20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)34導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則練習(xí)題(參考版)
2024-12-02 19:11本頁(yè)面
【正文】 cos x2＝－ 12sinx， ∴ y′ ＝ (－ 12sinx)′ ＝－ 12cosx. 8．已知函數(shù) f(x)＝ x3＋ x－ 16. (1)求曲線(xiàn) y＝ f(x)在點(diǎn) (2，－ 6)處的切線(xiàn)的方程； (2)直線(xiàn) l為曲線(xiàn) y＝ f(x)的切線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線(xiàn) l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)； (3)如果曲線(xiàn) y＝ f(x)的某一切線(xiàn)與直線(xiàn) y＝－ 14x＋ 3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線(xiàn)的方程． [答案 ] (1)13x－ y－ 32＝ 0 (2)l： y＝ 13x；切點(diǎn) (－ 2，－ 26) (3)切點(diǎn)為 (1，－ 14)時(shí)，切線(xiàn)方程 4x－ y－ 18＝ 0；切點(diǎn)為 (－ 1，－ 18)時(shí)，切線(xiàn)方程 4x－ y－ 14＝ 0 [解析 ] (1)∵ f ′( x)＝ 3x2＋ 1， ∴ f(x)在點(diǎn) (2，－ 6)處的切線(xiàn)的斜率為 k＝ f ′(2) ＝ 13. ∴ 切線(xiàn)的方程為 13x－ y－ 32＝ 0. (2)解法一：設(shè)切點(diǎn)為 (x0， y0)， 則直線(xiàn) l的斜率為 f ′( x0)＝ 3x20＋ 1， ∴ 直線(xiàn) l的方程為 y＝ (3x20＋ 1)(x－ x0)＋ x30＋ x0－ 16， 又 ∵ 直線(xiàn) l過(guò)原點(diǎn) (0,0)， ∴ 0＝ (3x20＋ 1)(－ x0)＋ x30＋ x0－ 16， 整理得， x30＝－ 8， ∴ x0＝－ 2， ∴ y0＝－ 26， k＝ 13. ∴ 直線(xiàn) l的方程為 y＝ 13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為 (－ 2，－ 26)． 解法二：設(shè)直線(xiàn) l的方程為 y＝ kx，切點(diǎn)為 (x0， y0)， 則 k＝ y0－ 0x0－ 0＝ x30＋ x0－ 16x0 ， 又 ∵ k＝ f ′( x0)＝ 3x20＋ 1， ∴ x30＋ x0－ 16x0 ＝ 3x20＋ 1， 解之得， x0＝－ 2， ∴ y0＝－ 26， k＝ 13. ∴ 直線(xiàn) l的方程為 y＝ 13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為 (－ 2，－ 26)． (3)∵ 切線(xiàn)與直線(xiàn) y＝－ x4＋ 3垂直， ∴ 切線(xiàn)的斜率 k＝ 4. 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 (x0， y0)，則 f ′( x0)＝ 3x20＋ 1＝ 4， ∴ x0＝ 177。 x16 . (3)y＝ x2＋ 1x ＝ x2－12 ＋ x－12 ＝
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