點是銳角三角函數(shù)是“線段長度的比值”，而任意角三角函數(shù)是直角坐標系中“坐標與長度的比值，或者是坐標的比值”．正是由于“比值”這一與在角的終邊上所取點的位置無關的特點，因此，可以用角的終邊與單位圓的交點的坐標（或坐標的比值）來表示任意角的三角函數(shù)，這是概念的核心．這樣定義，不僅簡化了任意角三角函數(shù)的表示，也為后續(xù)研究它的性質帶來了方便．從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)類似于從自然數(shù)到整數(shù)擴充的過程，產生了“符號問題”．因此，學習任意角三角函數(shù)可以與銳角三角函數(shù)相類比，借助銳角三角函數(shù)的概念建立起任意角三角函數(shù)的概念．任意角三角函數(shù)概念的重點是任意角的正弦、余弦、正切的定義．它們是本節(jié)，乃至本章的基本概念，是學習其他與三角函數(shù)有關內容的基礎，具有根本的重要的作用．解決這一重點的關鍵，是學會用直角坐標系中，角的終邊上的點的坐標來表示三角函數(shù)．因為正切函數(shù)并不獨立，最主要的是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)．任意角三角函數(shù)自然具有函數(shù)的一切特征，有它的定義域，對應法則以及值域．任意角三角函數(shù)的定義域是實數(shù)集（或它的子集），這是因為，在建立弧度制以后，角的集合與實數(shù)集合間建立了一一對應關系，從這個意義上說，“角是實數(shù)”，三角函數(shù)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)．各種不同的三角函數(shù)定義了不同的對應法則，因而可能有不同的定義域與值域．任意角三角函數(shù)概念是核心概念，它是解決一切三角函數(shù)問題的基點．無論是研究三角函數(shù)在各象限中的符號、特殊角的三角函數(shù)值，還是同角三角函數(shù)間的關系，以及三角函數(shù)的性質，等等，都具有基本的重要的意義．在建立任意角三角函數(shù)這個定義的過程中，學生可以感受到數(shù)與形結合，以及類比、運動、變化、對應等數(shù)學思想方法． 二．目標和目標解析本節(jié)課的目標是，理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義．學生已經學習過銳角三角函數(shù)sinα，cosα，tanα，了解三角函數(shù)是直角三角形中邊長的比值，這個比值僅與銳角的大小有關，是隨著銳角取值的變化而變化的，其值是惟一確定的，等函數(shù)的要素．這是任意角三角函數(shù)概念的“生長點”．理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）定義的關鍵是由銳角三角函數(shù)這個線段長度的比值擴展為點的坐標或坐標的比值．因此，對銳角三角函數(shù)理解得怎樣，對理解任意角三角函數(shù)有決定意義，復習銳角三角函數(shù)，加深對銳角三角函數(shù)的理解是必要的．要實現(xiàn)讓學生“理解”任意角三角函數(shù)定義的教學目標，莫過于讓學生參與任意角三角函數(shù)定義的過程．讓學生感受到因角的概念的擴展，銳角三角函數(shù)概念擴展的必要性，任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)概念的自然延伸．反過來，既然銳角集合是任意角集合的子集，那么，銳角三角函數(shù)也應該是任意角三角函數(shù)的特殊情況，是一個包含關系．讓學生參與定義，可以感受到這樣定義的合理性，感受到這個定義是自然的．三．教學問題診斷分析從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)的學習，從認知結構發(fā)展的角度來說，是屬于“下、上位關系學習”，是一個從特殊到一般的過程，“先行組織者”是銳角三角函數(shù)的概念．教學策略上先復習包容性小、抽象概括程度低的銳角三角函數(shù)的概念，然后讓學生“再創(chuàng)造”抽象程度高的上位概念（參與定義），并形成新的認知結構，讓原有的銳角三角函數(shù)的概念類屬于抽象程度更高的任意角三角函數(shù)的概念之中．學生過去在直角三角形中研究過銳角三角函數(shù)，這對研究任意角三角函數(shù)在認識上會有一定的局限性，所以學生在用角的終邊上的點的坐標來研究三角函數(shù)可能會有一定的困難．可以讓學生在原有的對銳角三角函數(shù)的幾何認識的基礎上，嘗試讓學生建立用終邊上的點的坐標定義任意角三角函數(shù)，或者嘗試用終邊上的點的坐標定義銳角三角函數(shù)，然后再定義任意角的三角函數(shù)．教學的另一個難點是，任意角三角函數(shù)的定義域是實數(shù)集（或它的子集）．因為學生剛剛接觸弧度制，未必能理解“把角的集合與實數(shù)集建立一一對應”到底是為了什么．可以在復習銳角三角函數(shù)時，把銳角說成區(qū)間（0，四．教學支持條件分析利用幾何畫板軟件，可以動態(tài)改變角的終邊位置，從而改變角的終邊上點的坐標大小的特點，便于學生認識任意角的位置的改變，所對應的三角函數(shù)值也改變的特點，感受函數(shù)的本質；感受終邊相同的角具有相同的三角函數(shù)值；也便于觀察各三角函數(shù)在各象限中符號的變化情況，加深對任意角三角函數(shù)概念的理解，增強教學效果．）內的角，以便分散這個難點． 五．教學過程設計 1．理解銳角三角函數(shù)要理解任意角三角函數(shù)首先要理解銳角三角函數(shù)．銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的先行組織者．問題1 任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．教師用幾何畫板任意畫一個銳角．要求學生自己任意也畫一個銳角，利用手中的三角板畫直角三角形，度量角α的對邊長、斜邊長，計算比值．意圖：復習初中所學習過的銳角三角函數(shù)，加深對銳角三角函數(shù)概念的理解，它是學習任意角三角函數(shù)的基礎．突出：（1）與點的位置的選取無關；（2）是直角三角形中線段長度的比值． 問題2 能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數(shù)值不用計算就可以得到？意圖：學生根據(jù)自己實際畫圖操作，以及計算比值的體驗，會很快認為把斜邊畫成單位長比較方便，為后續(xù)任意角三角函數(shù)的“單位圓定義法”做鋪墊．問題3 銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量以及與之對應的函數(shù)值分別是什么？意圖：以便與后面的任意角三角函數(shù)的自變量是角（的弧度，對應一個實數(shù)），對應的函數(shù)值是α的終邊與單位圓交點的縱坐標比較．銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量是銳角．由于角的弧度值與實數(shù)可以一一對應，所以，α是（0，）上的實數(shù)．而與之對應的函數(shù)值sinα是線段長度的比值，是區(qū)間（0，1）上的實數(shù)．問題4 你產生過這個疑問嗎：“三角函數(shù)只有這三個？”意圖：這個問題具有元認知提示的特點，引導學生勤于思考，逐步學會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、研究問題．三條邊相互比，可以產生六個比．還有哪三個呢？再把已知的三個倒過來． 2．任意角三角函數(shù)定義的“再創(chuàng)造”教師利用幾何畫板，把角α的頂點定義為原點，一邊與x軸的正半軸重合，轉動另一條邊，表現(xiàn)任意角．問題5 現(xiàn)在，角的范圍擴大了．在直角坐標系中，使得角的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境下，你認為，對于任意角α，sinα，cosα，tanα怎樣來定義好呢？意圖：可以打破知識結構的平衡，感受到學習新知識的必要性——角的范圍擴大了，銳角三角函數(shù)也應該“與時俱進”，并不顯得突然．把定義的主動權交給學生，引導學生參與定義過程，發(fā)展思維．有兩種可能的回答．可能一：在α的終邊上任意畫一點P（x，y），|OP|＝r．可能二：設角α的終邊與單位圓的交點為P（x，y）．不論出現(xiàn)可能一還是可能二，都再問：“都是這樣的嗎？”引導學生議論，以確認兩種定義方法的一致性、各自特點．再問“你贊成哪一種？”，統(tǒng)一認識，建立任意角三角函數(shù)的定義．（板書）因為前面已經有引導，學生可能很快接受“可能二”． 3．任意角三角函數(shù)的認識（對定義的體驗）問題6（1）求下列三角函數(shù)值：問題6（2）說出幾個使得cosα＝1的α的值． 意圖：通過定義的簡單應用，把握定義的內涵．逐題給出，對于每一個答案，都要求學生說出“你是怎樣得到的．”突出“畫終邊，找交點坐標，算比值（對正切函數(shù)）”的步驟．問題6（3）指出下列函數(shù)值：意圖：角的終邊位置決定了三角函數(shù)值的大?。K邊位置相同的角同一三角函數(shù)值相等．于是有 sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cosα，tan（α＋2kπ）＝tanα．（其中k∈Z）問題6（4）①確定下列三角函數(shù)的符號：②θ在哪個象限？請說明理由．反過來呢？③角α的哪些三角函數(shù)值在第二、三象限都是負數(shù)？為什么？ ④tanα在哪些象限中取正數(shù)？為什么？ 意圖：認識三角函數(shù)在各象限中的符號．問題7 做了這么多題，要反思．你是否發(fā)現(xiàn)了任意角三角函數(shù)的一些性質？還有些什么體會？ 意圖：體驗以后的概括，階段小結．（1）抓住各三角函數(shù)的定義不放；（2）各象限中三角函數(shù)的符號特點，等．教師板書學生獲得的成果、感受． 4．任意角三角函數(shù)的定義域問題8 α是任意角，作為函數(shù)的sinα，cosα，tanα，它們的定義域分別是什么？意圖：三角函數(shù)也是函數(shù)，自然應該關心它的定義域．建立了角的弧度制，角的集合與實數(shù)集合之間建立了一一對應關系，因此，sinα，cosα的定義域是R；tanα＝中，x≠0，于是tanα的定義域是仍然緊扣定義，并引導以弧度制表示它的定義域． 5．練習（1）確定下列三角函數(shù)值的符號，并借助計算器計算：（2）求下列三角函數(shù)值：6．小結問題9 下課后，你走出教室，如果有人問你：“過去你就學習過銳角三角函數(shù)，今天又學習了任意角的三角函數(shù)，它們的差別在哪里呢？”你怎么回答他？意圖：通過問題小結．不追求面面俱到，突出銳角三角函數(shù)是三角形中，邊長的比值，而任意角的三角函數(shù)是直角坐標系中角的終邊與單位圓交點的坐標，或者是坐標的比值．若時間允許，再問：“還有其他收獲嗎？”比如，終邊相同的角的同一三角函數(shù)相等；各象限三角函數(shù)的符號；任意角三角函數(shù)的定義域，等． 六．目標檢測設計（1），寫出α的終邊與單位圓交點的橫坐標，并寫出tanα的值．（2）求下列三角函數(shù)的值：（3）角α的終邊與單位圓的交點是Q，點Q的縱坐標是1/2，說出幾個滿足條件的角α．（4）點P（3，－4）在角α終邊上，說出sinα，cosα，tanα分別是多少？（1）實際教學片段上課始，教師用幾何畫板任意畫一個銳角，提出問題1：“任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．”然后走進學生中間，觀察他們的學習行為．結果發(fā)現(xiàn)，有一部分同學畫出角之后，一片茫然．教師又不愿意把結果告訴學生，提示同桌的兩位同學可以商量一下，并提示，完成的同學請舉手示意，以便教師了解情況，結果舉手的人很少．之后，教師提問一位舉手的學生，問：“你是怎么做的？”她要求上黑板，教師非常贊成．她在黑板上畫出一個直角三角形，并不熟練地寫出一個銳角的正弦是它的對邊比斜邊以及余弦、正切等三個三角函數(shù)．之后，教師又與學生討論了問題2：能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數(shù)值不用計算就可以得到？學生比較一致認為把斜邊長畫成單位長比較好，為“單位圓定義法”做必要的鋪墊．接著討論問題3：銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量以及與之對應的函數(shù)值分別是什么？在教師類比正方形的面積s＝a2的提示下，學生。內的角,又擴展到了任意角,并且在直角坐標系中,使得角的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境中,你認為,對于任意角α，sinα怎樣定義好呢？上述問題提得“大氣”，既能使學生的學習圍繞關鍵問題展開，若能依教材先作銳角情形的鋪墊，教學更符合學生“最近發(fā)展區(qū)”，需要引導學生從函數(shù)的觀點認識用坐標表示的銳角三角函數(shù)，其中最主要的是使正弦函數(shù)、余弦函數(shù)從自變量（角的弧度數(shù)）到函數(shù)值（單位圓上點的橫、縱坐標）之間的對應關系更清楚、簡單，突出了三角函數(shù)的本質，有利于學生利用已有的函數(shù)概念來理解三角函數(shù)，其次是使三角函數(shù)反映的數(shù)形關系更直接，“優(yōu)點”，引入單位圓的“理由”應該另辟蹊徑，白老師在引導學生完成用角的終邊上任意一點的坐標表示銳角三角函數(shù)之后，從求簡的角度設置問題,不愧為“棋高一招”：大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡單一點？在學生得出時定義式最簡單后,白老師引入單位圓,，“定義”是一種“規(guī)定”，因此，第四環(huán)節(jié)中，教師可類比用單位圓定義銳角三角函數(shù)情形，直接給出任意角三角函數(shù)定義，對學生而言，關鍵是理解這樣“規(guī)定”的合理性，對定義合理性認知基礎就是三角函數(shù)的“函數(shù)”本質——定義要符合一般函數(shù)的內涵（函數(shù)三要素）.3．精心設計問題，讓課堂成為學生思維閃光的舞臺 基于上述認識，對定義部分的教學，：周期現(xiàn)象是社會生活和科學實踐中的基本現(xiàn)象，大到宇宙運動，小到粒子變化，這些現(xiàn)象的共同特點是具有周期性，另外，如潮汐現(xiàn)象、簡諧振動、交流電等，也具有周期性，而“三角函數(shù)”？它具有哪些特別的性質？在解決具有周期性變化規(guī)律的問題中到底能發(fā)揮哪些作用？：：在初中，我們已經學習了銳角三角函數(shù)，它是怎樣定義的？ 意圖：從學生已有的數(shù)學經驗出發(fā)，：現(xiàn)在，角的概念已經推廣到了任意角，上述定義方法能推廣到任意角嗎？ 意圖：引發(fā)學生的認知沖突，：如何定義任意角的三角函數(shù)？ 意圖：：我們知道，直角坐標系是展示函數(shù)規(guī)律的載體，是構架“數(shù)形結合”的天然橋梁，上堂課我們把任意角放在平面直角坐標系內進行研究，借助坐標系，可以使角的討論簡化，也能有效地表現(xiàn)出角的終邊位置“周而復始”“數(shù)”：：先考慮銳角的情形，如圖1，在平面直角坐標系中，你能用點的坐標來表示銳角α的三角函數(shù)嗎？意圖：：各個比值與角之間有怎樣的關系？比值是角的函數(shù)嗎？意圖：扣準函數(shù)概念的內涵，把三角函數(shù)知識納入函數(shù)知識結構，突出變量之間的依賴關系或對應關系，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，得出結論：三個比值分別是以銳角α為自變量、：既然可在終邊上任取一點，那有沒有辦法讓所得的對應關系變得更簡單一點？ 意圖：，可引導學生進一步明確：正弦、余弦、正切都是以銳角α為自變量、以單位圓上點的坐標（或比值）：類比上述做法，設任意角α的終邊與單位圓交點為P（x，y），定義正弦函數(shù)為，余弦函數(shù)為，? 意圖：給出任意角三角函數(shù)的定義,引導學生用函數(shù)三要素說明定義的合理性，明確任意角三角函數(shù)的對應法則、定義域、先讓學生作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明，得出結論：正弦、余弦、正切都是以任意角α為自變量、以單位圓上的坐標或坐標的比值（如果存在的話）、值域.“任意角三角函數(shù)的概念”教學設計陶維林（江蘇南京師范大學附屬中學，210003）一．內容和內容解析三角函數(shù)是一個重要的基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型．它的基礎主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數(shù)中的圖象分析和式子變形，三角函數(shù)的研究已經初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來．它在物理學、天文學