第1講數(shù)列的概念與簡單表示法(參考版)
2024-11-28 15:27本頁面
【正文】 廣東 ) 設(shè)數(shù)列 { a n } 的前n 項和為 S n ，數(shù)列 { S n } 的前 n 項和為 T n ，滿足 T n ＝ 2 S n － n 2 ， n ∈ N * . (1) 求 a 1 的值； (2) 求數(shù)列 { a n } 的通項公式． 第 1 步 ： 【 教你審題 】 賦值 n ＝ 1 ，可求 a 1 ； 第 2 步 ： 當(dāng) n ≥2 時，由 S n ＝ T n －T n － 1 ， a n ＝ S n － S n － 1 找出a n ＋ 1 與 a n 的關(guān)系式； 【規(guī)范解答 】 (1 ) 令 n ＝ 1 時， T 1 ＝ 2 S 1 － 1 ， 第 3 步 ： 變形 ∵ T 1 ＝ S 1 ＝ a 1 ， ∴ a 1 ＝ 2 a 1 － 1 ， ∴ a 1 ＝ 1. (2 分 ) (2 ) n ≥ 2 時， T n － 1 ＝ 2 S n － 1 － ( n － 1) 2 ， 則 S n ＝ T n － T n － 1 ＝ 2 S n － n 2 － [2 S n － 1 － ( n － 1) 2 ] ＝ 2( S n － S n － 1 ) － 2 n ＋ 1 ＝ 2 a n － 2 n ＋ 1. 因為當(dāng) n ＝ 1 時， a1 ＝ S 1 ＝ 1 也滿足上式， 所以 S n ＝ 2 a n － 2 n ＋ 1( n ≥ 1) ， (8 分 ) 當(dāng) n ≥ 2 時， S n － 1 ＝ 2 a n － 1 － 2( n － 1) ＋ 1 兩式相減得 a n ＝ 2 a n － 2 a n － 1 － 2 ， 所以 an ＝ 2 a n － 1 ＋ 2( n ≥ 2) ， 所以 an ＋ 2 ＝ 2( a n － 1 ＋ 2) ， 因為 a1 ＋ 2 ＝ 3 ≠ 0 ， 所以數(shù)列 { an ＋ 2} 是以 3 為首項， 公比為 2 的等比數(shù)列． 所以 a n ＋ 2 ＝ 3 2 n － 1 ， ∴ an ＝ 3 2 n － 1 － 2 ， 當(dāng) n ＝ 1 時也成立； 所以 a n ＝ 3 2 n － 1 － 2. ( 14 分 ) ( 1 ) 有的考生思維定勢，只會使用 a n ＝ S n － S n － 1 ( n ≥ 2 ) ，未想到 S n ＝T n － T n － 1 ( n ≥ 2 ) 致使出錯； ( 2 ) 在使用 a n ＝ S n － S n － 1 求 a n 時，不少考生漏掉了 n ≥2 這一前提條件，有的對 n ＝ 1 的情況也沒有驗證，應(yīng)引起注意 【 閱卷老師手記 】 【 模板構(gòu)建 】 第一 步 第二 步 第三 步 令 n ＝ 1 ，由 S n ＝ f ( a n ) 求出 a 1 . 令 n ≥2 ，構(gòu)造 a n ＝ S n － S n － 1 ，用 a n 代換 S n － S n － 1 ( 或用 S n －S n － 1 代換 a n ，這要結(jié)合題目特點 ) ，由遞推關(guān)系求通項． 驗證當(dāng) n ＝ 1 時的結(jié)論適合當(dāng) n ≥2 時的結(jié)論． 如果適合，則統(tǒng)一 “ 合寫 ” ；如果不適合，則應(yīng)分段表示． 第四 步 寫出明確規(guī)范的答案． 解決由 Sn與 an的關(guān)系求 an問題的步驟可歸納為： 第五 步 反思回顧．查看關(guān)鍵點、易錯點及解題規(guī)范．本題的易錯點，易忽略對 n ＝ 1 和 n ≥2 分兩類進(jìn)行討論，同時易忽視結(jié)論中對二者的合并． 。a na n － 1 ＝ 12 23 34 45 … n － 1n ， ∴ a n＝1n . 1n 由遞推公式求數(shù)列的通項公式 欲求的數(shù)列相鄰兩項的比可化成一個已知數(shù)列的相鄰兩項（或相距不太遠(yuǎn)的兩項）的比時，則可仿此方法，累乘求通項公式。a 5a 4 a 3a 2 a n ＝ 0( n ＝ 1,2 ,3 ， ? ) ，則它的通項公式 a n ＝ ________. ∵ ( n ＋ 1) a 2n ＋ 1 ＋ a n ＋ 1 3n11此法是不是更為簡捷。則 an +1=2有可能就變成特殊數(shù)列 由 an與 Sn的關(guān)系求通項 an 【 例 2 】 ( 2020 3 n－ 1.( )( 1) 數(shù)列 1,2 ,3, 4,5 ,6 與數(shù)列 6,5 ,4, 3,2 ,1 表示同一數(shù)列． ( )
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