【正文】 這些算子在一定程度上可以保持圖像的邊緣細(xì)節(jié)，但檢測(cè)到的邊緣效果各有不同。它是一種非線性的差分算子，而且其檢測(cè)出的邊緣與結(jié)構(gòu)元素 B 有關(guān)。 根據(jù)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的膨脹、腐蝕、開、閉運(yùn)算的定義及擴(kuò)張性，令 f(x， y)表示圖像， B 表示結(jié)構(gòu)元素，當(dāng) B 包括 坐 標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，有 ： BffBf ???? （ 45） BffBf ???? （ 46） 綜合 （ 45）和（ 46） 兩式及形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算定律可得 到如式（ 47）的形式。 圖像的邊緣有多種梯度形式，其邊緣檢 測(cè) 的基本原理是 ： 如果在圖像中的某點(diǎn)處的梯度值大，則表示在該點(diǎn)處圖像的明 暗 變化迅 速， 從而可能有邊緣通過，通常這些梯度以數(shù)學(xué)差分形式給出。 與傳統(tǒng)的圖像邊緣檢測(cè)算法的理論相比，形態(tài)學(xué)在圖像邊緣檢測(cè)中有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，它在邊緣檢測(cè)這一 問題上取得了較好的效果。 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)建立在集合論基礎(chǔ)上，是一種應(yīng)用于圖像處理和模式識(shí)別領(lǐng)域的新的方法。MatrHildreth 邊緣檢測(cè)方法 (LOG 算子 )采取先對(duì)原始圖像用高斯空間濾波器做最佳平滑，然后用拉普拉斯算子對(duì)濾波后的圖像提取零交叉點(diǎn)，以克服噪聲對(duì)邊緣檢測(cè)的影響。 理工大學(xué)畢業(yè)論文 26 形態(tài)學(xué)算法和傳統(tǒng)算法的邊緣檢測(cè)比較 傳統(tǒng)的圖像邊緣檢測(cè)方法大多可歸結(jié)為圖像高頻分量的增強(qiáng)過程 [16]，最早提出的 Robert、Sobel、 Prewitt 等是一階微分邊緣算子。同理，閉運(yùn)算結(jié)構(gòu)元素尺度的選擇就轉(zhuǎn)化為如何選擇小結(jié)構(gòu)元素尺寸和膨脹的次數(shù)問題。 CDCDACDCDABA ?????????? )()())((? （ 41） 由式（ 41） 可以得出： SSSSABA ????? )(? （ 42） 若將 式（ 42）中的 2 次腐蝕膨脹擴(kuò)展為 K 次，則 ??? ?? ???? ?? ??kk SSSSSSABBABA ???????? ()( （ 43） 因此開運(yùn)算就轉(zhuǎn)換成不斷使用小結(jié)構(gòu)元素 S 腐蝕原圖像，再依次用小結(jié)構(gòu)元素 S 膨脹。結(jié)構(gòu)元素尺寸的計(jì)算 是一個(gè)重要問題。當(dāng)結(jié)構(gòu)元素尺寸太小時(shí)，閉運(yùn)算不能實(shí)現(xiàn)裂口較大的斷裂邊緣連接，作開運(yùn)算時(shí)不能實(shí)現(xiàn)較大凸起與粘連的去除。正方形、菱形、六邊形可以看作是圓盤形的變異，線段形結(jié)構(gòu)元素可以用來去除或提取較長(zhǎng)的圖像結(jié)構(gòu)，不同形狀的結(jié)構(gòu)元素運(yùn)算結(jié)果會(huì)有差異，應(yīng)針對(duì)待處理圖像的幾何形狀進(jìn)行選擇。結(jié)構(gòu)元素可以為圓盤形、正方形、菱形、六邊形、線段形等。例如線段狀結(jié)構(gòu)元素，若它的原點(diǎn)在中點(diǎn)則為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，若原點(diǎn)在端頭則為非對(duì)稱結(jié)構(gòu)。 理工大學(xué)畢業(yè)論文 25 結(jié)構(gòu)元素的形狀 任何形狀都可以作為結(jié)構(gòu)元素，但在實(shí)際應(yīng)用中，只有一定數(shù)量的結(jié)構(gòu)元素可用，通常結(jié)構(gòu)元素的形狀和尺寸必須適合于待處理目標(biāo)圖像的幾何性質(zhì)形狀選擇要注意兩點(diǎn)： （ 1）結(jié)構(gòu)元素對(duì)稱和非對(duì)稱性選擇。所 以，根據(jù)給定的圖像處理目的，靈活、合理地運(yùn)用形態(tài)學(xué)運(yùn)算的要領(lǐng)歸結(jié)為兩點(diǎn)，即運(yùn)算復(fù)合方式的選擇及結(jié)構(gòu)元素的選擇。 利用形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算是基于集合的觀點(diǎn)，這個(gè)集合集中反映了物體的形狀、體積、紋理、色彩等等。在數(shù)學(xué)上，利用灰度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來描述邊緣點(diǎn)的變化規(guī)律。一般將圖像的邊緣劃分為階躍狀邊緣和屋脊?fàn)钸吘墐煞N。這種邊緣線為兩種不同曲面的交界，在這些邊緣點(diǎn)處物體的法線方向不連續(xù)，即兩側(cè)灰度明顯不連續(xù)； 2．邊緣由灰度或材料的不同產(chǎn)生； 3．邊緣是物體與背景的分界線； 4．邊緣由物體與物體的交界產(chǎn)生，在物體表面上法線的不連續(xù)處； 5．邊緣由陰影引起，兩側(cè)灰度值有較大差異。其中最根本的問 題是解決檢測(cè)精度和抗噪能力間的矛盾 。因此，邊緣檢測(cè)在圖像處理與計(jì)算機(jī)視覺中占有特殊的位置，它是是圖像分割、紋理特征提取和形狀特征提取等圖像分析的重要基礎(chǔ)，是底層視覺處理中最重要的環(huán)節(jié)之一。邊緣反映了圖像的最基本特征 [14]。其中 (a)為原圖像， (b)是骨架化效果， (c)是邊界像素測(cè)定 效果。 則 認(rèn) 為該像素為邊界像素。 (a)原圖像 (b)骨架化效果 (c)邊界像素測(cè)定效果 圖 36 圖像的骨架化及邊界像素測(cè)定 對(duì)于一幅二進(jìn)制灰度圖像，如果圖像的像素值為 1，則圖像的狀態(tài)為 ON；如果其 像素 的值為 0，則該像素的狀態(tài)為 OFF。從圖中可以看到經(jīng)過一次開操作和閉操作或者是經(jīng)過一次閉操作和開操作，圖像都得到了很好的平滑，但是細(xì)節(jié)上有一些微小的損失，邊緣的清晰度也有所下降，細(xì)節(jié)損失的大小取決于結(jié)構(gòu)元素的形態(tài)和大小。同樣，結(jié)構(gòu)元素的 選取也是個(gè)重要問題。用閉運(yùn)算消除與結(jié)構(gòu)元素相比尺寸較小的暗細(xì)節(jié)，而保持圖像整體灰度值和大的暗區(qū)域基本不變。該方法中，對(duì)結(jié)構(gòu)元素 的選取相當(dāng)重要，它應(yīng)當(dāng)比所有的噪聲孔和噪聲塊的尺寸都要大。用 B 對(duì) A 進(jìn)行閉操作，則可以將目標(biāo)內(nèi)部的噪聲孔消除掉。 對(duì)于二值圖像，噪聲主要表現(xiàn)為目標(biāo)周圍的噪聲塊和目標(biāo)內(nèi)部的噪聲孔。進(jìn)行這兩種操作的最終結(jié)果是除去或減少了亮和暗的因素和噪聲。去除噪聲的一般的思想是：先對(duì)有噪聲的圖像進(jìn)行噪聲的模糊，也即是先平滑圖像然 后進(jìn)行形態(tài)邊緣檢測(cè)。要準(zhǔn)確的檢測(cè)出圖像的邊緣，噪聲的濾除成為了邊緣檢測(cè)必不可少的步驟 [13]。 對(duì)圖 33 重構(gòu)后， 如 圖 34 所示 ，這里的標(biāo)記圖像是用掩模圖像減去一個(gè)常數(shù) 2。 （ 2） 進(jìn)行形態(tài)學(xué)重構(gòu) 形態(tài)學(xué)重構(gòu)操作具有很多獨(dú)有的特性： （ 1） 形態(tài)學(xué)重構(gòu)處理基于兩幅圖像，一個(gè) 是 標(biāo)記圖像，另一個(gè)是掩模圖像，而不僅僅是一幅圖像和一個(gè)結(jié)構(gòu)元素。 ；；；；；；；；；；]10101011101010101010101010101010111011101010181818101011101010101818181011101010101018181810101011101010101010101010100101110111010141414010101110101014141401011101110101414141010101010101010101010[?A 圖 33 形態(tài)學(xué)重構(gòu)的簡(jiǎn)單圖像矩陣 要很好地重構(gòu)這幅圖像，可以通過以下兩個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)： （ 1） 首先創(chuàng)建標(biāo)記圖像 與 腐蝕 和膨脹操作中使用的結(jié)構(gòu)元素一樣，標(biāo)記圖像的特征決定了形態(tài)學(xué)重構(gòu)結(jié)果所具理工大學(xué)畢業(yè)論文 21 有的特征，所以表搜集圖像的峰值應(yīng)該確定掩模圖像中希望強(qiáng)調(diào)對(duì)象的位置。 在進(jìn)行形態(tài)學(xué)重構(gòu)時(shí)，重點(diǎn)是要選擇一個(gè)合適的標(biāo)記圖像，這是因?yàn)闃?biāo)記圖像進(jìn)行膨脹后要能充分強(qiáng)調(diào)掩模圖像中的主要對(duì)象。 )( BAABA ??? ? （ 33） 形態(tài)學(xué)重構(gòu) 所謂形態(tài)學(xué)重構(gòu) [5]，就是根據(jù)一幅圖像（稱之為掩模圖像）的特征對(duì)另一幅圖像（稱之為標(biāo)記圖 像）進(jìn)行重復(fù)膨脹操作，直到該圖像的像素值不再變化為止。圖 32[7]表示了細(xì)化效果。根據(jù)擊中擊不中 變換 細(xì)化過程可以定義 成如式（ 32）所示的形式。 細(xì)化和粗化 細(xì)化是在圖像中將二值物體和形狀減小為單個(gè)像素寬的線。輸出圖像是由所有在 1B 中匹配的像素 (一個(gè) ―擊中 )和未在 2B 中匹配的像素 (一個(gè) ―擊不中 )組成。擊中擊不中變換需要兩個(gè)結(jié)構(gòu)元 1B 和 2B ，這兩個(gè) 結(jié)構(gòu) 元被作為一個(gè)結(jié)構(gòu)元素 ， 對(duì) )( 21BBB? ，一個(gè)用來探測(cè)圖像內(nèi)部，另一個(gè)用來探測(cè)圖像外部， A 被 B擊中或擊不中變換定義 如式（ 31）所示。 利用擊中擊不中變換即可以提取特定的相交結(jié)構(gòu)信息。在上述變換中對(duì)它們均采取一致的政策而不管相交 的結(jié)構(gòu)。為了研究圖像的結(jié)構(gòu)，可以逐步地利用各種成分 (如各種結(jié)構(gòu)元素 )對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)，指定哪些成分包括在圖像內(nèi)，哪些成分包括在圖像外，從而最終確定圖像的結(jié)構(gòu)。 理工大學(xué)畢業(yè)論文 19 第 3 章 形態(tài)學(xué)在圖像處理的基本應(yīng)用 擊中或擊不中變換 在圖像分析中，同時(shí)探測(cè)圖像的內(nèi)部和外部，而不僅僅局限于探測(cè)圖像的內(nèi)部或圖像的外部，對(duì)于研究圖像中物體與背景之間的關(guān)系，往往會(huì)起到很好的效果 [12]。從 式（ 258）和式（ 259） 的結(jié)果可知，經(jīng)模糊形態(tài)腐蝕膨脹運(yùn)算后的隸屬函數(shù)均落在 [0,1]的區(qū)間內(nèi) 。模糊性由結(jié)構(gòu)元素 對(duì)原圖像的適應(yīng)程度來確定。 模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué) 將模糊集合理論用于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)就形成了模糊形態(tài)學(xué) 。所以軟化形態(tài)學(xué)退化為標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)學(xué)。 )} )()({))}()((({)](,[21)( )(zxzfyxyfkofs m al l e s tkthxkf Kzx Kyx ?????? ?? ?? ????? ? （ 257） 其中， 2, Zzyx ? 是空間坐標(biāo)， ZFf ?: 是圖像的灰度值， ZK ?1:? 是灰度結(jié)構(gòu)元素的核心， ZK ?2:? 表示結(jié)構(gòu)元素的軟邊界， 221 , ZKKF ? 分別表示灰度圖像、灰度結(jié)構(gòu)元素的核心、灰度結(jié)構(gòu)元素的軟邊 界的定義域， 12 / KKK ? （集合差），其中 2ZK? 表示灰度結(jié)構(gòu)元素的定義域。 該排列表中的第 K 個(gè)元素即為軟數(shù)學(xué)形態(tài)膨脹或腐蝕的結(jié)果。 在灰度軟形態(tài)學(xué)的膨脹與腐蝕運(yùn)算中 ， 圖像 f 的灰度值與傳統(tǒng)的形態(tài)學(xué)一樣 ， 需要與結(jié)構(gòu)元素的灰度值結(jié)合起來 。 ghgfhf ?? ????? （ 255） gfggffgf ???? ??? )(, （ 256） 理工大學(xué)畢業(yè)論文 18 軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué) 在軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的運(yùn)算中 ， 注入了 ―順序統(tǒng)計(jì) ‖ 的數(shù)學(xué)思想 .標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)學(xué)里用到的極大極小運(yùn)算用加權(quán)排序統(tǒng)計(jì)法代替并將結(jié)構(gòu)元素分為核 心和軟邊界兩大部分 。二值形態(tài)學(xué)中的一些基本運(yùn)算性質(zhì)，在灰度形態(tài)學(xué)中依然成立，只是二值形態(tài)學(xué)是在集合的層次上，在灰度形態(tài)學(xué)中一律以函數(shù)代替；二值形態(tài)學(xué)用的是集合的交、并和補(bǔ)等集合關(guān)系的運(yùn)算，在灰度形態(tài)學(xué)中就以函數(shù)的相加、減并取結(jié)果的極大值 或極小值的關(guān)系的運(yùn)算代替；例如開運(yùn)算的平移不變性可表示 為式（ 254）的形式。可以看出開啟運(yùn)算后的圖像消除了原始圖像中的亮點(diǎn)，整體圖案顯得比原始圖像暗，因?yàn)樵紙D像中的亮細(xì)節(jié)往往讓人主觀感覺圖像偏亮，所以開啟運(yùn)算后圖像讓人感覺就暗了很多，而圖像整體灰度值卻沒有受到很大影響，因?yàn)殚_啟 （ 1）灰度開運(yùn)算 （ 2）灰度閉運(yùn)算 圖 216 灰度圖像開閉運(yùn)算仿真結(jié)果 運(yùn)算的第二步會(huì)恢復(fù)一些圖像亮度，只是使得整個(gè)圖像沒有了亮細(xì)節(jié)；閉合運(yùn)算后的圖像消除了原始圖像中的暗點(diǎn)，整體圖案由于沒有了這些原來的暗區(qū)域，看起來會(huì)比較明亮清楚一些，但人 眼往往對(duì)暗的細(xì)節(jié)不敏感，所以主觀感覺不是很明顯，但圖像整體的灰度值卻沒有受到很大影響，因?yàn)殚]合運(yùn)算的第二步腐蝕還會(huì)降低一些灰度，只是使得整個(gè)圖像沒有了暗細(xì)節(jié)。具體就是第一步的腐蝕去除了小的亮細(xì)節(jié)并同時(shí)減弱了圖像亮度，第二步的膨脹增加了圖像亮度但又不重新引入前面去除的細(xì)節(jié)。換句話說，當(dāng) b 貼著 f 的下沿滾動(dòng)時(shí)， f 中沒有與 b 接觸的部位都落到與 b 接觸。圖 (c)給出開啟操作的結(jié)果。 圖 215 形態(tài)學(xué)灰度開啟和閉合變換 圖 215[9]中，用 b 開啟 f ，即 bf? ，可看作將 b 貼著 f 的下沿從一端滾到另一端。 用 b (灰度 )閉合 f 記為 bf? ，其定義 如式（ 253）所示。 bbfbf ??? )(? （ 252） 開啟運(yùn)算可以通過求出所有結(jié)構(gòu)元素的形態(tài)學(xué)平移都可填入輸入信號(hào)下方的極大點(diǎn)來計(jì)算?；叶葦?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中關(guān)于開啟和閉合的表達(dá)與它們?cè)诙禂?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中的對(duì)應(yīng)運(yùn)算是一致的。 )()()( qfpfqpf ?????? （ 249） )()()( qfpfqpf ?????? （ 250） )()()( qppfqpf ?????? （ 251） 理工大學(xué)畢業(yè)論文 16 灰度形態(tài)學(xué)開運(yùn)算和閉運(yùn)算 具備了腐蝕和膨脹這兩種初級(jí)形態(tài)學(xué)運(yùn)算，我們便可以定義二級(jí)運(yùn)算一灰度開啟和灰度閉合運(yùn)算。 ggfggfggfggf ?????????? )()(,)()( 1212121 （ 244） 6. 平移不變性 如式（ 245）、式（ 246）、式（ 247）和式（ 248）所示。 gffgfg ?????? 0)0( （ 242） 4. 交換律 如式（ 243）所示。 ])[(],],)[( gfgfgfgfgf ??????????? （ 239） 2．單調(diào)性 如式（ 240）和式（ 241）所示。 灰度形態(tài)學(xué)腐蝕和膨脹運(yùn)算性質(zhì) 灰 度 膨脹和腐蝕具有類似二值腐蝕和膨脹的一些性質(zhì)，這些性質(zhì)在實(shí)際應(yīng)用中具有非常重要的作用， 下面不加證明的給出這些性質(zhì)。從 (c)中可以看到與膨脹相反的結(jié)果，被腐蝕的圖像更暗．并且尺寸小、明亮的部分被削弱了。 (a)為原始的灰度圖像， (b)為膨脹后的圖像， (c)為腐蝕后的圖像，采用的是 33? 的 方形結(jié)構(gòu)元。 ]}?[|)(?{ bDxxbfbf x ????? （ 237） ]}[|)({ bDxxbfbf x ????? （ 238） 根據(jù)以上的定義形式，灰度膨脹可按下面步驟完成：對(duì)結(jié)構(gòu)元素 b 的定義域 ][bD 中的 每一個(gè)點(diǎn) x 將信號(hào) f 平移 x，然后再對(duì)每次平移的信號(hào)的值加上 )(xb ，這樣對(duì)于結(jié)構(gòu)元素定義域 中的每個(gè)點(diǎn)都得到一個(gè)信號(hào)，對(duì)所有這些信號(hào)逐點(diǎn)取其最大值，便可得到