1、2-3-1拋物線及其標準方程(參考版)
2024-12-02 07:24本頁面
【正文】 6 2. 三、解答題 15．已知拋物線的標準方程如下，分別求其焦點和準線方程： (1)y2＝ 6x； (2)2y2＋ 5x＝ 0； (3)x＝ ay2(a≠ 0)． [解析 ] (1)∵ 2p＝ 6， ∴ p＝ 3. 又 ∵ 開口向右， ∴ 焦點坐標是 (32， 0)， 準線方程為 x＝－ 32. (2)將 2y2＋ 5x＝ 0變形為 y2＝－ 52x. ∴ 2p＝ 52， p＝ 54，開口向左． ∴ 焦點為 (－ 58， 0)，準線方程為 x＝ 58. (3)∵ 原拋物線方程為 y2＝ 1ax， ∴ 2p＝ 1|a|. 當 a0時， p2＝ 14a，拋物線開口向右，焦點坐標為 ( 14a， 0)，準線方程為 x＝－ 14a； 當 a0時， p2＝－ 14a，拋物線開口向左，焦點坐標為 ( 14a， 0)，準線方程為 x＝－ a≠ 0時，拋物線 x＝ ay2的焦點坐標為 ( 14a， 0)，準線方程為 x＝－ 14a. 16．已知拋物線過點 (1，－ 2)，求拋物線的標準 方程． [解析 ] ∵ 點 (1，－ 2)在第四象限， ∴ 設(shè)拋物線的標準方程為： y2＝ 2px(p0)或 x2＝－ 2p′ y(p′ 0)， 又點 (1，－ 2)在拋物線上， ∴ 4＝ 2p， p＝ 2，或 1＝ 4p′ ， p′ ＝ 14， 故所求拋物線方程為： y2＝ 4x或 x2＝－ 12y. 17．求證：以拋物線 y2＝ 2px 過焦點的弦為直徑的圓，必與此拋物線的準線相切． [證明 ] 如圖，過 A、 B分別作 AC、 BD垂直于 l，垂足為 C、D，取 AB中點 M，作 MH⊥ l于 H. 由拋物線定義，知 |AC|＝ |AF|， |BD|＝ |BF|. ∴ |AB|＝ |AC|＋ |BD
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