第1講數(shù)列的概念與簡單表示法-閱讀頁
2024-12-14 15:27本頁面
【正文】 1 )2 ＋ 1. n (n ＋ 1 )2 ＋ 1.由遞推公式求數(shù)列的通項公式 【例 3 】 在數(shù)列 { an } 中， ( 2) 若 a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 2 ，則通項 a n ＝ ________ _______ . a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 2 ， 解（ 2） ( 2) 變形為 a n ＋ 1 ＋ 1 ＝3( a n ＋ 1) 審題路線 ? 再變形為 a n ＋ 1 ＋ 1an ＋ 1＝ 13 ? 用累乘法可求 a n . 即 a n ＋ 1 ＋ 1 ＝ 3( a n ＋ 1) ， 即a n ＋ 1 ＋ 1a n ＋ 1 ＝ 3 ， 法一 a 2 ＋ 1a 1 ＋ 1 ＝ 3 ，a 3 ＋ 1a 2 ＋ 1 ＝ 3 ，a 4 ＋ 1a 3 ＋ 1 ＝ 3 ， … ，a n ＋ 1 ＋ 1a n ＋ 1 ＝ 3. 將這些等式兩邊分別相乘得 a n ＋ 1 ＋ 1a1 ＋ 1＝ 3 n . 因為 a 1 ＝ 1 ，所以 a n ＋ 1 ＋ 11 ＋ 1 ＝ 3 n ， 即 a n ＋ 1 ＝ 2 3 n － 1( n ≥1) ， 所以 a n ＝ 2 3 n － 1 － 1( n ≥ 2) ， 又 a 1 ＝ 1 也滿足上式， 故 a n ＝ 2 3 n － 1 － 1. 2 3 n － 1－ 1. 法二 由a n ＋ 1 ＋ 1a n ＋ 1 ＝ 3 ， 即 a n ＋ 1 ＋ 1 ＝ 3( a n ＋ 1) ， 當(dāng) n ≥2 時， a n ＋ 1 ＝ 3( a n － 1 ＋ 1) ， ∴ a n ＋ 1 ＝ 3( a n － 1 ＋ 1) ＝ 3 2 ( a n － 2 ＋ 1) ＝ 3 3 ( a n － 3 ＋ 1) ＝ … ＝ 3 n － 1 ( a 1 ＋ 1) ＝ 2 3 n － 1， ∴ a n ＝ 2 3 n － 1 － 1 ； 當(dāng) n ＝ 1 時， a 1 ＝ 1 ＝ 2 3 1 － 1 － 1 也滿足． ∴ a n ＝ 2 3 n － 1 － 1. 規(guī)律方法 數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個數(shù)列的各項，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式，常用的方法有： ①求出數(shù)列的前幾項，再歸納猜想出數(shù)列的一個通項公式； ②將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項． 又法：由此已看出 {an+1}是等比數(shù)列。3n1即 an =2 【訓(xùn)練 3 】 設(shè) { a n } 是首項為 1 的正項數(shù)列，且 ( n ＋ 1) a 2n ＋ 1 － na 2n ＋a n ＋ 1 a n － na 2n ＝ 0 ， 解析 ∴ ( a n ＋ 1 ＋ a n )[( n ＋ 1) a n ＋ 1 － na n ] ＝ 0 ， 又 a n ＋ 1 ＋ a n ＞ 0 ， ∴ ( n ＋ 1) a n ＋ 1 － na n ＝ 0 ， 即 a n ＋ 1an＝ nn ＋ 1 ， ∴a 2a 1 a 4a 3 … 考點 1 ． 求數(shù)列通項或指定項，通常用觀察法 ( 對于交錯數(shù)列一般用 ( － 1) n 或 ( － 1) n ＋ 1 來區(qū)分奇偶項的符號 ) ；已知數(shù)列中的遞推關(guān)系，一般只要求寫出數(shù)列的前幾項，若求通項可用歸納、猜想和轉(zhuǎn)化的方法． 課堂小結(jié) 2 ．由 S n 求 a n 時， a n ＝????? S 1 ? n ＝ 1 ? ，S n － S n － 1 ? n ≥ 2 ? ，注意驗證 a 1 是否包含在后面 a n 的公式中，若不符合要單獨列出，一般已知條件含 a n 與 S n 的關(guān)系的數(shù)列題均可考慮上述公式． 3 ．已知遞推關(guān)系求通項：對這類問題的要求不高，但試題難度較難把握．一般有三種常見思路： ( 1) 算出前幾項，再歸納、猜想； ( 2) “ a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ q ” 這種形式通常轉(zhuǎn)化為 a n ＋ 1 ＋ λ ＝ p ( a n ＋λ ) ，由待定系數(shù)法求出 λ ，再化為等比數(shù)列； ( 3 ) 利用累加、累乘法或迭代法可求數(shù)列的通項公式． 經(jīng)典題目再現(xiàn) 【真題探究】 ? (2020 183
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