【正文】 于是得到 N 個線性方程 ,寫成矩陣形式有（ 328）： ????????????????)0()2()1()2()0()1()1(1)0(xxxxxxxxxxxxxxxxxxRNRNRNRRRNRRR???????）（????????????? )1()1()0(Nhhh? ??????????????)1()1()0(NRRRxxxxxx? (328) ?xxR????????????????)0()2()1()2()0()1()1()1()0(xxxxxxxxxxxxxxxxxxRNRNRNRRRNRRR??????? (329) ? ?min2 )(neE ?????10 )()()0(Nm xxoptxx mRmhR (330) 用有限長的 )(nh 來實現(xiàn)維納濾波時，當已知觀測值的自相關和信號的互相關時就可以按照式 (330)在時域里求解 )(。 因果的維納濾波器 ,設 )(nh 是物理可實現(xiàn)的，也即是因果序列： 0)( ?nh , 當 0?n ， 因此，可推導出（ 317）： ?)(ny )(?s???? ?? 0 )()(m mnxmh (317) ? ?)(2 neE ???????? ?????? ??? ????20)()()(mmnxmhnsE (318) 要使得均方誤差最小，則將式（ 318）對各 )(mh , ,...,1,0?m 求偏導，并且等于零，得（ 319） 0)()()()(20 ??????? ??????? ?? ???? jnxmnxmhnsE m opt ,...,1,0?j (319) 即（ 320） ? ?)()( jnxnsE ? ? ????? ??? 0 )()()(m opt jnxmnxEmh j ?0 (320) 用相關函數(shù) R 來表達上式，則得到維納 霍夫方程的離散形式（ 321）： )(jRxx ???? ?? 0 )()(m xxopt mjRmh j ?0 (321) 由式 (321)進一步化簡得（ 322）： ? ?min2 )(neE )0(xxR? ????? 0 )()(m xxopt mRmh (322) 有限脈沖響應法求解維納 —霍夫方程。我們從時域入手求最小均方誤差下的 )(nh ,用 )(nhopt 表示最佳線性濾波器。這樣，使用本文方法檢測出的模糊參數(shù)構造點擴散函數(shù)，來恢復退化圖像可以取得很好的效果。經(jīng)反復試驗驗證，此方法可以將暗條紋角度檢測的誤差控制在 1176。這對使用 Radon 算法檢測模糊角度產(chǎn)生了較大影響，進而影響了模糊長度的檢測。 基于上述理論分析 ,設計出檢測運動模糊角度和長度的方法，并實現(xiàn)對退化圖像的自動恢復； (1) 計算 |G（ u， v） |，轉化為 log(|G（ u， v） |)，并且移位使 u =0， v=0 位于中心位置； (2) 對得到的頻譜圖像進行二值化處理； (3) 對移位后的 log(|G（ u， v） |)進行 Radon 變換，找出變換最大值對應的角度 a，在尋找 a 的過程中可以使用二分法提高檢測效率； (4) 由式 (312)求出模糊角度檢測值； (5) 根據(jù)在 ? 方向的 Radon 變換值檢測頻譜中心暗條紋間距； (6) 根據(jù)式 (316)得出模糊長度 L 檢測值； (7) 用檢測出的模糊角度 ? 和模糊長度構造點擴散函數(shù)； (8) 運用維納濾波法對圖像進行恢復； (9) 對恢復圖像進行處理，去除振鈴效應。即檢測多個暗條紋間距，并取平均值的方法缺乏對噪聲的 抵抗性。由公式知，當出現(xiàn)這種最惡劣情況時，檢測長度產(chǎn)生的絕對誤差為 1/D，可以通過檢測多個暗條紋之間的總的間距，然后取條紋間距的平均值來減少絕對誤差。圖中主瓣寬度即為頻譜圖像中的中心相鄰暗條紋間距 D。而在這個角度進行 Radon 變換得到的二維變換圖像中的主瓣寬度則對應頻譜圖像中的中心相鄰暗條紋寬度，其旁瓣對應相應位置相鄰暗條紋間距 [2]。對圖像 而言 Radon 變換反映了圖像在不同方向上的投影性質。可以得出，當被處理圖片為長寬相等時， ? =1，模糊長度和中心暗條紋間距為簡單的反比關系 (2 )l M D? ，但當所處理圖片長寬不相等時，只能用式（ 316）來確定模糊長度 [1]。令 M=? N，得（ 315） 222( c o s ) ( s in )MD l ??? ? （ 315） 蘭州理工大學畢業(yè)設計 21 由式 (316)可得模糊長度為（ 317） 222( c o s ) ( s in )MD D ??? ? （ 316） （ 316）僅考慮了 x 軸方向運動模糊的情況，并得出 ()l N d? ，其中 N 為圖像寬度 d 為非中心兩個暗條紋間距。而根據(jù)式 (313)，對任意尺寸的圖像，一旦檢測出退化圖像頻譜條紋角度，就可以有效的確定運動模糊角度 [12]。容易證明，退化圖像頻譜中條紋傾斜角度即為直線斜率所對應角度，可用公式表示為（ 312） : tan aNa bM? (312) t a n t a n ( )2 Na M?? ?? (313) 默認圖像頻譜暗條紋方向與運動模糊的方向相垂直，由式 (313)可以看出，僅當 N =M 時，條紋角度與模糊角度是垂直的，但當所處理圖片長和寬不相等時，簡單認為模糊角度和條紋傾斜角度垂直是不準確的。如果 M， N 為素數(shù)，雖然 u， v在各自取值范圍內(nèi)無法為非零正整數(shù)，但對于一般圖像其頻譜圖依然會呈現(xiàn)規(guī)則的明暗條紋狀 [12]。首先考慮沒有噪聲的情況，對式 (36)進行傅里葉變換得（ 37） 002 ( ( ) ( ) )0( , ) ( , ) T j u x t v y tG u v F u v e d t???? ? （ 37） 002 ( ( ) ( ) )0( , ) T j u x t vy tH u v e d t???? ? （ 38） 式（ 38）中： H(u， v)表示退化圖像的點擴散函數(shù) (PSF)[10]。如果設 T 為曝光時間，則運動模糊退化模型為（ 36） 000( , ) ( ) , ( ) ( , )Tg x y f x x y y d t n x y? ? ? ?? （ 36） 式（ 36）中： g（ x， y）表示模糊退化圖像， f（ x， y）表示原始圖像。并且在這種準則下導出的最佳線性系統(tǒng)對其它很廣泛一類準則而言也是最佳的 。 h（ n） )(nx = )(ns + )(nv )()( ^ nsny ? 蘭州理工大學畢業(yè)設計 19 如果我們以 :與 s 分別表示信號的真值與估計值，而用 )(ne 表示它們之間的誤差，即（ 34） ?)(ne ?)(ns )(ns? (34) 顯然， )(ne 可 能是正的，也可能是負的，并且它是一個隨機變量。這里所謂最佳與最優(yōu)是以最小均方 誤差為準則的。從過去的觀察值，估計過去的信號值 ?)(ny )( Nns? )1( ?N 稱為平滑或內(nèi)插。 一般，從當前的和過去的觀察值估計當前的信號值 ?)(ny )(ns? 稱為過濾或濾波 。因此，用 )(nh 進行過濾的問題可以看成是一個估計問題。這個線性系統(tǒng) )(nh 稱為對 于 )(ns 的一種估計器。實際上這種線性濾波問題，可以看成是一種估計問題或一種線性估計問題。 以 W(i， m)表示 W 的 i和 m 列分塊矩陣，則（ 266） ? ? 2,Wej imMi m WN?? (266) 其中， i， m=0， 1,2， ， M—1， WN 是 N? N 矩 陣，以 W（ k， n）表示 k 行 n 列元素，則有 ? ? 2,W j knMk n eN ?? k， n=0,1,2， ， M—1 (267) 矩陣 A， B 的元素分別為矩陣 fR 和 Rn 中的自相關元素的傅里葉變換，這些自相關的傅里葉變換分別定義為 ? ?,ef xy 和 ? ?,n xye 的譜密度 ? ?,R uvf 和 ? ?,P uvn 。如果像素之間的相關是像素距離的函數(shù)，而不是像素位置 的函數(shù)，則可將 fR 和 Rn 近似分為線循環(huán)矩陣。通常情況下，無論是 f還是 n，其元素之間的相關不會延伸到 2030 個像素的距離之外，因此。 設 fR 和 Rn 分別是 f和 n的自相關矩陣，定義如（ 262）： fR = ? ?E Tff (262) Rn = ? ?TENN (263) 根據(jù)上述定義可知， fR 和 Rn 均為實對稱矩陣。 維納濾波器尋找一個使統(tǒng)計誤差函數(shù)達到最小的準則函數(shù)來實現(xiàn)圖像復原的。 維納濾波復原法 維納濾波法是由 Wiener 首先提出的，應用 于一維信號處理，取得了很好的效果。所以有（ 260）： ),(),(),( ),(*),( 2422 2^ vuGvuPNvuHN vuHNvuF ???????? ?? ? (260) 式中， 1,...,1,0u ?? Nv， ，而且 2),( vuH ),(),(* vuHvuH? 。建立分塊循環(huán)矩陣，將平滑準則表示為矩陣形式（ 255）： C?????????????????032130122101CCCCCCCCCCCCMMMM??????? (255) 蘭州理工大學畢業(yè)設計 16 式 (255)中每個子矩陣 jC )1,...,1,0( ?? Mj 是 ),( yxpe 的第 j 行組成的 NN* 循環(huán)矩陣。 在離散情況下，拉普拉斯算子可用式（ 253）的差分運算實現(xiàn)： )),().( 2222 y yxfx yxf ?????（ ),(4)1,()1,(),1(),1( yxfyxfyxfyxfyxf ????????? （ 253） 利用 ),( yxf 與式（ 254）的模板算子進行卷積可實現(xiàn)式（ 253）的運算： ),( yxp????????????010141010 (254) 在離散卷積的過程中，可利用延伸 ),( yxf 和 ),( yxp 來避免交疊誤差。 我們知道，圖像增強的拉普拉斯 算子 ,它具有突出邊緣的作用，則恢復了圖像的平滑性，因此，在作圖像恢復時可將其作為約束。如前所述，在進行圖像恢復計算時，由于退化算子矩陣 [.]H 的病態(tài)性質，多數(shù)在零點附近數(shù)值起伏過大，使得復原后的圖像產(chǎn)生了多余的噪聲和邊緣。 二是：使 ),( vuH 具有低通濾波性質。這意味著退化圖像中小噪聲的干擾在 ),( vuH 較小時，會對逆濾波恢復的圖像產(chǎn)生很大的影響，有可能使恢復的圖像和 ),( yxf 相差很大，甚至面目全非。 若噪聲為零，則采用逆濾波恢復法能完全再現(xiàn)原圖像。計算 ),(^ vuF 的傅里葉變換，求得),(^ yxf 。（這一步值得注意的是，通常 ),( yxh 的尺寸小于 ),( yxg 的尺寸。其復原過程可歸納如下： 對退化圖像 ),( yxg 作二維離散傅里葉變換，得到 ),( vuG 。對式（ 249）再進行傅里葉反變換可得到 ),( yxf 。 蘭州理工大學畢業(yè)設計 14 圖像的恢復方法 逆濾波復原法 對于線性移不變系統(tǒng)而言 (247) ?),( yxg? ?*,yxf? ? ),(, yxnyxh ? (247) 上式兩邊進行傅里葉變換得 (248) ?),( vuG ),( vuH ),( vuF ),( vuN? (248) 式中 ),( vuG ， ),( vuF ， ),( vuH 和 ),( vuN 分別是 ),( yxg , ),( yxf , ),( yxh 和 ),( yxn 的二