湖南師大附中20xx屆高三月考試卷六教師版數(shù)學(xué)理word版含解析(參考版)
2024-11-30 19:09本頁面
【正文】 f(x)≥ 0 |2a＋ b|＋ |a||a＋ b| ≥ 12f(x)， ∴ 12f(x)≤ 1， 即 f(x)≤ 2. 由 (Ⅰ )知 f(x)≥ 2， ∴ f(x)＝ － 12≤ x≤ 12時(shí) ， f(x)＝ 2. 綜上所述 ， 實(shí)數(shù) x 的取值范圍是 ?? ??－ 12， 12 .(10 分 ) 。f(x)≥ 0， 求實(shí)數(shù) x 的取值范圍 ． 【解析】 (Ⅰ )∵ f(x)＝?????－ 4x， x≤ － 12，2， － 12x12，4x， x≥ 12，∴ f(x)≥ 2. ∴ f(x)的值域?yàn)?[2， ＋ ∞ )． (5 分 ) (Ⅱ )當(dāng) a＋ b＝ 0， 即 a＝－ b 時(shí) ， |2a＋ b|＋ |a|－ 12|a＋ b|f(x)≥ 0 可化為 2|b|－ 01 ， (11 分 ) 此時(shí) ， 點(diǎn) M， N 中有一點(diǎn)在 橢圓的上頂點(diǎn) (或下頂點(diǎn) )， 與 k1， k， k2成等比數(shù)列相矛盾 ， 故這樣的直線不存在 ． (12 分 ) (21)(本小題滿分 12 分 ) 已知函數(shù) f(x)＝ ax＋ x2－ xln a(a0， a≠ 1)． (Ⅰ )討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性； (Ⅱ )若存在 x1， x2∈ [－ 1， 1]， 使得 |f(x1)－ f(x2)|≥ e－ 1(e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) )， 求 a 的取值范圍 ． 【解析】 (Ⅰ )f′(x)＝ axln a＋ 2x－ ln a＝ 2x＋ (ax－ 1)ln a， (1 分 ) 當(dāng) a1 時(shí) ， ln a0， x∈ (0， ＋ ∞ )， f′ (x)0， f(x)單調(diào)遞增 ， x∈ (－ ∞ ， 0)， f′ (x)0， f(x)單調(diào)遞減； (2 分 ) 當(dāng) 0a1 時(shí) ， ln a0， x∈ (0， ＋ ∞ )， f′ (x)0， f(x)單調(diào)遞增 ， x∈ (－ ∞ ， 0)， f′ (x)0， f(x)單調(diào)遞減 ． (3 分 ) 綜上： x∈ (0， ＋ ∞ )時(shí) ， f(x)單調(diào)遞增 ， x∈ (－ ∞ ， 0)時(shí) ， f(x)單調(diào)遞減 ． (4 分 ) (Ⅱ )不等式等價(jià)于： |f(x1)－ f(x2)|max≥ e－ 1， 即 f(x)max－ f(x)min≥ e－ 1， (5 分 ) 由 (Ⅰ )知 ， 函數(shù)的最小值為 f(0)＝ 1， f(x)max＝ max{ }f（－ 1） ， f（ 1） ， 而 f(1)－ f(－ 1)＝ (a＋ 1－ ln a)－ ?? ??1a＋ 1＋ ln a ＝ a－ 1a－ 2ln a， 設(shè) g(a)＝ a－ 1a－ 2ln a， 則 g′(a)＝ 1＋ 1a2－ 2a＝ ?? ??1－ 1a20， 所以 g(a)＝ a－ 1a－ 2ln a 在 (0， ＋ ∞ )單調(diào)遞增 ， 而 g(1)＝ 0， 故 a1 時(shí) ， g(a)0， 即 f(1)f(－ 1)； (7 分 ) 0a1 時(shí) ， g(a)0， 即 f(1)f(－ 1)． (8 分 ) 所以當(dāng) a1 時(shí) ， 原不等式即為： f(1)－ f(0)≥ e－ 1 a－ ln a≥ e－ 1， 設(shè) h(a)＝ a－ ln a(a1)， h′ (a)＝ 1－ 1a＝ a－ 1a 0， 故函數(shù) h(a)單調(diào)遞增 ， 又 h(e)＝ e－ 1， 則 a≥ e； (10 分 ) 當(dāng) 0a1 時(shí) ， 原不等式即為： f(－ 1)－ f(0)≥ e－ 1 1a＋ ln a≥ e－ 1， 設(shè) m(a)＝ 1a＋ ln a(0a1)， m′ (a)＝－ 1a2＋ 1a＝ a－ 1a2 0， 故函數(shù) m(a)單調(diào)遞減 ， 又 m?? ??1e ＝ e－ 1， 則 0a≤ 1e.(11 分 ) 綜上 ， 所求 a 的取值范圍是 ?? ??0， 1e ∪ [e， ＋ ∞ )． (12 分 ) 請(qǐng)考生在第 (22)、 (23)兩題中任選一題作答 ， 如果多做 ， 則按所做的第一題計(jì)分 ． (22)(本小題滿分 10 分 ) 在直角坐標(biāo)系 xOy中 ， 直線 l 的參數(shù)方程為?????x＝ 3－ t，y＝ 2＋ t (t 為參數(shù) )． 在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) ，x 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中 ， 曲線 C： ρ＝ 4 2cos?? ??θ－ π 4 . (Ⅰ )求直線 l 的普通方程和曲線 C 的直角坐標(biāo)方程； (Ⅱ )設(shè)曲線 C 與直線 l 的交點(diǎn)為 A， B, Q 是曲線上的動(dòng)點(diǎn) ， 求 △ ABQ 面積的最大值 ． 【解析】 (Ⅰ )由?????x＝ 3－ t，y＝ 2＋ t 消去 t 得 x＋ y－ 5＝ 0， 所以直線 l 的普通方程為 x＋ y－ 5＝ 0. 由 ρ＝ 4 2cos?? ??θ－ π 4 ＝ 4cos θ ＋ 4sin θ ， 得 ρ2＝ 4ρcos θ ＋ 4ρsin θ. 將 ρ2＝ x2＋ y2， ρ cos θ ＝ x， ρ sin θ ＝ y代入上式 ， 得 x2＋ y2＝ 4x＋ 4y， 即 (x－ 2)2＋ (y－2)2＝ 8. 所以曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為 (x－ 2)2＋ (y－ 2)2＝ 8.(5 分 ) (Ⅱ )由 (Ⅰ )知 ， 曲線 C 是以 (2， 2)為圓心 ， 2 2為半徑的圓 ， 直線 l 過定點(diǎn) P(3， 2)， P 在圓內(nèi) ， 將直線的參數(shù)方程代入圓的普通方程 ， 得 2t2－ 2t－ 7＝ 0， t1＋ t2＝ 1， t112.(8 分 ) ② 假設(shè)存在直線 l 滿足題設(shè)條件 ， 且設(shè) D(x0， y0)， 由 OD→ ＝ λOM→ ＋ μON→ ， 得 x0＝ λx1＋ μx2， y0＝ λy1＋ μy2， 代入橢圓方程得： （ λx1＋ μx2）24 ＋ (λy1＋ μy2)2＝ 1， 即： λ2?? ??x214＋ y21 ＋ μ2?? ??x224＋ y22 ＋λμx1x22 ＋ 2λμy1y2＝ 1， 則 x1x2＋ 4y1y2＝ 0， 即 x1x2＋ 4(kx1＋ m)(kx2＋ m)＝ 0， 則 (1＋ 4k2)x1x2＋ 4km(x1＋ x2)＋ 4m2＝ 0， 所以 (1＋ 4k2) μ ≠ 0)的點(diǎn) D在橢圓 C上？若存在 ， 求出直線 l 的方程；若不存在 ， 請(qǐng)說明理由 ． 【解析】 (Ⅰ )如圖 ， 設(shè) T 為線段 PQ 的中點(diǎn) ， 連
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