【正文】 可得，（ cosθ+isinθ） n=cosnθ+isinnθ． （ 2） =2（ ﹣ ） =2（ cos +isin ）， ∴ z10=210（ cos π+isin π） =210（ cos +isin ） =210（ + i） =512+512 i 2017 年 5 月 24 日 。假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)，命 題成立，即（ cosθ+isinθ） k=coskθ+isinkθ， 則當(dāng) n=k+1 時(shí)，（ cosx+isinθ） k+1=（ cosθ+isinθ） k?（ cosθ+isinθ） =（ coskθ+isinkθ）（ cosθ+isinθ） =（ coskθcosθ﹣ sinkθsinθ） +i（ sinkθcosθ+coskθsinθ） =cos（ k+1） θ+isin（ k+1） θ ∴ 當(dāng) n=k+1 時(shí)，命題成立； 綜上，由 1176。＞ 0，函數(shù) y 單調(diào)遞增； ∴ 當(dāng) c＜ 10 時(shí)，函數(shù) y 在（ 0， 10）上遞減， 在（ 10， 15）上遞增， 此時(shí) v=10 時(shí)用氧量最少； 當(dāng) c≥ 10 時(shí)，函數(shù) y 在 [c， 15]上遞增， 此時(shí) v=c 時(shí)，總用氧量最少． 18．已知過(guò)點(diǎn)且離心率為的橢圓 C 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上． （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）設(shè)點(diǎn) P 是橢圓的左準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 的直線 l 與橢圓 C 相交于 M，N 兩點(diǎn)，記橢圓 C 的左，右焦點(diǎn)分別為 F1， F2，上下兩個(gè)頂點(diǎn)分別為 B2， B1．當(dāng)線段 MN 的中點(diǎn)落在四邊形 F1B1F2B2內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線 l 斜率的取值范圍． 【考點(diǎn)】 KL：直線與橢圓的位置關(guān)系． 【分析】 （ 1）由過(guò)點(diǎn) 且離心率為的橢圓 C 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，列出方程組，求出 a=2， b=4，由此能求出橢圓 C 的方程． （ 2）設(shè)出直線的方程，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用二次方程的韋達(dá)定理得到弦中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)在正方形的內(nèi)部，得到中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的不等關(guān)系，求出 k 的范圍． 【解答】 解：（ 1） ∵ 過(guò)點(diǎn)且離心率為的橢圓 C 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上． ∴ 設(shè)橢圓方程為 =1（ a＞ b＞ 0）， 則，解得 a=2， b=4， ∴ 橢圓 C 的方程為 =1． （ 2）橢圓 C 的左準(zhǔn)線方程為 x=﹣ 4，所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（﹣ 4， 0）， 由題意知直線 l 的斜率存 在，所以設(shè)直線 l 的方程為 y=k（ x+4） 如圖，設(shè)點(diǎn) M， N 的坐標(biāo)分別為（ x1， y1），（ x2， y2），線段 MN 的中點(diǎn)為 G（ x0，y0） 由，得（ 1+2k2） x2+16k2x+32k2﹣ 8=0． ① 由 △ =（ 16k2） 2﹣ 4（ 1+2k2）（ 32k2﹣ 8） ＞ 0，解得﹣ ＜ k＜ ． ② 因?yàn)?x1， x2是方程 ① 的兩根， 所以 x1+x2=﹣，于是 x0==﹣， y0=k（ x0+4） =． 因?yàn)?x0=﹣ ≤ 0，所以點(diǎn) G 不可能在 y 軸的右邊， 又直線 F1B2， F1B1方程分別為 y=x+2， y=﹣ x﹣ 2 所以點(diǎn) G 在正方形 Q 內(nèi)（包括邊界）的充 要條件為， 即，即， 解得 ≤ k≤ ， 由 ② 得： ≤ k≤ ． 故直線 l 斜率的取值范圍是 [， ]． 19．已知數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn， ? n∈ N*滿足 ，且 a1=1，正項(xiàng)數(shù)列 {bn}滿足 bn+12﹣ bn+1=bn2+bn（ n∈ N*），其前 7 項(xiàng)和為 42． （ 1）求數(shù)列 {an}和 {bn}的通項(xiàng)公式； （ 2）令 = ，數(shù)列 {}的前 n 項(xiàng)和為 Tn，若對(duì)任意正整數(shù) n，都有 Tn≥2n+a，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ 3）將數(shù)列 {an}， {bn}的項(xiàng)按照 “當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， an 放在前面；當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，bn 放在前面 ”的要求進(jìn)行排 列，得到一個(gè)新的數(shù)列： a1， b1， b2， a2， a3， b3， b4， a4， a5， b5， b6， … ，求這個(gè)新數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Pn． 【考點(diǎn)】 8E：數(shù)列的求和； 8H：數(shù)列遞推式． 【分析】 （ 1）數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn， ? n∈ N*滿足 ，且 a1=1，可得數(shù)列 是等差數(shù)列，首項(xiàng)為 1，公差為 ．利用通項(xiàng)公式可得 Sn．利用遞推關(guān)系即可得出 an．正項(xiàng)數(shù)列 {bn}滿足 bn+12﹣ bn+1=bn2+bn（ n∈ N*），化為：（ bn+1+bn）（ bn+1﹣ bn） =bn+1+bn，可得 bn+1﹣ bn=1．再利用等差數(shù)列的求和公式即可 得出． （ 2） = =2+2 ，利用裂項(xiàng)求和方法、數(shù)列的單調(diào)性即可得出． （ 3） n=2k 時(shí)， Pn=P2k=（ a1+a2+… +ak） +（ b1+b2+… +bk）． n=2k﹣ 1 時(shí)， 2k被 2 整除而不能被 4 整除時(shí)， Pn=P2k﹣ bk． 2k 被 4 整除時(shí)， Pn=P2k﹣ ak． 【解答】 解：（ 1）數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn， ? n∈ N*滿足 ，且 a1=1， ∴ 數(shù)列 是等差數(shù)列，首項(xiàng)為 1，公差為 ． ∴ =1+ （ n﹣ 1），解得 Sn= ． ∴ n≥ 2 時(shí)， an=Sn﹣ Sn﹣ 1= ﹣ =n， n=1 時(shí)也成立． ∴ an=n． 正項(xiàng)數(shù)列 {bn}滿足 bn+12﹣ bn+1=bn2+bn（ n∈ N*），化為：（ bn+1+bn）（ bn+1﹣ bn） =bn+1+bn， ∴ bn+1﹣ bn=1． ∴ 數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列，公差為 1． ∵ 其前 7 項(xiàng)和為 42， ∴ 7b1+ 1=42，解得 b1=3． ∴ bn=3+n﹣ 1=n+2． （ 2） = =2+2 ， ∴ 數(shù)列 {} 的前 n 項(xiàng)和Tn=2n+2 +… + + =2n+2 =2n+2 ， Tn≥ 2n+a，化為： 2 ≥ a， ∴ a≤ ． ∴ 實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ． （ 3） n=2k 時(shí)， Pn=P2k=（ a1+a2+… +ak） +（ b1+b2+… +bk） = + =k2+3k= +3 = ． n=2k﹣ 1 時(shí)， 2k被 2 整除而不能被 4 整除時(shí)， Pn=P2k﹣ bk= ﹣（ k+2）=k2+2k﹣ 2． 2k 被 4 整除時(shí)， Pn=P2k﹣ ak= ﹣ k=k2+2k． 20．已知函數(shù) f（ x） = ． （ 1）求曲線 y=f（ x）與直線 2x+y=0 垂直的切線方程； （ 2）求 f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間； （ 3）若存在 x0∈ [e， +∞ ），使函數(shù) g（ x） =aelnx+ ?lnx?f（ x） ≤ a 成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍． 【考點(diǎn)】 6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性； 6E：利 用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值； 6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程． 【分析】 （ 1）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線方程即可； （ 2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由 f′（ x） ＜ 0 得 0＜ x＜ 1 或 1＜ x＜ e，即可求出單調(diào)遞減區(qū)間； （ 3）由已知，若存在 x0∈ [e， +∞ ），使函數(shù) g（ x） ≤ a 成立，則只需滿足當(dāng) x∈ [e， +∞ ）， g（ x） min≤ a 即可． 【解答】 解：（ 1） f（ x） = ， f′（ x） = ， 設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)（ a， ）， 而曲線 y=f（ x）與直線 2x+y=0 垂直的切線的斜率 k= ， 故 = ，解得： a=e2， 故切點(diǎn)坐標(biāo)是：（ e2， e2）， 故切線方程是： y﹣ e2= （ x﹣ e2）， 即 x﹣ y+ e2